河南省郑州市名校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

郑州市名校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1．已知复数∠满足，则（ ）
A．－1 B．1 C． D．2
2．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是圆面，这个几何体不可能是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．球 D．棱柱
3．欧拉公式（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名、最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数在复平面内对应点所在的象限是（〉
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．在中，，，，则（ ）
A．或 B． C．或 D．
5．已知圆锥O的高为，它的侧面展开图是圆心角为240°的扇形，则该圆锥的表面积是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则的形状为（ ）
A．正三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
7．如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形，己知，，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．20 B．12 C． D．
8．已知中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9．如图长方体被一个平面截成两个几何体，其中，则（ ）
A．几何体是一个六面体
B．几何体是一个四棱台
C．几何体是一个四棱柱
D．几何体是一个三棱柱
10．己知复数，则下列说法正确的是（ ）
A．复数∠在复平面内对应的点在第四象限 B．复数∠的虚部为－6
C．复数∠的共扼复数 D．复数∠的模
11．设点D是所在平面内一点，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则点D是边BC的中点
B．若，则直线AD经过的垂心
C．若，则点D在边BC的延长线上
D．若，且，则是面积的一半
12．设复数（）（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．“”的充要条件是“”
B．若，则的最大值为3
C．若，，则
D．方程在复数集中有6个解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）设向量，，若，则______．
14．（5分）已知复数和满足，且，则的最小值是______．
15．（5分）如图，在中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若，，则的值为______．
16．（5分）在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且点D是AB的中点，若，，则面积的最大值是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。
17．（10分）已知，，是同一平面的三个向量，其中．
（1）若，，求的坐标；
（2）若与的夹角的余弦值为，且，求．
18．（12分）如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东75°距离60海里处，小岛B北偏东15°距离海里处有一个小岛C．
（1）求小岛A到小岛C的距离；
（2）如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向．
19．（12分）已知复数是一元二次方程的一个根．
（1）求m和n的值；
（2）若，，为纯虚数，求的值．
20．（12分）在直角梯形ABCD中，已知，，，，对角线AC交BD于点O，点M在AB上，且满足．
（1）求的值；
（2）若N为线段AC上任意一点，求的最小值．
21．（12分）如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算它的表面枳和体积（尺寸如图，单位：cm）．
注：
22．（12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
（1）求角B的大小；
（2）若，求的取值范围．
郑州市名校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷
参考答案
1-8：CDBBACAB
9-12：ACD；BCD；ABD；ABD；
13．2； 14．4； 15．2； 16．
17．
解：（1）根据题意，，
若，则设的坐标为，
又由，则，
解可得：或，
则或；
（2），则，
设，
若，则，
即，
解可得：，即．
18．
解：（1）由题意知，，，
，
在中，由余弦定理知，，
所以，
故小岛A到小岛C的距离为海里．
（2）由余弦定理知，，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
由，知游船航行的方向是北偏东60°．
19．
解：（1）∵
是一元二次方程的一个根，
∴，则．
，得；
（2）是纯虚数，
则，即．
∴．
20．
（1）在梯形ABCD中，因为，，∴，
∴
；
（2）令，
令，则，，
所以当时，有最小值．
21．解：三视图复原的几何体下部是底座是棱台，中部是棱柱，上部是球，
这个奖杯的体积
；
这个奖杯的表面积：（其中奖杯底座的侧面上的斜高等于）
．
22．
解：（1）∵
∴
即
根据正弦定理得，
即，
∴，
即，∴．
（2）∵，
∴
（2）由正弦定理得：，
∴，，
∴
，
∵，∴，即，
∴，
∴，∴，
即，∴，．