练习
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点,P为AA1的中点,
则异面直线PO与A1D所成的角的余弦值是 。
2.在下列四个正方体中,能得出AB⊥CD的是 ( )
3.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,
E是AD的中点,F是BB1的中点,
则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为 .
4.如图,四边形ABCD为菱形,四边形CEFB为正方形,
平面ABCD⊥平面CEFB,∠BCD=60°,
若二面角D-CE-F的大小为α,则tanα=
5.(多选题)如图,四棱锥S-ABCD的底面为矩形,SD⊥底面ABCD,
AD=a,DC=b,SD=2,且a+b=2,则下列结论中不正确的是( )
A.P为棱SC上的点,则存在点P,使得SA∥平面BDP
B.A到平面SBC的距离有可能等于
C.SB与平面ABCD所成的角的大小有可能为
D.四棱锥的外接球的表面积的最小值是π
6.(多选题)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,
BC=CD=,AB=1,E为AB中点,以DE为折痕把△ADE折起,
使点A到达点P的位置,得到四棱锥P-EBCD,且PC=,
则( )
A.平面PED⊥平面EBCD
B.PC⊥ED
C.二面角P-DC-B的大小为45°
D.PC与平面PED所成角的正切值为
参考答案：
1.
提示：要求异面直线所成角，可以先想到定义：“如果a,b是异面直线，过空间中任意一点，分别作与a,b 平行或重合的直线a1,b1,则a1与b1所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小。”
根据定义，结合题中条件P,O分别是AA1和AC的中点，
连接A1C, ∴PO∥A1C,
∴∠CA1D是异面直线PO与A1D所成的角。
设正方体棱长为1，在三角形CA1D中，CD=1，A1D=，CA1=，
由余弦定理得，cos∠CA1D=.
2.A
提示：对于选项A,如图①,连接BE,则在正方形BDEC中,CD⊥BE,
又AE⊥平面BCED,CD 平面BCED,∴AE⊥CD,∵AE∩BE=E,
∴CD⊥平面ABE,∵AB 平面ABE,∴CD⊥AB.
结论：正方体的体对角线与面对角线是异面直线时，它们互相垂直。
对于选项B,如图②,连接AE,BE,易得CD∥AE,则∠BAE为异面直线
AB,CD所成的角,易知△BAE为等边三角形,∴∠BAE=60°。
结论：正方体相邻的两个面的面对角线相交或异面时所成角总等于60°。
对于选项C,如图③,CD∥BE,则∠ABE为异面直线AB,CD所成的角,
易得∠ABE=45°。
对于选项D,如图④,CD∥BE,
则∠ABE为异面直线AB,CD所成的角,显然∠ABE≠90°,
3.
提示：要求直线EF与平面ABCD所成角的正切值，
应该先想到定义：“如果直线AC是平面α的一条斜线，
C是斜足，AB垂直平面α于B,∠ACB称为直线AC和
平面α所成的角。”
根据直线与平面所成角的定义，需要找直线EF在平面ABCD内的射影(即找过点F与平面ABCD垂直的直线)，
在正方体中，BB1⊥平面ABCD,
∴FB⊥平面ABCD于B，连结EB,
∴∠FEB即为直线EF与平面ABCD所成的角.
在Rt△FBE中,可求BF=1,BE=,∴tan∠FEB=.
4.
提示： 要求二面角D-CE-F的正切值，应该先想到二面角
平面角的定义：“在二面角α-l-β的棱上任取一点O,以O为垂足，
在两个半平面α,β内作垂直于棱的射线OA,OB,∠AOB称为二面角α-l-β的平面角。”
本题中的半平面是EC-D和EC-F,(EC-F就是EC-B)棱是EC,
根据“平面ABCD⊥平面CEFB”已知条件应该想到面面垂直的性质定理：“如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。”
本题平面ABCD和平面CEFB的交线是CB,而刚好CEFB是正方形，即平面CEFB内的直线EC垂直于CB，∴ EC⊥平面CEFB.
分别在两个半平面内的射线DC,BC都与EC垂直。
∠DCB二面角D-CE-F的平面角。
由题意可知∠DCB=60°,即α=60°.
5.CD
提示：学到现在，对于四棱锥S-ABCD的底面为矩形,SD⊥底面ABCD,应该是比较熟悉的。它的四个侧面都是直角三角形(比如，
∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥AB，又∵AD⊥AB，∴AD⊥平面SAD,
∴SA⊥AB.)，SDB也是直角三角形。同时这个四棱锥是变化的
(∵AD,CD的长度是变化的)，但高SD是定长2.
对于选项A,记BD和AC的交点为O,当点P为SC的中点时,连接OP,则SA∥OP,易得SA∥平面BDP,故选项A结论正确;
对于选项B,因为A到平面SBC的距离是三棱锥A-SBC的高,记为h，于是可以考虑体积法求高。
三角形SBC面积为
∴
∴, ∴当b=1时，符合题意。故选项B结论正确;
对于选项C,已知“SD⊥底面ABCD”，∴DB是SB在平面ABCD内的射影，∴∠SBD是SB与平面ABCD所成的角,在三角形ABD中，AB+AD>BD,而AB+AD=a+b=2, ∴BD<2, ∴∠SBD>,故选项C结论错误;
对于选项D,由于⊿SAB,⊿SDB,⊿SCB都是以SB为斜边的直角三角形，∴四棱锥S-ABCD的外接球的直径为SB=,∵a+b=2,∴SB=
∴SB的最小值是,∴外接球的半径最小值是.故选项D结论错误.
6.ACD
提示：在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC,BC=CD=,AB=1,E为AB中点,
BCDE是正方形，且AD=, 以DE为折痕把△ADE折起, 得到四棱锥P-EBCD,且PC=,∴PD2+CD2=PC2,∴PD⊥CD,CD⊥平面PDE,∴CD⊥PE,∴EB,ED,EP两两垂直.
PE⊥平面BCDE,.
对于选项A,显然正确;
对于选项B,若PC⊥ED,则由ED⊥CD,PC∩CD=C,可得ED⊥平面PDC,则ED⊥PD,
而∠EDP=45°,矛盾,故B错误;
对于选项C,二面角P-DC-B的平面角为∠PDE,且∠PDE=∠ADE=45°,故C正确;
对于选项D,∠CPD为直线PC与平面PED所成的角,在直角三角形PCD中,
tan∠CPD==,故D正确.
附1：
用定义解题
在高中数学的学习过程中，用定义解题是很常见途径。
在现阶段立体几何的求角问题(包括异面直线所成角，直线与平面所成角，二面角)都是利用定义解题。
比如，在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点,P为AA1的中点,
则异面直线PO与A1D所成的角的余弦值是 。
本题是依据异面直线所成角定义找到异面直线PO与A1D所成的角，
然后再计算。连结A1C，∵A1C∥PO，∴∠CA1D是异面直线PO与A1D所成的角。
然后，在三角形CA1D中，求出∠CA1D的余弦。
再比如，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,
E是AD的中点,F是BB1的中点,
则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为 .
本题是依据直线与平面所成角定义找到直线EF与平面ABCD所成的角，
然后再计算。
∵FB⊥平面ABCD于B，连结EB,
∴∠FEB即为直线EF与平面ABCD所成的角.
在Rt△FBE中,求∠FEB的正切值。
再比如，如图,四边形ABCD为菱形,四边形CEFB为正方形,
平面ABCD⊥平面CEFB,∠BCD=60°,
若二面角D-CE-F的大小为α,则tanα=
本题是依据二面角的度量的定义先找二面角的平面角，
然后再计算。
∵BC⊥CE,CD⊥CE,BC在半平面CEB内，CD在半平面CED内，∴∠DCB二面角D-CE-F的平面角.
在菱形ABCD中，求∠DCB。
定义是最基础的基础知识。“记住基础知识，用基础知识做题”很重要！
