四川省德阳市第五高级中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学（文）试题（含答案）

德阳市第五高级中学2022-2023学年高二下学期6月月考
数学试卷（文）
（总分150分　答题时间120分钟）
1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至12题，第Ⅱ卷13—22题，共150分．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卷上，答在试卷上的无效．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一．选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，请将答案填涂在答题卡上）
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（ ）
A．0 B． C．1 D．
3．函数图象的对称轴可以是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
4．从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不小于9的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图所示，已知两个线性相关变量x，y的统计数据如下：
x 6 8 10 12
y 6 5 3 2
其线性回归方程为，则（ ）
A． B．0.7 C． D．
6．若实数x，y满足约束条件则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则p的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知命题p：，，则“”是“是真命题”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
10．“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为（参考数据：，）（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
11．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知直线与圆相切于点E，直线l与双曲线的两条渐近线分别相交于A，B两点，且E为AB的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题　共90分）
二．填空题：共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上．
13．已知，为单位向量，且满足，则______．
14．若抛物线上的点P到焦点的距离为8，到x轴的距离为6，则抛物线C的标准方程是______．
15．若三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，其面积，则边______．
16．关于函数，有以下四个结论：
①函数恒有两个零点，且两个零点之积为；②函数的极值点不可能是；③函数必有最小值．④对于，在上是增函数．其中正确结论的序号是______．
三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（一）必考题
17．已知等比数列的各项均为正数，且，.
（1）求的通项公式；
（2）数列满足，求的前n项和．
18．考取驾照是一个非常严格的过程，有的人并不能够一次性通过，需要补考．现在有一张某驾校学员第一次考试结果汇总表，由于保管不善，只残留了如下数据（见下表）：
成绩性别 合格 不合格 合计
男性 45 10
女性 30
合计 105
（1）完成此表；
（2）根据此表判断：能否有97.5%的把握认为性别与考试是否合格有关？
参考公式：．其中．
0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.10
0.708 1.323 2.072 2.706 3841 5.024 6.635
19．如图，四棱柱的侧棱底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为，的中点．
（1）证明：B，E，，F四点共面；
（2）若，，求点A到平面的距离．
20．已知点，，动点满足直线AM与BM的斜率之积为．记动点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）设P，Q为曲线C上的两动点，直线AP的斜率为，直线BQ的斜率为，且．求证：直线PQ恒过一定点．
21．若函数有两个零点，，且．
（1）求a的取值范围；
（2）若在和处的切线交于点，求证：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．
22．在直角坐标系xOy中，曲线的方程为．P为曲线上一动点，且，点Q的轨迹为曲线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）曲线的极坐标方程为，点M为曲线上一动点，求的最大值．
23．设不等式的解集为A，且，．
（1）求a的值；
（2）若m、n、s为正实数，且，求的最小值．
数学（文）参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D B A D A C C A D A C B
13． 14． 15．2或 16．①②③
17．解：（1）∵，∴，，
解得，∴；
（2）由题可知，∴，
∴．
18．解：【小问1详解】
成绩性别 合格 不合格 合计
男性 45 10 55
女性 30 20 50
合计 75 30 105
【小问2详解】假设：性别与考试是否合格无关，．
若成立，，
∵，∴有97.5%的把握认为性别与考试是否合格有关．
19．（1）取的中点为G，连接AG，GE，由E，G分别为，的中点，
∴，且，
∴四边形ABEG为平行四边形，
故．又F是的中点，即，∴，
故B，F，，E四点共面．
（2）易知四边形为菱形，且，
，所以：菱形的面积为：
设点A到平面BEF的距离为d，点B到平面AEF距离为h，
且
由，得：，
注意到平面AEF，所以
所以有：
20．（1）由题意，得，化简得，
所以曲线C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左 右顶点．
（2）如图，
证明：设，．
因为若直线PQ的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意，
所以直线PQ的斜率必不为0．设直线PQ的方程为．
由得，
所以，且
因为点是曲线C上一点，
所以由题意可知，所以，即．
因为
，
所以，此时，
故直线PQ恒过x轴上一定点．
21．解：（1）
当，，在上单调递减，不可能两个零点；
当时，令得
，，单调递增，，，单调递减，
，
，
时，，单调递减，，，单调递增，
所以，即时，恒成立，当且仅当时取等号，
所以，
而，
所以；；
∴有唯一零点且有唯一零点，满足题意，
综上：；
（2）曲线在和处的切线分别是
，
联立两条切线得，∴，
由题意得，
要证，即证，即证，即证，
令，即证，
令，，∴在单调递减，
∴，∴得证．
综上：．
22．解：（1）由题意可知，将代入得，
则曲线的极坐标方程为，
设点P的极坐标为，则，
点Q的极坐标为，由得，即，
将代入得，
所以点Q轨迹曲线的极坐标方程为；
（2）曲线直角坐标方程为，设点，
曲线的直角坐标方程为，则圆心为，
，
即
当时，，所以．
23．（1）因为，，所以，，即，
因为，则．
（2）由（1）可知，，，
由柯西不等式可得，
当且仅当时，即当，时，等号成立，
所以，，当且仅当时，
即当，时，等号成立，
因此，的最小值为1．