人教版五年级下册 分数的意义与性质 练习（无答案）

五 年级 下 册第 4 单元 分数的意义与性质 练习设计
一、教材分析
分数是有理数中至关重要的概念，是小学生学习的一大难点，本单元教材分析从整体理解分数的多种意义、梳理人教版教材体系、本阶段分数意义的深度把握三方面来展开。
整体理解分数的多重意义
分数意义的丰富性造成了我们学生理解分数的困难度，张奠宙（2010）在《分数的定义》中给出四种分数的定义：份数定义、商定义、比定义、公理化定义。纵观小学阶段的教材，我们认为分数的意义主要是“比、测量、运算和商”四种。
“比”是指部分与整体的关系和两个量之间的（比的）关系。“测量”指的是可以将分数理解为分数单位累积的结果。“运算”主要指的是讲对分数的认识转化为一个运算的过程。“商”主要是指分数转化为除法之后运算的结果。这四个方面相辅相成，共同承担着学生对于分数意义丰富性的认识。
梳理人教版教材安排体系
小学阶段对于分数的学习要跨越3年级到6年级，人教版教材的体系安排分为表1这样几个阶段，二年级是认识平均分，为三年级学习分数的“均分”特点打下基础。三年级上学习分数的初步认识，是一种感性认识，五年级下进一步学习分数的意义，建立分数模型。后续的分数运算和解决问题则是分数知识的拓展应用。
表1 人教版关于分数的学习教材安排体系表
年级 单元 具体内容 目的与方法
二年级 认识平均分 平均分 孕伏阶段
三年级 分数的初步认识 几分之一、几分之几、简单计算、简单应用 以感性认识为主，借助直观模型初步理解分数的意义
五年级 分数的意义与性质 分数的意义、分数的基本性质、分数与小数互化、分数的加法和减法 以理性认识为主，经历抽象概括，深入理解分数的意义，建立分数模型
六年级 分数的乘除法 后续拓展为比和比例、百分数 以实践应用为主，进行综合应用，解决分数的相关问题
从表1可以看出，教材安排分数的知识体系是从感性到理性再到实践性，而五年级的《分数的意义和性质》这个单元，对分数的意义又有哪些关键点呢？
人教版教材中分数的初步认识都以“率”为主线切入，不涉及量；分数的意义起始课都以“率”这一主线展开，然后逐步加入“量”。而五年级分数的意义这单元的教学，理解分数的的三个关键知识点非常重要——单位“1”、分数的意义、分数单位。分析人教版教材我们可以这样来理解这三个知识点：
单位“1”：侧重于不同单位“1”下所表示同一个分数，让学生体会分数相同，单位“1”的变化。
分数意义：通过对比不同形状、不同数量物体的四分之一，强调把一个整体平均分成四份，这样的一份可以用四分之一表示。
分数单位：与分数意义紧密结合，分同一堆糖果得到不同的分数引出分数单位的定义。
所以我们可以这样定位：单位“1”不同，分数相同，实际所包含的数量也不同；单位“1”相同，分数不同，实际所包含的数量也不同。
本阶段分数意义的深度把握
基于上述思考，五年级阶段的分数意义和三年级时是有区别和联系的，具有一定的进阶性，主要表现在以下四个方面。
（1）“比”：从数量比进阶到份数比
首先看“比”这一项，“比”是指部分与整体的关系和两个量之间的（比的）关系。人教版教材非常重视这个方面的意义，教材上安排的比例这个内容是最大的，整个发展的趋势是从“数量”走向“份数比”。就是平均分成几个就是几份，学生只要数平均分成了几个就是几份，这就是数量比的意义。份数比是每一份不一定是一个，所以要数平均分成了几份。这两者的本质区别就是单位“1”从一个变成了多个，这也是学生认识分数意义的一般进程。
五年级学习分数的时候数量比只是简单引入，重点学习份数比这个意义。
“比”：从部总关系进阶到两量关系
分数作为比的意义还有一个变化是从部分与整体的关系走向两个量之间的关系。部分与整体的关系代表性的是等分关系，即我们每次都要强调的“平均分”，而两个量之间的关系代表性的是比例关系，就是两个量之间的整比例关系。
三年级时重点强调平均分，研究的是其中的一部分和整个的关系。五年级平均分只是作为复习形式提到一下，并没有作为重点，重点是多个物体中几份和整体的关系，然后是几份和几份的关系。
（2）“测量”：从单位分割进阶到单位累积
测量指的是可以将分数理解为分数单位累积的结果。测量意义更多的可以理解为是量的累加和分割。累加就是分数单位的累加，比如1里面有两个二分之一，四分之三里有3个四分之一，最后走向分数加减法。分割指的是分数单位的产生，不满1时我们可以用分数来表示，怎样表示呢？以一个标准为单位分一分，看它里面有几个这样的标准单位。
三年级时首先就是分割，半个蛋糕怎么分出来的？就是分割产生了分数单位二分之一。然后再分割几分之一，不断通过各种分割产生了不同的分数单位，这就是分数测量方面意义的很好体现。要让学生经历分割产生分数单位的过程。
而五年级的学习更多体现的是两者的结合，分割再累积。分一分就是进行标准单位的分割，涂一涂的涂几个则是分数单位的累积。最终，要让学生能够把这些操作与分数的意义建立联系，知道分的每一份就是我们说的分数单位，而涂了几份就是有这样的几个分数单位，也就是四分之三里有三个四分之一。
（3）“运算”：从分取过程进阶到联系算式
“运算”主要指的将对分数的认识转化为一个运算的过程，与分数的运算是有区别的。在三上阶段体现为“分和取的过程”，主要承载的是分数的简单应用。在五下阶段体现为“分和取的过程”，主要表现为与算式建立联系：如四分之三就是1÷4×3.
两个阶段的学习都要不断强调这个分和取的过程，取的动作改为表示这样的几份，因为涉及到后面的假分数，这样表述更为准确。在这样的初始课上，我们不出示这个算式，但是教师必须明白，让学生经历这样的过程，其实就是在讲分数意义中的“运算”。
（4）“商”：从表示数进阶到表示结果
最后来看“商”这个内容，商主要指分数转化为除法之后运算的结果，它使学生对于分数的认识由“过程”凝聚到“对象”，直白一点说就是分数也是一个数，可以和其它数一样进行运算，可以表示除法的结果。
人教版对于分数表示一个数的认识是比较滞后的，三上分数的初步认识里几乎没有涉及到，只是在一开始的二分之一出示时，有一句话表示半个月饼。习题中也没有出现表示数的内容。在五下的第一课时中也没有呈现，而是在分数与除法这个内容中才涉及到。也正因为这样，所以会给学生一个很突兀的感觉，明明已经先入为主知道分数就是“比”，怎么又突然出来一个“数”呢？学生就很难理解。
综上所述，我们认为让学生一开始就感知到分数的多重意义，相当于打开学生的视野，为后续分数的学习打下良好的基础。
二、学情分析
从三年级上到五年级下，时隔两年后学生对分数的认识是怎样的？是随着生活经验的增加而丰厚了呢，还是随着时间的推移而遗忘了？
1.前测习题设计
为了更好地把握学习起点，从而使教学精准而有效，我们对我校五年级学生分别进行了学情前测。
前测习题共两题，目的主要是为了了解学生对于平均分的整体也就是单位“1”的起点处于一个物体还是多个物体，即是连续的面积模式多还是离散的集合模式多。具体分数所表示意义的理解停留于哪个层次，是处于浅层的基于物体个数的理解还是已经触及深层的份数关系层面的理解。
数据实证分析
单位“1”选择连续量是离散量的三倍。习题一画图表四分之一的，选择一个几何图形（连续量）画四分之一的占74.5%，选择多个物体的仅占25.5%，具体见图1。而从思维水平层次来看，能画图正确表征四分之一的占100%，能用文字正确表征的占26.4%，既能画图表征又能用文字表征的占26.4%，既能用离散量表征又能用文字正确表征的仅占3.9%。可见，离散量对于学生来说比较难以理解。
分数的意义数量比大于份数比。习题二用 表示的占66%，用 表示的占10%，觉得既可以用 表示也可以用表示的占8%。
前测结果说明学生以多个物体为单位“1”的意识不强；对于分数意义的描述大多停留在物体数量比视角，份数比视角相对较弱，对于分数意义的理解处于浅层。
整体教学安排
五年级学生的思维处于形象思维向逻辑思维过渡时期，学生已具备一定的思考能力，也具有一定的操作能力和操作经验，但是要走向理解层面，还需要依托一定的实践载体。因此本单元的教学安排进行了微调，具体见表2：
表2 分数的意义与性质教学计划表
教学内容 意义呈现 学习目标 课时数
分数的再认识（一） 进一步体会部分和整体的关系，从分数的“数量比”过渡到“份数比” 抽象概括出分数的意义 2
分数再认识（二） 侧重分数的“测量”理解（分数单位的学习） 与长度单位进行练习，体会分数单位的意义 2
分饼 用分数表示分得的结果 教学真分数与假分数 2
分数与除法 从“运算”和“商”的角度认识分数，体会分数与除法的关系 分数表示运算的过程，又是运算的结果；带分数与假分数互化。 2
分数的基本性质 解决问题 在分数基本性质的探索和验证中，再次加深分数意义“比”的理解 教学分数基本性质，等值分数以及基本运用。 3
约分和通分 分数基本性质的运用：约分和通分 最大公因数和最小公倍数以及解决问题，约分和通分 7
表2这样的安排，把分数的多重意义进行了分解和融合，整个单元的教学都是在理解和深化分数的意义上，它们在定位上互有侧重，但它们之间互相补充和促进，共同支撑了对于分数“比、测量、运算、商”等方面的丰富理解。
单元学习目标
1.知道分数是怎样产生的，理解分数的意义，明确分数与除法的关系。
2.认识真分数和假分数，知道带分数是一部分假分数的另一种书写形式，能把假分数化成带分数或整数。
3.理解和掌握分数的基本性质，会比较分数的大小。
4.理解公因数与最大公因数、公倍数和最小公倍数，能找出两个数的最大公因数和最小公倍数，能比较熟练地进行约分和通分，并能应用所学知识解决简单的实际问题。
5.会进行分数与小数的互化。
单元练习设计
【总体表述】本习题设计涉及本单元所有知识点，以能力为主设计习题，同时关注知识的融合与创新，学生思维的发展与进阶。练习时间建议70分钟左右，分值100+10。很多能力指向的习题，建议在教学中要有所涉及，也是一份学习方法引领和学习能力表征的较好体现。
一、填空。
（1）的分数单位是（ ），它有（ ）个这样的分数单位，再添上（ ）个这样的分数单位就是最小的质数。
【设计意图】主要考察分数的意义与分数单位的理解，属于基础知识，结尾综合了最小的质数这个知识点，要求正确率在95%以上。
（2）36÷（ ）＝＝（ ）÷15＝（ ）（小数）
【设计意图】此题比较综合，是分数的意义和分数与除法的关系、分数的基本性质、分数化小数这些知识点的融合，学生必须在理解这些概念的基础上才能正确解答，因此属于水平二的习题，要求正确率在90%以上。给学生的建议是要找到完整告诉你的那个信息，然后逐一突破。
五（5）班女生人数是男生的,那么男生人数是女生的（ ），男生人数是全班人数的（ ）。
【设计意图】主要考察分数的意义中“份数比”的应用以及单位“1”的理解，是知识和能力的综合体现，要求正确率在95%以上。
（4）下图是数轴上的一部分，请填出下图括号里表示的数。
【设计意图】主要考察分数的意义中作为数的意义属性，与数轴结合要求填写数。但是在数轴上并没有呈现完整的数轴，而是选取了一部分，从2开始，学生必须要从2和2又四分之一中找到每一个表示的大小，然后再推理得到其他的数。因此这个习题属于水平层次三的习题，对能力要求较高。但是此题是学生多种能力培养的体现，如观察能力、分析能力、推理能力，同时还要综合分数的意义，因此是高阶思维培养的好习题。
（5）在括号里填上合适的分数 45分=（ ）时 875立方分米=（ ）立方米
【设计意图】此题主要考察分数知识的应用，主要涉及单位间的进率，以及约分的方法、最简分数等。要求正确率在95%以上。
甲数是乙数的（甲、乙都是整数），甲数与乙数的最小公倍数是（ ），最大公因数是（ ）。
【设计意图】主要考察分数的意义和最小公倍数和最大公因数的综合运用，学生首先要理清甲和乙的倍数关系，然后再运用方法求出最大公因数和最小公倍数。要求正确率在90%以上。
分数（m是大于0的自然数），当m （ ）时，是假分数；如果能化成有限小数，m可以是（ ）。
【设计意图】主要考察分数的真分数与假分数以及有限小数的知识，采用字母符号让本题从知识走向了能力维度。特别是第三空，答案不止一个，对学生的思维要求较高，属于水平层次三。要求正确率在80%以上。
A=2×2×3×5，B=2×3×3×5×7，那么约成最简分数是（ ）。
【设计意图】主要考察分解质因数和最简分数的知识，是一道思维发散题，属于水平层次三，对能力要求特别高。其实是约分的另一种体现，可以把A和B的质因数分别写在分数线上下，然后进行质因数约分就可以，剩下的就是最简分数。但是用字母和质因数这样的算式表述，对学生来说难度增加，如果平时没有教学过，很多学生可能不会想到这个方面，因此这个习题对打破思维定式有很好的效果，建议平时就要有所涉及，是高阶思维培养的好习题。
二、选择题。
（1） 3kg香油平均分装在8个瓶里，每瓶重（ ），每瓶的质量是总数的（ ）。
A、 B、kg C、 D、kg
【设计意图】主要考察分数的意义中“量和率”的综合问题，是分数表示关系和表示运算结果的组合。学生要理解表示关系用单位“1”运算，表示运算结果用具体量去运算。只有真正理解了这些意义，才能正确解决。要求正确率在98%以上。
（2）在,,,中，分数单位最大的是（ ）
A、 B、 C、 D、
【设计意图】主要考察分数单位的理解，这个习题要找分数单位最大的数，其实和分子和无关的，甚至可以记住最大的分数单位是二分之一，因此这里的分子都是对学生思考的干扰因素，所以属于水平层次二的习题，属于能力维度。要求正确率在90%以上。
（3）大于小于的分数有（ ）个。
A、1 B、2 C、3 D、无数
【设计意图】这个习题比较简单，考察分数比大小的知识，也是分数数的意义的理解。可以结合数轴让学生理解，要求正确率在100%。教学时，可以拓展题目，增加“最简分数”等属性，让学生综合学习知识。
（4）在运动会开幕式上有个啦啦操表演，要求男女生分开排队，且每排人数相同（大于5人），下面（ ）选项符合要求。
A、男35人，女45人 B、男36人，女48人 C、男37人，女48人 D、男45人，女46人
【设计意图】主要考察最大公因数的知识，但是给了数据选择的形式给习题增加了难度，成为能力维度。同时也是分数知识在生活中的简单应用，教学时可以让学生通过实战演练来理解。
（5）下面4个分数都是真分数，一定是最简分数的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【设计意图】主要考察真分数和最简分数的知识，但是因为和符号结合，使本题目从知识维度走向能力维度，促使学生主动去分析习题中可能的数字，采用列举法、分析法等来解决问题，找到A选项。因此这个习题属于水平层次三的习题，对能力要求较高。但是此题是学生多种能力培养的体现，如观察能力、分析能力、推理能力，同时还要综合分数的意义，因此是高阶思维培养的好习题。
（6）右图中阴影部分的面积占整个图形面积的（ ）。
A、 B、 C、 D、
【设计意图】主要考察分数的意义在具体情境中的理解，与图形结合写分数。因为图形不是均分，所以学生第一步要先均分图形，然后再根据阴影部分所占的大小写分数。属于水平层次三的习题，学生要有一定的实践能力与想象能力，同时对分数的意义有较深的理解。
（7）下列说法正确的是（ ）
①把单位“1”分成若干份，表示这样的一份或几份用分数表示；
②分数可以分成真分数和假分数两大类；
③红球个数是白球的，那么红球就是3个，白球就是5个。
④两个数中有一个是质数，那么它们一定互质。
⑤两个数的积一定是这两个数的公倍数。
①②③④ B、①②③⑤ C、②③⑤ D、 ②⑤
【设计意图】主要考察分数的意义这个单元的综合运用。这样的题目比较难，因为要考虑的因素很多，对思维和知识能力要求都很高。首选必须对涉及到的单元知识都掌握，然后要有思辨能力，能够辨析这些基础知识的表述是否正确，最后还要进行选择。是超过水平层次三的习题，但同时也是学生综合能力培养的好习题。
三、计算
1.直接写出得数。
+= 6÷18= 2÷3= 1-=
0.5÷0.7= -= 28÷16= 2+=
【设计意图】此题主要考察学生对于分数的意义运算部分的知识。主要是分数单位的累加与递减，分数与除法的关系，分数与除法的关系以及约分的知识，最简分数，分数表示运算的结果等，简单的整数与真分数的组合成带分数等知识。涵盖意义非常广。
2.先通分再比较大小：和 ，和
【设计意图】主要考察通分和分数比大小的知识。第一个小题是两个分数，第二个小题是三个分数，还涉及到假分数和带分数。因此第二个小题较第一个小题水平层次更高，对能力要求也更高。
= = =
【设计意图】主要考察假分数约分、化成整数和带分数的知识点。属于基本技能维度。
4.把分数化成小数，把小数化成分数。
= = = =
1.25= 3.875= 0.08= 1.45=
【设计意图】主要考察分数与小数的互化。这里的设置几乎涵盖了全部形式，比如真分数、带分数，学生要解决这些问题，需要互化知识、约分知识等。虽然说比较简单，容易理解，但是学生的错误率比较高，因此要求学生写出所有的思考过程，这样可以提高正确率。
5.求出下列两组数的最大公因数和最小公倍数
24和36 12,15和30
【设计意图】主要考察最大公因数和最小公倍数的知识。第一小题求两个数，第二小题求三个数。可以采用短除法也可以采用列举法。方法不做要求，不同的学生可以选取不同的方法。
6.用2、3、8、9这4个数中按要求组成两个分数。（拓展题）
【设计意图】主要考察分数的意义这个单元的综合运用。这样的题目比较难，因为要考虑的因素很多，对思维和知识能力要求都很高。首先学生要能理解这两个算式的意义，第一题是分数比大小，第二题是估算分数值的大小。其次是开放题，答案不唯一。最后学生要学会验证自己的想法是否正确，因此要有思辨能力，是超过水平层次三的习题，但同时也是学生综合能力培养的好习题。
四、解决问题。
1. 五年级共有360个学生，据统计是独生子女的学生有80个，那么非独生子女的学生占五年级学生总数的几分之几？
【设计意图】主要考察分数的意义。这样的题目比较简单，只是要关注80是独生子女，那么闲要计算非独生子女的人数，就可以计算。属于水平层次一的习题，要求正确率在95%以上。
2. 甲、乙两人投篮比赛，甲8投5中，乙10投7中，谁的命中率高？（把你的思考过程用语言或算式表示出来）
【设计意图】主要考察分数的意义和分数比大小的实际应用。这样的题目不难，但要考虑的因素还是很多，解决问题的方法也有多样。所以要求写出思考过程，不同思维水平层次的学生，他的思考过程也会不一样，这个习题可以作为学生思维水平层次的分析题。最后这样习题的计算正确率也是要重视的，很多学生会计算错误，或者没有估算意识。所以这也是学生综合能力培养的好习题。
一根绳子长15米，第一次用去全长的，第二次用去5.5米，哪一次用去的多？
【设计意图】此题是分数的意义和分数与小数互化、比大小的综合运用。分数的意义里是量和率的综合呈现，也是分数运算意义的体现。学生可以通过分数意义的理解把五分之二转化成具体量，是6米，然后和5,5米比较，也可以算出5.5米占总长的几分之几，和五分之二去比较。总之这个习题主要靠思维，数据计算不是考点，属于水平层次二的习题，主要还是分数意义量率并行的综合理解和应用。
4.小明家储藏室长30分米，宽24分米。如果要用正方形方砖把地铺满（使用的砖必须是整块），你选（ ）号砖？并计算出需要多少块瓷砖？
（①边长3分米 ②边长4分米 ③边长5分米 ④边长6分米 ）
【设计意图】这个习题考察最大公因数的知识点，但是在解决问题的形式下，又提供了四组数据，给习题增加了很多开放元素，也使习题从知识维度走向了能力维度。对学生的要求也更高了。
5. 五（1）班学生不超过50人，体育课上，同学们分组活动，每组6人，就少2人，每组8 人就多6人。五（1）班有多少人？
【设计意图】此题考察最小公倍数的综合运用。但是在简单地找两个数的最小公倍数的基础上，增加了少2人和多6人，使得学生在思考中增加了难度。因此属于综合运用，并有一定的拓展。可以建议学生用画图的方式来理解，同时也要关注到信息不超过50人，从而给答案框定一定的范围。这样的题目比较难，因为要考虑的因素很多，对思维和知识能力要求都很高，是学生综合能力培养的好习题。
拓展题：
（如右图）梯形的两条对角线把梯形分成4个小三角形。
CO=3厘米，OA=6厘米，那么阴影部分三角形的面积
是整个梯形面积的几分之几？
【设计意图】拓展题主要考察分数的意义，同时结合图形的知识。此题学生首先要关注到已有信息，两条边的长度，发现两条边是倍数关系，从而得到两条边对应的三角形的面积也是倍数关系，然后再根据等底等高的关系找到另外两个三角形的大小，采用份数比的方式得到四块面积的大小比是1:2:2:4，由此得到阴影部分的面积占4/9。这样的题目比较难，涉及知识点多，还需要学生能够关联起来，最后运用分数意义的知识解决。是超过水平层次三的习题，属于拓展抽象水平层次，但同时也是学生综合能力培养的好习题。