四川省德阳市第五高级中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学（理）试题（含答案）

德阳市第五高级中学2022-2023学年高二下学期6月月考
数学试卷（理）
（总分150分 答题时间120分钟）
1.本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至12题，第Ⅱ卷13—22题，共150分.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名 考号填写在答题卡上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卷上，答在试卷上的无效.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一 选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，请将答案填涂在答题卡上）
1.若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数z满足，其中为虚数单位，则z的虚部为（ ）
A.0 B. C.1 D.
3.函数图象的对称轴可以是（ ）
A.直线 B.直线
C.直线 D.直线
4.在的展开式中，的系数为（ ）
A.12 B.-12 C.6 D.-6
5.如图所示，已知两个线性相关变量x，y的统计数据如下：
x 6 8 10 12
y 6 5 3 2
其线性回归方程为，则（ ）
A. B.0.7 C. D.
6.若实数x，y满足约束条件则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则p的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知命题p：，，则“”是“是真命题”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
9.已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A.16 B.12 C.8 D.4
10.“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为（参考数据：，）（ ）
A.8 B.9 C.10 D.11
11.，则的大小顺序为（ ）
A. B.
C. D.
12.已知直线与圆相切于点E，直线l与双曲线的两条渐近线分别相交于A，B两点，且E为AB的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A.2 B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二 填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.
13.抛掷一粒骰子，设“得到的点数是奇数”为事件，“得到的点数是3点”为事件，则__________.
14.若抛物线上的点P到焦点的距离为8，到x轴的距离为6，则抛物线C的标准方程是______.
15.若三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，其面积，则边______.
16.关于函数，有以下四个结论：
①函数恒有两个零点，且两个零点之积为；
②函数的极值点不可能是；
③函数必有最小值.
④对于，在上是增函数.
其中正确结论的序号是______.
三 解答题：解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
（一）必考题
17.已知等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，求的前n项和.
18.中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日至22日在北京人民大会堂顺利召开.某部门组织相关单位采取多种形式学习宣传和贯彻党的二十大精神.其中“学习二十大”进行竞赛.甲 乙两单位在联合开展主题学习及知识竞赛活动中通过此栏目进行比赛，比赛规则是：每一轮比赛中每个单位派出一人代表其所在单位答题，两单位都全部答对或者都没有全部答对则均记0分；一单位全部答对而另一单位没有全部答对，则全部答对的单位记1分，没有全部答对的单位记-1分，设每轮比赛中甲单位全部答对的概率为，乙单位全部答对的概率为，甲 乙两单位答题相互独立，且每轮比赛互不影响.
（1）经过1轮比赛，设甲单位的记分为，求的分布列和期望；
（2）若比赛采取3轮制，试计算第3轮比赛后甲单位累计得分低于乙单位累计得分的概率.
19.如图，四棱柱的侧棱底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为，的中点.
（1）证明：B，E，，F四点共面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
20.已知点，动点满足直线与的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；
（2）设为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，且.
①求证：直线恒过一定点；
②设的面积为，求的最大值.
21.若函数有两个零点，，且.
（1）求a的取值范围；
（2）若在和处的切线交于点，求证：.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在直角坐标系xOy中，曲线的方程为.P为曲线上一动点，且，点Q的轨迹为曲线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）曲线的极坐标方程为，点M为曲线上一动点，求的最大值.
23.设不等式的解集为A，且，.
（1）求a的值；
（2）若m n s为正实数，且，求的最小值.
数学（理）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B A D A C C A D A B B
13. 14. 15.2或 16.①②③
17.解：（1）∵，
∴，，
解得，∴；
（2）由题可知，∴，
∴.
18.解（1）由题意的取值可能为，则
那么的分布列为：
-1 0 1
（2）第3轮比赛后，甲单位累计得分低于乙单位的3轮计分有四种情况（不按先后顺序）；
所以.
19.解（1）取的中点为，连接，由分别为
的中点，
，且，
四边形为平行四边形，
故.又是的中点，即，
故四点共面.
（2）连接交于点，取上底面的中心为，
以为原点，分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
，
设面的一个法向量为，
则，即，取，
设直线与平面所成角为，故，
直线与平面所成角的正弦值为.
20.（1）由题意，得，
化简得，
所以曲线为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左 右顶点.
（2）如图，
①证明：设.
因为若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意，所以直线的斜率必不为0.
设直线的方程为.
由得，
所以，且
因为点是曲线上一点，
所以由题意可知，
所以，即.
因为
所以，此时，
故直线恒过轴上一定点.
②由①可得，，
所以
当且仅当即时等号成立，
所以的最大值为.
21.解：（1）
当，，在上单调递减，不可能两个零点；
当时，令得
，，单调递增，，，单调递减，
，
，
时，，单调递减，，，单调递增，
所以，即时，恒成立，当且仅当时取等号，
所以，
而，
所以；；
∴有唯一零点且有唯一零点，满足题意，
综上：；
（2）曲线在和处的切线分别是
，
联立两条切线得，∴，
由题意得，
要证，即证，即证，即证，
令，即证，
令，，∴在单调递减，
∴，
∴得证.
综上：.
22.解：（1）由题意可知，将代入得，
则曲线的极坐标方程为，
设点P的极坐标为，则，
点Q的极坐标为，由得，即，
将代入得，
所以点Q轨迹曲线的极坐标方程为；
（2）曲线直角坐标方程为，设点，
曲线的直角坐标方程为，则圆心为，
，
即
当时，，所以.
23.（1）因为，，所以，，即，
因为，则.
（2）由（1）可知，，，
由柯西不等式可得，
当且仅当时，即当，时，等号成立，
所以，，当且仅当时，
即当，时，等号成立，
因此，的最小值为1.