河南省大联考2022-2023学年高一下学期6月阶段性测试（五）数学试题（含答案）

河南省大联考2022-2023学年高一下学期6月阶段性测试（五）
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．为了解高三年级12个班共600名学生的高考填报志愿的情况，决定在12个班中每班随机抽取10人的志愿进行分析，这个问题中样本量是（ ）
A．600 B．120 C．50 D．10
3．已知向量，，，若与垂直，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知互相垂直的平面，交于直线．若直线，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
5．从2，3，4三个数中任选2个，分别作为圆柱的高和底面半径，则此圆柱的体积大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点为的边上靠近点的三等分点，，设，，则（ ）
A． B． C． D．
7．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，返回舱呈钟形，将其近似地看作一个半球（上）和一个圆台（下）的组合体，其中半球的半径为1米，圆台的上底面与半球的底面重合，下底面半径为1.2米，若圆台的体积是半球的体积的2倍，则圆台的高约为（ ）
A．1.0米 B．1.1米 C．1.2米 D．1.3米
8．将一枚质地均分的骰子随机抛掷两次，甲表示事件“第一次点数为奇数”，乙表示事件“第二次点数为偶数”，丙表示“两次点数相同”，丁表示“两次点数之和为偶数”，则下列选项中的两个事件不相互独立的是（ ）
A．甲与丙 B．乙与丙 C．乙与丁 D．丙与丁
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知复数满足，则下列说法错误的是（ ）
A．的虚部为 B．的共轭复数
C． D．
10．某高中一年级共有甲、乙、丙3个班级，其中甲班40人，乙班50人，丙班40人，在某次数学月考中，甲班的及格率为，乙班的及格率为，丙班的及格率为，则（ ）
A．若用简单随机抽样法从一年级所有学生中抽取13人，则甲班应抽取4人
B．若按照各班人数比例用分层随机抽样法从一年级所有学生中抽取26人，则丙班应抽取8人
C．这次一年级数学月考的平均及格率为
D．若从这次一年级数学月考及格的学生中随机抽1人，则该学生来自丙班的概率最大
11．小张于2017年底贷款购置了一套房子，根据家庭收入情况，小张选择了10年期的等额本息的还贷方式（每月还款数额相等），2021年底贷款购置了一辆小汽车，且截至2022年底，他没有再购买第二套房子．如图是2018年和2022年小张的家庭的各项支出占家庭收入的比例分配图．根据以上信息，判断下列结论中正确的是（ ）
A．小张一家2022年的家庭收入比2018年增加了1倍
B．小张一家2022年用于娱乐的支出费用为2018年的5倍
C．小张一家2022年用于饮食的支出费用小于2018年
D．小张一家2022年用于车贷的支出费用小于2018年用于饮食的支出费用
12．如图，在四棱雉中，，，，，平面，设，，，的中点分别为，，，，则（ ）
A．，，，四点共面 B．平面平面
C．四棱锥的表面积为 D．异面直线与所成角的正切值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则________．
14．已知，一组数据4，2，，，7的方差为3.6，则________．
15．根据以往经验，小张每次考试语文成绩及格的概率为0.8，数学成绩及格的概率为0.9，语文和数学同时及格的概率为0.75，则至少有一科及格的概率为________．
16．如图，菱形的边长为6，，，则的取值范围为________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知向量，满足，，且和的夹角为．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求在上的投影向量的长度．
18．（12分）
某工厂对工人的专业技能做了一次测试，并将所有测试成绩（满分100分）按照，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中．
（Ⅰ）求测试成绩的分位数；
（Ⅱ）按照人数比例用分层随机抽样的方法，从成绩在内的工人中抽取4人，再从这4人中任选2人，求这2人成绩都在内的概率．
19．（12分）
甲、乙两名技工加工某种零件，加工的零件需经过至多两次质检，首次质检合格的零件作为一等品出售，不合格的零件交由原技工进行重新加工，重新加工完进行再次质检，再次质检合格的产品作为二等品出售，不合格的作废品处理．已知甲加工的零件首次质检的合格率为，重新加工后再次质检的合格率为，乙加工的零件首次质检和重新加工后再次质检的合格率均为，且每次质检合格与否相互独立，现由甲、乙两人各加工1个零件．
（Ⅰ）求这2个零件均质检合格的概率；
（Ⅱ）若一等品的价格为100元，二等品的价格为50元，废品的价格为0元，求这2个零件的价格之和不低于100元的概率．
20．（12分）
如图，在棱长为3的正方体中，，为棱的两个三等分点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
21．（12分）
已知在中，，，分别为内角，，的对边，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设为边上一点，是的角平分线，且，，求的面积．
22．（12分）
如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱，上，且，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的大小．
河南省大联考2022-2023学年高一下学期6月阶段性测试（五）
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．C 2．B 3．D 4．C 5．B 6．A 7．B 8．D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．ABD 10．BC 11．AD 12．ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．3 14．1 15．0.95 16．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解析 （Ⅰ）
．
（Ⅱ）
．
所以在上的投影向量的长度为
．
18．解析 （Ⅰ）由频率分布直方图可知，即，
又，所以，．
前三组的频率之和为，前四组的频率之和为，
则分位数，且．
（Ⅱ）成绩在和内的人数之比为，
故抽取的4人中成绩在内的有3人，设为，，，成绩在内的有1人，设为，
再从这4人中选2人，这2人的所有可能情况为，，，，，，共6种，
这2人成绩均在内的情况有，，，共3种，
故这2人成绩都在内的概率为．
19．解析 （Ⅰ）设事件表示“甲加工的零件质检合格”，事件表示“甲加工的零件首次质检合格”，事件表示“甲重新加工的零件再次质检合格”；设事件表示“乙加工的零件质检合格”，事件表示“乙加工的零件首次质检合格”，事件表示“乙重新加工的零件再次质检合格”．
则，
．
所以．
（Ⅱ）设事件表示“这2个零件的价格之和不低于100元”，则，
，
，
则．
20．解析 （Ⅰ）如图，连接交于点，连接．
在中，为的中点，为的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面．
（Ⅱ）连接，，．
在正方体中，，，，所以平面，
而，均在平面内，所以，，
所以是二面角的平面角．
因为正方体的棱长为3，所以，，，
由勾股定理得，，．
在中，由余弦定理得，
所以二面角的余弦值为．
21．解析 （Ⅰ）由条件及正弦定理得，
即，得，
由余弦定理得，
又，所以．
（Ⅱ）因为是的角平分线，
所以．
由，可得．
因为，，所以，解得，
故．
22．解析 （Ⅰ）连接．由已知可得，
又，易得四边形是正方形，则．
因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，所以，
又因为，，所以平面，因为平面，所以．
又，所以平面．
（Ⅱ）连接，，如图所示．
因为，三棱柱是直三棱柱，
所以平面，又平面，
所以点到平面的距离即为．
设点到平面的距离为．
由，得，
即，
得，
解得，
即点到平面的距离为．
（Ⅲ）如图，设与相交于点，连接．
由（Ⅰ）知，平面，所以是直线与平面所成的角．
由勾股定理得，，
则，得，
故直线与平面所成的角为．