2022-2023学年第二学期期末试卷
高二数学参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．C 2．B 3．C 4．C 5．D 6．A 7．B 8．D
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．
9．ACD 10．AC 11．ABD 12．BD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13． 14．－25 15．y＝－x 16．7π
四、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．（本小题满分10分）
解：（1）设A1：第一次摸到的球是白球，A2：第一次摸到的球是黑球，
B: 第二次摸到的球是白球，
P(B)＝P(A1B)+P(A2B)＝×＋×＝． 5分
（2）X的可能取值为2，3，4，
P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝C×××＝，
P(X＝4)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)＝， 8分
所以数学期望E(X)＝2×＋3×＋4×＝． 9分
答：（1）第二次摸到的球是白球的概率为；（2）试验停止时试验的次数X的数学期望为．
10分
（本小题满分12分）
解：（1）由已知得，b2＋a2－c2＝accosA＋a2 cosC，
由余弦定理，得b2＋a2－c2＝2abcosC，
∴accosA＋a2 cosC＝2abcosC， ------------------------------------------------------------------2分
∵a＞0，∴ccosA＋acosC＝2bcosC，
由正弦定理，有2sinBcosC＝sinCcosA＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sinB，
∵sinB≠0，∴cosC＝， --------------------------------------------------------------------- 4分
又C∈(0，π)，∴C＝． ------------------------------------------------------------------------5分
（2）在三角形ABC中，B＝－A，
由正弦定理＝＝ 得：
a＝＝sinA ，b＝＝sinB＝sin(－A)， ----------------------------------------7分
∴a－b＝sinA－sin(－A)＝(sinA－cosA)＝sin(A－)， ----------------------- 10分
∵在三角形ABC中C＝，0＜A＜π，0＜B＝－A＜π，
∴0＜A＜，显然 －＜A－＜，即－＜sin(A－)＜，则有－2＜sin(A－)＜2，
所以a－b的取值范围是(－2, 2)．----------------------------------------------------------------------------12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）由f (x)＝2ax－ex，得f ′(x)＝2a－ex， ------------------------------------------------------------------ 1分
①当a≤0时，f ′(x)＜0，f (x)在R上单调递减； --------------------------------------------------- 3分
②当a＞0时，令f ′(x)＝0，得x＝ln2a，
当x∈(－∞，ln2a)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；x∈(ln2a，＋∞)，f ′(x)＜0，f (x)单调递减
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分
（2）由（1）知，当a＞0时，f max(x)＝f (ln2a)＝2aln2a－2a，------------------------------------------7分
要证：当a＞0时，f(x)≤4a2－4a，可证：2aln2a－2a≤4a2－4a，
因为a＞0，即证：ln2a≤2a－1， -----------------------------------------------------------------------9分
设g (a)＝ln2a－2a＋1，g′(a)＝－2，令g′(a)＝0，则a＝，--------------------------------------10分
所以当a∈(0，)时，g′(a)＞0，g (a)单调递增；当a∈(，＋∞)时，g′(a)＜0，g (a)单调递减，
gmax (a)＝g ()＝0，所以g (a)≤0，即ln2a≤2a－1，
所以当a＞0时，f(x)≤4a2－4a. -----------------------------------------------------------------------12分
20．（本小题满分12分）
（1）因为{}是公差为2的等差数列，＝＝2，
所以＝2＋(n－1)×2＝2n，得Sn＝2n2， ------------------------------------------------------------2分
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－2；n＝1时，a1＝2符合，
所以 n∈N*，an＝4n－2.------------------------------------------------------------------------------------ 4分
（2）由bn－bn－1＝2an＝8n－4 (n≥2)，且b1＝3，
当n≥2时，则有bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝3＋12＋20＋…＋(8n－4)
＝3＋＝4n2－1， ----------------------------------------------- 7分
又b1＝3也满足bn＝4n2－1，故对任意的n∈N*，bn＝4n2－1，----------------------------------------8分
＝＝＝(－)， -------------------------------------------------------10分
Tn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝. -------------------------------- 12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）过点A作AE⊥PB于点E，
因为平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AE平面PAB，
所以AE⊥平面PBC，-------------------------------3分
又BC平面PBC，
所以AE⊥BC，
又PA⊥平面ABC，BC平面PBC，所以PA⊥BC，-------4分
又因为AE∩PA＝A，AE，PA平面PAB，
所以BC⊥平面PAB．--------------------------------5分
（2）假设在线段PC上(不含端点)，存在点D，使得二面角B－AD－C的余弦值为，
以B为原点，分别以、为x轴，y轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则
A(0，6，0)，B(0，0，0)，C(3，0，0)，P(0，6，6)，
＝(3，－6，0)，＝(0，0，6)，＝(3，－6，－6)，＝(0，6，0)，
设面ACD的一个法向量为＝(x，y，z)，
即取x＝2，y＝1，z＝0，
即＝(2，1，0)，------------------------------------------------------------ 7分
因为D在线段PC上（不含端点），所以可设＝λ＝(3λ，－6λ，－6λ)，0＜λ＜1，
所以＝＋＝(3λ，－6λ，6－6λ)，
设面ABD的一个法向量为＝(x，y，z)，
即，取x＝2λ－2，y＝0，z＝λ，
即＝(2λ－2，0，λ)， ---------------------------------------------------------9分
cos＜，＞＝＝－，
解得λ＝或λ＝2，又0＜λ＜1，所以λ＝，
所以，存在点D，使得二面角B－AD－C的余弦值为，
此时D是PC上靠近C的三等分点．----------------------------------------12分
22．（本小题满分12分）
（1）A(，0)，B(0，b)，＝(－，b)，M( ，)，
·＝－1＋b2＝－b2，所以b2＝1，
椭圆C的方程为：＋y2＝1． --------------------------------------------------------------4分
若PQ的斜率不存在，则P(，1)，Q(－，1)或Q(，1)，P(－，1)，
此时kOP·kOQ＝－； ------------------------------------------------------------------------5分
若PQ的斜率存在时，可设直线PQ的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由联立消去y可得，(k2＋1)x2＋2kmx＋m2－3＝0，
x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝， --------------------------------------------------------8分
当直线PQ与椭圆相切时，由联立消去y可得，(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，
△＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，化简得2k2＋1＝m2， --------------------------11分
所以kOP·kOQ＝＝＝－．------------------------------------------------------- 12分
12022-2023 学年第二学期期末试卷
高二数学参考答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．C 2．B 3．C 4．C 5．D 6．A 7．B 8．D
二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，不选或有错选的得 0 分．
9．ACD 10．AC 11．ABD 12．BD
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13 9． 14．－25 15．y＝－x 16．7π
5
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．
17．（本小题满分 10分）
解：（1）设 A1：第一次摸到的球是白球，A2：第一次摸到的球是黑球，
B: 第二次摸到的球是白球，
P(B) P(A B)+P(A B) 4 3 2 4 2＝ 1 2 ＝ × ＋ × ＝ ．·································································5分
6 5 6 5 3
（2）X的可能取值为 2，3，4，
P(X 2) 2 2 1＝ ＝ × ＝ ，
6 6 9
P(X＝3)＝C1 2 1 1 42× × × ＝ ，3 3 3 27
P(X＝4)＝1－P(X＝2)－P(X 3) 20＝ ＝ ，·······································································8分
27
1 4 20 98
所以数学期望 E(X)＝2× ＋3× ＋4× ＝ ．························································· 9分
9 27 27 27
2 98
答：（1）第二次摸到的球是白球的概率为 ；（2）试验停止时试验的次数 X的数学期望为 ．
3 27
···························································································································· 10分
18．（本小题满分 12分）
解：（1）由已知得，b2＋a2－c2＝accosA＋a2 cosC，
由余弦定理，得 b2＋a2－c2＝2abcosC，
∴accosA＋a2 cosC＝2abcosC， ------------------------------------------------------------------2分
∵a＞0，∴ccosA＋acosC＝2bcosC，
由正弦定理，有 2sinBcosC＝sinCcosA＋sinAcosC＝sin(A＋C)＝sinB，
∵sinB≠0，∴cosC 1＝ ， --------------------------------------------------------------------- 4分
2
π
又 C∈(0，π)，∴C＝ ． ------------------------------------------------------------------------5分
3
1
{#{QQABZYSUogAAQBAAAAACAwFgCACQkgGAACgORAAUoEABiQNABAA=}#}
（2 2π）在三角形 ABC中，B＝ －A，
3
a b c
由正弦定理 ＝ ＝ 得：
sinA sinB sinC
a csinA 4 3 csinB 4 3 4 3 2π＝ ＝ sinA ，b＝ ＝ sinB＝ sin( －A)， ----------------------------------------7分
sinC 3 sinC 3 3 3
∴a－b 4 3＝ sinA 4 3－ sin(2π 4 3 1－A)＝ ( sinA 3－ cosA) 4 3 π＝ sin(A－ )， ----------------------- 10分
3 3 3 3 2 2 3 3
π 2π
∵在三角形 ABC中 C＝ ，0＜A＜π，0＜B＝ －A＜π，
3 3
0 A 2π π A π π 3 sin(A π) 3 4 3 π∴ ＜ ＜ ，显然 － ＜ － ＜ ，即－ ＜ － ＜ ，则有－2＜ sin(A－ )＜2，
3 3 3 3 2 3 2 3 3
所以 a－b的取值范围是(－2, 2)．----------------------------------------------------------------------------12分
19．（本小题满分 12分）
解：（1）由 f (x)＝2ax－ex，得 f ′(x)＝2a－ex， ------------------------------------------------------------------ 1分
①当 a≤0时，f ′(x)＜0，f (x)在 R上单调递减； --------------------------------------------------- 3分
②当 a＞0时，令 f ′(x)＝0，得 x＝ln2a，
当 x∈(－∞，ln2a)时，f ′(x)＞0，f (x)单调递增；x∈(ln2a，＋∞)，f ′(x)＜0，f (x)单调递减
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------6分
（2）由（1）知，当 a＞0时，f max(x)＝f (ln2a)＝2aln2a－2a，------------------------------------------7分
要证：当 a＞0时，f(x)≤4a2－4a，可证：2aln2a－2a≤4a2－4a，
因为 a＞0，即证：ln2a≤2a－1， -----------------------------------------------------------------------9 分
设 g (a)＝ln2a 1 1－2a＋1，g′(a)＝ －2，令 g′(a)＝0，则 a＝ ，--------------------------------------10分
a 2
1 1
所以当 a∈(0， )时，g′(a)＞0，g (a)单调递增；当 a∈( ，＋∞)时，g′(a)＜0，g (a)单调递减，
2 2
g 1max (a)＝g ( )＝0，所以 g (a)≤0，即 ln2a≤2a－1，
2
所以当 a＞0时，f(x)≤4a2－4a. -----------------------------------------------------------------------12分
20．（本小题满分 12分）
1 {Sn（ ）因为 } S1 a1是公差为 2的等差数列， ＝ ＝2，
n 1 1
Sn
所以 ＝2＋(n－1)×2＝2n，得 Sn＝2n2， ------------------------------------------------------------2分
n
当 n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－2；n＝1时，a1＝2符合，
所以 n∈N*，an＝4n－2.------------------------------------------------------------------------------------ 4 分
2
{#{QQABZYSUogAAQBAAAAACAwFgCACQkgGAACgORAAUoEABiQNABAA=}#}
（2）由 bn－bn－1＝2an＝8n－4 (n≥2)，且 b1＝3，
当 n≥2时，则有 bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝3＋12＋20＋…＋(8n－4)
3 (8n－4＋12)(n－1)＝ ＋ ＝4n2－1， ----------------------------------------------- 7分
2
又 b1＝3也满足 bn＝4n2－1，故对任意的 n∈N*，bn＝4n2－1，----------------------------------------8分
1 1 1 1 1 1
＝ ＝ ＝ ( － )， -------------------------------------------------------10分
bn 4n2－1 (2n－1)(2n＋1) 2 2n－1 2n＋1
T 1[(1 1) (1 1) ( 1 1 1 1 nn＝ － ＋ － ＋…＋ － )]＝ (1－ )＝ . -------------------------------- 12 分
2 3 3 5 2n－1 2n＋1 2 2n＋1 2n＋1
21．（本小题满分 12分）
解：（1）过点 A作 AE⊥PB于点 E，
因为平面 PAB⊥平面 PBC，且平面 PAB∩平面 PBC＝PB，AE 平面 PAB，
所以 AE⊥平面 PBC，-------------------------------3分
又 BC 平面 PBC，
所以 AE⊥BC，
又 PA⊥平面 ABC，BC 平面 PBC，所以 PA⊥BC，-------4分
又因为 AE∩PA＝A，AE，PA 平面 PAB，
所以 BC⊥平面 PAB．--------------------------------5分
（2 10）假设在线段 PC上(不含端点)，存在点 D，使得二面角 B－AD－C的余弦值为 ，
5
→ →
以 B为原点，分别以BC、BA为 x轴，y轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则
A(0，6，0)，B(0，0，0)，C(3，0，0)，P(0，6，6)，
→ → → →
AC＝(3，－6，0)，AP＝(0，0，6)，PC＝(3，－6，－6)，BA＝(0，6，0)，
设面 ACD →的一个法向量为 m ＝(x，y，z)，
→m ·→AC＝0， 3x－6y＝0，
→m ·→AD＝0，即 6z＝0， 取 x＝2，y＝1，z＝0，
→
即 m ＝(2，1，0)，------------------------------------------------------------ 7分
→ →
因为 D在线段 PC上（不含端点），所以可设PD＝λPC＝(3λ，－6λ，－6λ)，0＜λ＜1，
→ → →
所以AD＝AP＋PD＝(3λ，－6λ，6－6λ)，
设面 ABD →的一个法向量为 n ＝(x，y，z)，
3
{#{QQABZYSUogAAQBAAAAACAwFgCACQkgGAACgORAAUoEABiQNABAA=}#}
→n ·→BA＝0， 6y＝0，
→n ·→AD＝0，即 3λx－6λy＋(6－6λ)z＝0，取 x＝2λ－2，y＝0，z＝λ，
→
即 n ＝(2λ－2，0，λ)， ---------------------------------------------------------9 分
→ → 2×(2λ－2)＋1×0＋0×λcos＜ m n 10， ＞＝ ＝－ ，
5× (2λ－2)2＋λ2 5
λ 2解得 ＝ 或λ＝2，又 0＜λ＜1，所以λ 2＝ ，
3 3
10
所以，存在点 D，使得二面角 B－AD－C的余弦值为 ，
5
此时 D是 PC上靠近 C的三等分点．----------------------------------------12分
22．（本小题满分 12分）
→
（1）A( 2，0)，B(0，b)，AB＝(－ 2，b)，M( 2 b， )，
2 2
→ →
OM·AB 1 1＝－ ＋ b2 1＝－ b2，所以 b2＝1，
2 2
x2
椭圆 C的方程为： ＋y2＝1． --------------------------------------------------------------4分
2
（2）若 PQ的斜率不存在，则 P( 2，1)，Q(－ 2，1)或 Q( 2，1)，P(－ 2，1)，
1
此时 kOP·kOQ＝－ ； ------------------------------------------------------------------------5分
2
若 PQ的斜率存在时，可设直线 PQ的方程为 y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
y＝kx＋m，
由 x2 y2 3 联立消去 y可得，(k
2＋1)x2＋2kmx＋m2－3＝0，
＋ ＝ ，
x x 2km m
2－3
1＋ 2＝－ ，x x ＝ ，
k2
1 2
＋1 k2＋1
2 2
y1y2＝(kx
m －3k
1＋m)(kx2＋m)＝ ， --------------------------------------------------------8分
k2＋1
y＝kx＋m，
2
当直线 PQ与椭圆相切时，由 x y2 1 联立消去 y可得，(2k2＋1)x2＋ ＝ ， ＋4kmx＋2m2－2＝0，
2
△＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0，化简得 2k2＋1＝m2， --------------------------11分
y y m2 2
所以 k ·k ＝ 1 2 －3k 1OP OQ ＝ ＝－ ．------------------------------------------------------- 12分
x1x2 m2－3 2
4
{#{QQABZYSUogAAQBAAAAACAwFgCACQkgGAACgORAAUoEABiQNABAA=}#}2022-2023学年第二学期期末试卷
高二数学
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．已如集合A＝{x|＞0}，B＝{x|x＜4}，则B∩CRA＝
A．{x|－1＜x＜4} B．{x|x＜4}
C．{x|－1≤x＜4} D．{x|x≤－1}
2．已知＝（i为虚数单位），则复数z的模为
A．1 B． C．2 D．3
已知，是平面中两个不共线的向量，若＝λ＋，＝＋μ，且
//，则
A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1 C．λμ＝1 D．λμ＝－1
4．各项均为正数的等比数列{an}，公比为q，则“q>1”是“{an}为递增数列”的
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．已知函数f(x)＝log2[x(a－x)]在区间(0, 1)上单调递增，则a的取值范围是
A．（－∞，－2] B． [－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞)
6．五张卡片上分别写有1，2，3，4，5五个数字，则这五张卡片组成的五位数是偶数的概
率
A． B． C． D．
7．故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体ABCDEF有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面ABCD为矩形，EF//底面ABCD，AB＝2BC＝2EF＝4，△ADE与△BCF是全等的等边三角形，则该五面体ABCDEF的体积为
A．2 B． C． D．3
(
（第
7
题）
)
8．直线l过圆M: (x－5)2＋y2＝1的圆心，且与圆相交于A，B两点，P为双曲线－＝1
右支上一个动点，则·的最小值为
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分．
9．某班50名学生参加数学竞赛，将所有成绩分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是
(
（第
9
题）
)
A．a的值为0.015
B．这50名同学成绩的平均数在60与70之间
C．这50名同学成绩的众数是75
D．估计这50名同学成绩的75百分位数为85
10．下列说法正确的是
已知命题P：任意x∈R，|x|≥x，则命题P的否定为：存在x∈R，|x|＜x
若关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则a－b＋c＞0
如果x＞0，y＞0，x＋3y＋xy=9，那么x＋3y的最小值为6
D. 函数f(x)＝的最小值为2
11．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ) (ω＞0，|φ|≤) 的最小正周期为π，且过点(0，)，则下列说法正确的是
f(x)为偶函数
B．f(x)的一条对称轴为x＝
C．把f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)，则g(x)＝cos(2x＋)
D．若f(x)在(0，a)上单调递减，则a的取值范围为(0，]
12．已知F是抛物线C：y2=4x的焦点， A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则
A．抛物线C的准线方程为x＝－2
B．若|AF|＝4，则△AOF的面积为
C．若直线AB过焦点F，且AB＝，则O到直线AB的距离为
D．若OA⊥OB，则|OA|·|OB|≥32
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．已知tanα＝2，则1＋sin2α＝ .
14．(x－2)(x＋1)6展开式中，x3的系数为．（以数字形式作答）.
15．函数f(x)＝xlnx－x2在x=1处的切线方程为．
16．在三棱锥P－ABC中，PA⊥面ABC，△ABC为等边三角形，且PA＝AB＝，则三棱锥
P－ABC的外接球的表面积为．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
（本小题满分10分）
袋子中有6个大小相同的小球，其中4个白球、2个黑球．
（1）每次从袋子中随机摸出个球，摸完不放回，共摸2次，求第二次摸到的球是白球的概率；
（2）一次完整的试验要求：从袋子中随机摸出1个球，记录小球的颜色后再把小球放回袋中。试验终止的条件是黑色小球出现两次，或者试验进行了4次。设试验终止时试验的次数为X，求随机变量X的数学期望．
18．（本小题满分12分）
△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足：
accosA＋a2 (cosC－1)＝b2－c2，
（1）求角C；
（2）若c＝2，求a－b的取值范围．
19．（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝2ax－ex．
讨论f(x)的单调性；
证明：当a＞0时，f(x)≤4a2－4a．
20．（本小题满分12分）
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，{}是公差为2的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn－bn－1＝2an (n≥2),且b1＝3，数列{}的前n项和为Tn，求Tn．
21．（本小题满分12分）
如图所示，在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．
（1）证明：BC⊥平面PAB；
（2）若PA＝AB＝6，BC＝3，在线段PC上(不含端点)，是否存在点D，使得二面角
B－AD－C的余弦值为，若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由．
(
（第
21
题）
)
22．（本小题满分12分）
已知椭圆C：＋＝1（b＞0）的右顶点和上顶点分别为A，B，M 为线段AB的中点，O为坐标原点，且·＝－b2．
求椭圆C的方程；
已知圆O：x2＋y2＝3，P为圆O上任意一点，过点P作椭圆C的切线，交圆O于点Q，
若OP与OQ斜率都存在，求证：kOP·kOQ为定值．2022-2023学年第二学期期末试卷
高二数学
注意事项：
1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷，
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题
卡上.
第I卷（选择题共60分）
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
x+1
1.已如集合A=-亏0，B={<4好，则BnCRA=
A.{x-1B.{xx<4)
C.{x-1≤x<4}
D.{xX≤-1}
21+i
2.已知1+1
(ⅰ为虚数单位)，则复数z的模为
A.1
B.√2
C.2
D.3
3.己知e1,2是平面中两个不共线的向量，若a=e1+2,6=1+u2,且
a16,则
A.元+u=1
B.1十=-1
C.1=1
D.=-1
4.各项均为正数的等比数列{an},公比为q,则“q>1”是“{an}为递增数列”的
A.充分且不必要条件
B,必要且不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
5.已知函数f(x)=log2[x(a一x)]在区间(0,1)上单调递增，则a的取值范围是
A.(-0,-2]
B.[-2,0)
C.(0,2]
D.[2,+o)
6.五张卡片上分别写有1,2,3,4,5五个数字，则这五张卡片组成的五位数是偶数的概
旁
A号
B克
c.
D
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7.故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四
出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿.由于屋顶有四面斜
坡，故又称四阿顶.如图，某几何体ABCDEF有五个面，其形状与四阿顶相类似.己知底
面ABCD为矩形，EF∥底面ABCD,AB=2BC=2EF=4,△ADE与△BCF是全等的等边三
角形，则该五面体ABCDEF的体积为
A.23
102
3
c.2
3
D.33
E
D
(第7题)
8。直线1过圆Mx-5}+y=1的圆心，且与圆相交于A,B两点，P为双曲线筲一若=
右支上一个动点，则PA·PB的最小值为
A.0
B.1
C.2
D.3
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得5分，部分选对得2
分，不选或有错选的得0分.
9.某班50名学生参加数学竞赛，将所有成绩分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]
五组，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是
小频率
组距
0.035--
0.030---
-------
0.010
05060708090100成绩/分
A.a的值为0.015
(第9题)
B.这50名同学成绩的平均数在60与70之间
C.这50名同学成绩的众数是75
D.估计这50名同学成绩的75百分位数为85
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