甘肃省武威市民勤县2022-2023学年高二下学期6月第二次月考数学试题（含解析）

民勤县2022-2023学年高二下学期6月第二次月考
数学
（时间：120分钟 分值：150分）
第Ⅰ卷（选择题60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
2．已知，则（ ）
A．－4 B．－1 C．1 D．4
3．已知随机变量服从正态分布，若，则等于（ ）
A．0.14 B．0.28 C．0.68 D．0.86
4．直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ）
A．－1 B． C． D．1
5．一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为，则的均值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在四面体中，空间的一点满足，若共面，则（ ）
A． B． C． D．
8．英国数学家贝叶斯（1701－1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件（的对立事件）存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检验者是否患病．已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者末患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ）
A．0.01 B．0.1089 C．0.0099 D．0.1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析．方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性归直线方程：，相关系数为．则（ ）
A． B． C． D．
10．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量服从两点分布，，则
B．若随机变量的方差，则
C．若随机变量服从二项分布，则
D．若随机变量服从正态分布，则
11．在长方体中，，以为原点，以分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．异面直线与所成角的余弦值为
C．平面的一个法向量为
D．二面角的余弦值为
12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的值域为 B．函数的图象关于点对称
C．函数有且只有2个零点 D．曲线的切线斜率的最大值为－1
第Ⅱ卷（非选择题 90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．其中16题第一空2分，第二空3分．
13．如下图，在三棱雉中，设，若，则________________．（用表示）
14．为了判断某高中学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如右图列联表：
根据表中数据，得到，则认为选修文科与性别有关系出错的概率约为________________．（参考数据：）
理科 文科
男 13 10
女 7 20
15．已知随机事件，且，则________________．
16．若图象上存在两点关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”），若恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是________________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、（本题满分10分）
某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场．从2016年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照表：
年份 2016 2017 2018 2019 2020
年份代码 1 2 3 4 5
新建社区养老机构 12 15 20 25 28
（1）根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，用最小二乘法求关于的经验回归方程；
（2）若该地参与社区养老的老人，他们的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有321人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人
考公式：线性回归方程；
参考数据：．
18．（本题满分12分）如图，平行六面体中，，．
（1）求的长；
（2）证明：直线平面．
19．（本题12分）已知函数在处取得极值4．
（1）求的值；
（2）求函数在区间上的最值．
20．（本题满分12分）如图，在四棱柱中，侧棱底面，，且点和分别为和的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
21．（本题12分）某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值（其中：），得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：
质量指标值 或
等级 级 级
（1）从样本的级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350，400]的零件的件数为，求的分布列和数学期望；
（2）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500件一箱包装，已知一个级零件的利润是10元，一个级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润．
22．（本题满分12分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记在区间[0，1]的最大值为，最小值为，求的取值范围．
高二数学参考答案
1．答案C 【详解】因为与互相垂直，所以，即，
故选：C
2．答案A 【详解】因为，所以
所以故选：A
3．【解析】：因为随机变量服从正态分布，所以，即正态曲线关于直线对称，所以．故选：A．
4．【答案】D 【解析】曲线的导数为，由题意直线是曲线的一条切线，可知，所以，所以切点坐标为，因为切点在曲线上，所以．故选：D．
5．【答案】A 【解析】：由题意得，的所有可能的取值为0，1，2．
．
∴，答案A
6．【详解】函数在上单调递增，即在恒成立．故即在恒成立，在处取得的最大值0，所以．
7．【解析】由题意，
，
，∵共面，
∴存在实数唯一实数对，使得，
，
∴，解得．故选：B．
8．答案B 【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，末患病为事件，则，
故所求概率，故选：B．
9．【答案】CD
【解析】：由散点图可知这两个变量为负相关，所以．
因为剔除点后，剩下点的数据更具有线性相关性，更接近1，所以．故选：CD．
10．【答案】AD
【解析】：对于选项A，由条件可知，，故正确；
对于选项B，，故错误；对于选项C若随机变量服从二项分布，则，故错误；对于选项D，根据对称性可知，正态分布曲线关于对称，所以，故正确．
故选：AD．
11．【答案】ACD
【解析】在长方体中，，
以为原点，以分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得
选项A：所以，则A正确．
选项B：，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，则B不正确．
选项C：设平面的一个法向量为
由，则，所以，取，得，则C正确．
选项D：由上可得平面的一个法向量为
又平面的法向量为，则
所以二面角的余弦值为，则D正确．故选：ACD
12．【解析】因为，所以的值域为，故选项A正确；
因为，
所以的图象关于点对称，故选项B正确；
令，得．因为函数的图象与函数的图象有且只有两个交点，故选项C正确；
因为，所以曲线的切线斜率无最大值，故选项D错误．综上，选ABC．
13．答案 【详解】因为所以
14．【答案】0.05
【解析】∵，
∴选修文科与性别有关系出错的概率约为0.05．
15．【解析】：因为
所以，解得，
所以．故答案为：
16．【答案】
【解析】首先求出时关于原点对称的函数为，
若要恰有两个“友情点对”，则有两解，
即在上有两解，令，求导可得，
当为减函数，
当为增函数，则，
所以其图像为：
若要在上有两解，则，
17．解：（1）由题意知，
，
所以，
故所求经验回归方程为；
（2）由题可知，，
该地参与社区养老的老人有（人），
该地参与社区养老的老人约有15000人．
18．解：（1）设，则．
因为，，
所以
所以，所以
（2）由（1）知：，
所以，，即，又，所以平面．
19．【详解】（1），∴，
又∵曲线在处取得极值4．
，即得：，
解得：
（2）由（1）得：，
令，得或，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，所以．．
∴在区间上的最大值为－1，最小值为－28．
20．证明：（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则，
因为分别为的中点，则，
由题意可知，是平面的一个法向量，又，
所以，又平面，故平面；
（2）解：因为，
设平面的法向量为，则，
令，则，故，所以，
设点到平面的距离为，则，
所以点到平面的距离为；
21．【详解】（1），所以样本的级零件个数为10个，质量指标值在的零件为5个，故可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：
随机变量的分布列为
0 1 2 3
所以期望．
（2）设每箱零件中级零件有个，每箱零件的利润为元，则级零件有个，
由题意知：，由（1）知：每箱零件中级零件的概率为级零件的概率为
所以，所以，
所以（元）．
所以每箱零件的利润是4750元．
22．解：（1），
令，得或．
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减；
若在上单调递增；
若，则当时，；当时，．
故在上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，
∴在区间的最小值为，最大值为或．
于是，，．∴．
当时，可知单调递减，∴的取值范围是；
当时，单调递增，∴的取值范围是．
综上，的取值范围．