练习
1.判断题：
①平面α,β及直线l满足α⊥β,l∥α,则l∥β
②若直线m∥平面α, 直线n⊥平面β,m⊥n,则α⊥β
③若直线m∥平面α, 直线n⊥平面β, m∥n,则α⊥β
④直线m⊥直线n, m∥平面α, 平面α∥平面β则n⊥β
⑤直线m⊥平面α, 直线n∥平面β,α∥β则m⊥n
⑥直线m⊥平面α, 直线m∥直线n, 平面α∥平面β则n⊥β
2.如图正方体ABCD-A1B1C1D1中,则下列结论中
正确的是 .(把所有正确结论的序号都填上)
①BD∥平面CB1D1;
②AC1⊥平面CB1D1;
③过点A1与异面直线AD和CB1成90°角的直线有2条
3. 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,
且底面ABCD为矩形,则下列结论中错误的是( )
A.平面PAB⊥平面PAD B.平面PAB⊥平面PBC
C.平面PBC⊥平面PCD D.平面PCD⊥平面PAD
4. 如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,
且PA=PB=PC,则△ABC是 三角形.
5. 如图,四棱锥S-ABCD中,底面正方形ABCD的边长为2,
SD⊥平面ABCD,SD=AD,点E是棱SD上任意一点.
求证:AC⊥BE.
6. 如图,把等腰直角三角形ABC沿斜边AB所在直线旋转
至△ABD的位置,使CD=AC.
求证:平面ABD⊥平面ABC.
参考答案：
1. ①×②×③√④×⑤√⑥√
提示：①在正方体中，平面ABCD⊥平面ABB1A1,B1C1∥平面ABCD,
但是，B1C1⊥平面ABB1A1.
②在正方体中，BC∥平面A1B1C1D1,BB1⊥平面ABCD,BC⊥BB1,
但是，平面A1B1C1D1∥平面ABCD.
③在平面α内取一点A，由A和m确定的平面记为γ，平面α和平面γ的交线记为l，∴m∥l, 已知m∥n，∴l∥n, 已知n⊥平面β, ∴l⊥平面β, ∴α⊥β.
④在正方体中，AB⊥B1C1,AB∥平面A1B1C1D1, 平面A1B1C1D1∥平面ABCD，
但是，B1C1∥平面ABCD.
⑤∵直线m⊥平面α, α∥β，∴m⊥β,垂足记为A,由A和n确定的平面记为γ，平面β和平面γ的交线记为l，根据直线与平面平行的性质定理得，l∥n,∵l在平面β内，∴m⊥l,∴m⊥n.
⑥∵直线m⊥平面α, 直线m∥直线n,∴直线n⊥平面α,又∵平面α∥平面β,
∴直线n⊥平面β
2.①②
提示：① 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD∥B1D1,
B1D1 平面CB1D1,BD 平面CB1D1。
②连接A1C1,BC1(自己画图),由A1B1C1D1是正方形，
得B1D1⊥A1C1,又∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1,又A1C1∩AA1=A1,∴B1D1⊥平面AC1A1,故B1D1⊥AC1.
同理可得B1C⊥AC1.(自己尝试证明一下，如果不会证，那么一定要重新学习一下前面证明B1D1⊥AC1的过程)又B1D1∩B1C=B1,∴AC1⊥平面CB1D1.
③∵AD∥BC,点A1与直线AD成90°角的直线必和BC也垂直,又过点A1的直线和CB1垂直,BC∩CB1=C,∴该直线必和平面B1C1CB垂直,满足条件的只有直线A1B1,故③不正确.
3.C
提示：从选项上看都是面面垂直的问题，因此应该想到面面垂直的判定定理：“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。”
由PA⊥底面ABCD,可得PA⊥AD,PA⊥AB,又∵ABCD为矩形,
∴AD⊥AB,而AD∩PA=A, ∴AB⊥平面PAD，平面PAB经过AB，
∴平面PAB⊥平面PAD, 选项A正确；∵CD∥AB,
∴CD⊥平面PAD，平面PCD经过CD，∴平面PCD⊥平面PAD,
选项D正确；
同理BC⊥平面PAB,∴选项B正确.
如果是考试，那么选C.
如果是学习，那么我们要知道为什么选项C不正确。
假如C正确，即平面PBC⊥平面PCD，交线是PC，在直角三角形PBC中，过B点作斜边PC的垂线，垂足记为M,则BM⊥平面PCD,∴BM⊥CD,已知CD⊥BC,∴CD⊥平面PBC,∴CD⊥PC与CD⊥PD相矛盾。
4. 直角
提示：由条件“平面PAB⊥平面ABC”，应该想到面面垂直的性质定理：“如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。”
根据前述的性质定理，平面PAB和平面ABC的交线是AB，那么是在平面PAB内还是在平面CAB内作AB的垂线呢？结合题中另一个条件PA=PB=PC，我们应该在平面PAB内作，这样与条件联系起来更方便(至少有一个相同的点P).
在三角形PAB中，过点P作AB的垂线，
垂足为O,根据面面垂直性质定理，
PO⊥平面ABC.连接OC, ∴PO⊥OA, PO⊥OB, PO⊥OC.
已知PA=PB=PC,∴Rt⊿POA≌Rt⊿POB≌=Rt⊿POC,
∴OA=OB=OC,
∴△ABC是直角三角形.
5. 提示：根据题目信息“点E是棱SD上任意一点”，且要求证明“AC⊥BE.”这说明直线AC⊥平面SBD。所以应该想到直线与平面垂直的判定定理：“如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直。”
因此，需要证明直线AC与平面SBD内的两条相交直线垂直。
已知四边形ABCD是正方形,所以AC⊥BD.又∵SD⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,∴AC⊥SD，又SD∩BD=D,∴AC⊥平面SBD.
6. 提示：为了证明面面垂直，应该想到面面垂直的判定定理：“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。”
即，在平面ABD内找一条与平面ABC垂直的直线或者在平面ABC内找一条与平面ABD垂直的直线.本题是“把等腰直角三角形ABC沿斜边AB所在直线旋转至△ABD的位置,使CD=AC.”因此，在哪个平面内找是一样的。
在等腰直角三角形ABC中，AB是斜边，
所以，BC(AC)与AB都不垂直，
因此，需要在平面ABC内作一条直线，
证明所作的直线与平面ABD垂直。
取AB的中点O,连接OD,OC.
∵△ABC和△ABD均是以AB为斜边的等腰直角三角形,∴OC⊥AB,OD⊥AB,
设等腰直角三角形ABC的腰长为2a,则OD=OC=a,已知CD=AC, ∴OD2+OC2=CD2,
∴CO⊥OD.
OD,AB是平面ABD内两条相交直线，∴CO⊥平面ABD,
CO在平面ABC内，∴平面ABD⊥平面ABC.
附1：
怎么想
很多学生有这样的困惑，基础知识都掌握了，但还是用不上。
下面以第5题为例说明一下数学中的“怎么想”。
如图,四棱锥S-ABCD中,底面正方形ABCD的边长为2,
SD⊥平面ABCD,SD=AD,点E是棱SD上任意一点.
求证:AC⊥BE.
我们要知道想证明两条直线垂直的方法之一是证明一条直线垂直经过另一条直线的平面。
根据题目信息“点E是棱SD上任意一点”，所以直线BE在平面SBD内，(平面SBD是确定的平面)，因此只需证明直线AC⊥平面SBD。所以应该想到直线与平面垂直的判定定理：“如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线与这个平面垂直。”
因此，需要证明直线AC与平面SBD内的两条相交直线垂直。
图中平面SBD内的两条相交直线只有直线SD,SB，连结BD,(连结BD时要考虑考虑BD是否容易证明和AC垂直，根据ABCD是正方形，所以可证直线AC⊥BD)。另一条与AC垂直的直线是选SD还是SB呢？要结合题中的其它条件。题中有条件“SD⊥平面ABCD”于是应该选择证明AC⊥SD(如果你知道“当SD⊥平面ABCD时，SD垂直平面ABCD内的任意直线。”这个基础知识，当然也会选择证明AC⊥SD。)
从中可以看出，只有在基础知识都记牢、记熟后运用才会得心应手。
比如你对基础知识“如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直平面内的任意一条直线”很熟悉，那么你在读题的过程中，读到条件“SD⊥平面ABCD”时，就会想到SD与AB,BC,CD,DA,AC这五条直线都垂直。所以思路就容易畅通。
解答高中数学题目时，不要只满足于该题目怎么做，更要清楚怎么想到的这么做，根据题目哪个信息联想到相关基础知识。
多总结，大有益处！
