2022~2023学年高二下数学 期末复习二卷参考答案
一 单选题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D B C A C B
二 多选题：
题号 9 10 11 12
答案 BD ACD ABC AC
三 填空题：
13．-2n-1 14. -28 15． (-∞,-4) ∪ (0,+∞) 16. 0.14
四 解答题：
17. (1)设 an 的公差为 d, bn 的公比为 q，由 a2+b2= 3，得 d+ q= 1
+ d= 1
d=-1
又 a3 b3= 4，得 2d+ q2= 2，与 d+ q= 1联立，解得 = (舍去)或q 0 ,q= 2
因此数列 bn 的通项公式为 b = 2n-1n .
(2)由 b1= 1,T3= 13，得 q2+q- 12= 0，解得 q= 3或-4
当 q= 3时，由 d+ q= 1得 d=-2，则 s3= 0
当 q=-4时，由 d+ q= 1得 d= 5，则 s3= 21
综上：s3= 0或 s3= 21
18. (1)∵ a1= 1，∴S1= =
S
a 1,∴ 11 a = 1,1
∵ S 1又 n a 是公差为 3 的等差数列，n
Sn 1 n+ 2 n+ 2 a∴ a = 1+ 3 n- 1 = ,∴S
n
n= ,
n 3 3
n+ 1 a
∴ ≥ 当n 2时，S = n-1n-1 3 ，
n+ 2 a n+ 1 a
∴ an=Sn- =
n - S n-1n-1 3 3 ,
整理得： n- 1 an= n+ 1 an-1,
a
即 na =
n+ 1
n- 1 ,n-1
∴ a = a × a2 × a3n 1 a a × ×
an-1 an
1 2 a
×
n-2 an-1
= 1× 3 × 4
n
× × n × n+ 1 =
n+ 1
2 3 n- 2 n- 1 2 ，
显然对于n= 1也成立，
n n+ 1
∴ an 的通项公式 an= 2 ；
答案第 1页（共 4页）
{#{QQABTYSQggCIQBBAAQACEwXgCgCQkhEACCgOhAAcoEAByANABAA=}#}
1 = 2(2) a = 2
1 - 1 ,
n n n+ 1 n n+ 1
∴ 1 + 1 1a a + + a = 2
1- 1 1 1 1 1 1 2 n 2 + 2 - 3 + n - n+ 1
= 2 1- 1n+ 1 < 2
19.(1)由题意知，a1= 1500，a2= 1.1a1-200，a3= 1.1a2-200，a4= 1.1a3-200，
所以递推关系为 a1= 1500,an+1= 1.1an-200
(2)令 an+1+k= 1.1 an+k ，则 an+1= 1.1an+0.1k，
与 an+1= 1.1an-200比较系数，得 k=-2000,
所以 (1)中的递推公式可化为 an+1-2000= 1.1 an-2000 ，
故数列 an-2000 是以-500为首项，1.1为公比的等比数列，
则 a1-2000 + a2-2000 + a3-2000 + + a10-2000
-500× 1- 1.110= 1- 1.1 ≈-7968.7,
所以 s10= a1+a2+a3+ +a10≈ 2000× 10- 7968.7= 12031.3≈ 12031.
20. (1)因为 f x = x3+ax2+bx+ c，
所以 f x = 3x2+2ax+ b，
由条件知 f -1 = f 1 = 0，
3- 2a+ b= 0
即 3+ + = ，解得 a= 0,b=-32a b 0
(2)由 (1)可知 f x = x3-3x+ c，则 f x = 3x2-3，
令 f x = 0，得 x=-1或 x= 1，
f x 和 f x 随 x的变化情况如下表：
x -2 -2,-1 -1 -1,1 1 1,2 2
f x + 0 - 0 +
f x c- 2 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 c+ 2
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答案第 2页（共 4页）
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因为 f -2 = c- 2,f 2 = c+ 2,f 1 = c- 2
所以函数 f x 在 -2,2 上的最小值为 f 1 = c- 2，
所以 c- 2=-2，解得 c= 0，
所以 f x = x3-3x，
因为函数在 -∞,-1 和 1,+∞ 上递增，在 -1,1 上递减，f -1 = f 2 = 2，
画出函数图象如图所示，
由于函数在区间 -2,m 上有最大值，根据图象可知m∈ xB,xA ，
即m∈ -1,2 ，
2= n(ad- bc)
2
= 200(40× 90- 60× 10)
2
21. (1)由已知K (a+ b) (c+ d) (a+ c) (b+ d) 50× 150× 100× 100 = 24，
又P(K 2≥ 6.635) = 0.01，24> 6.635，
所以有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
( ) = P(B|A) P(B|A) = P(AB) P(A) P(AB) P(A)(2) i 因为R ，
P(B|A) P(B|A) P(A) P(AB) P(A) P(AB)
= P(AB) P(B) P(AB) P(B)所以R
P(B) P(AB) P(B) P(AB)
= P(A|B) P(A|B)所以R ，
P(A|B) P(A|B)
(ii) 由已知P(A|B) = 40100，P A|B) =
10
100，
又P(A|B) = 60100，P A|B) =
90
，
100
= P(A|B) P(A|B)所以R = 6
P(A|B) P(A|B)
22. (1)f x = aeax，
由导数的几何意义以及条件知 aea×0= 1，
解得 a= 1
(2)证明：构造函数 h x = f x - g x = ex-ln x+ 2 ,(x>-2)
h 1 x = ex- x+ 2
令 p x = h x = ex- 1 ，则 p x = ex 1x+ 2 + (x+ 2)2
> 0，
因此 h x = p x 1 = ex- x+ 2 在 -2,+∞ 单调递增.
又因为 h -1 = 1 - 1< 0,h 0 = 1- 1e 2 > 0，
故 h x = 0在 -2,+∞ 有唯一实根 x0，且 x0∈ -1,0 ，
当 x∈ -2,x0 时，h x < 0,f x 单调递减，
当 x∈ x0+∞ 时，h x > 0,f x 单调递增；
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答案第 3页（共 4页）
{#{QQABTYSQggCIQBBAAQACEwXgCgCQkhEACCgOhAAcoEAByANABAA=}#}
从而当 x= x0时，h x 取得最小值，
h x = 0 ex0= 1由 0 得， x +2，即 ln x0+2 =-x0，0
x +1 2
故 h x ≥ h 1
0
x0 = x0+2
+ x0= x0+2
> 0
因此 f x > g x .
22． (1)由 f x = ae2x+ a- 2 ex-x，
则 f x = 2ae2x+ a- 2 ex-1= 2ex+1 aex-1 ，
导函数中 2ex+1> 0恒成立，
①当 a≤ 0时，aex-1< 0恒成立，所以在 x∈R上有 f x < 0，
所以 f x 在 -∞,+∞ 上单调递减；f x 在 -∞,+∞ 上无极值.
1 1
②当 a> 0时，令 f x > 0,x> ln ，令 f a x < 0，解得 x< ln a，
∴ -∞,ln 1 f x ln 1在 a 上， 单调递减，在 a ,+∞ 上，f x 单调递增.
∴ f x 在 -∞,+∞ 1 上的极小值为 f ln a = 1-
1
a - ln
1
a，无极大值.
(2)若 a≤ 0时，由 (1)可知：f x 最多有一个零点，所以 a≤ 0不符合题意；
当 a> 0时，由 (1)可知，要使函数 f x = ae2x+ a- 2 ex-x有两个零点，
则 f x 的最小值必须小于 0，
1 1 1
又 f(x)min= f ln a = 1- a - ln a，则 f(x)min< 0，即 1-
1
a + lna< 0，
令 h a = 1- 1a + lna,h
a = 1 2 +
1
a > 0，a
所以 h a 在 0,+∞ 上单调递增，又因为 h 1 = 0，
由 h a = 1- 1a + lna< 0= h 1 且 a> 0得到 0< a< 1
接下来说明 0< a< 1时，f x 存在两个零点：
当 x< 0时，ae2x> 0, a- 2 ex> a- 2，
此时 f x > a- 2- x，故 f a- 2 > 0，
又 f x 在 a- 2,ln 1 f ln 1a 上单调递减， a < 0，
故存在 x1∈ a- 2,ln 1a ，使得 f x1 = 0，
x> ln 1当 a > 0时，易证-x>-e
x，
a- 3
此时 f x > ae2x+ a- 3 ex= aex ex +
a ，
f ln 3- a故 a > 0
3- a 1
，且满足 ln a > ln a，
又 f x 在 ln 1a ,ln
3- a
a 上单调递增，f ln
1
a < 0，
x ∈ ln 1 ,ln 3- a故存在 2 a a 使得 f x2 = 0，
所以当 0< a< 1时，f x 存在两个零点.
综上所述，a的取值范围是 0,1 .
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答案第 4页（共 4页）
{#{QQABTYSQggCIQBBAAQACEwXgCgCQkhEACCgOhAAcoEAByANABAA=}#}南执高级中学高二数学暖心备课组 期末复习二卷
2022~2023 学年高二下数学 期末复习二卷
班级：＿＿＿＿＿＿＿ 姓名：＿＿＿＿＿＿＿ 学号：＿＿＿＿＿＿＿
一 单项选择题：
1. 在等比数列 an 中，a4 = 8,a6 = 2 ，则a5 =（ ）
A.4 B. 4 C.16 D. 16
2. 已知等差数列 a n nn 的前 项和为 Sn ，若a10 + a11 0,a10 + a12 0，则 Sn 取最大值时
的值为（ ）
A.10 B.11 C.12 D.13
3. 历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起到了重要的作
用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, .. .，即
F (1) = F (2) =1, F (n) = F (n 1)+ F (n 2)(n 3,n N* )此数列在现代物理 准晶体
结构等领域有着广泛的应用，若此数列被 4 整除后的余数构成一个新的数列 bn ，则
b1 + b2 + b3 + b2023的值为（ ）
A.2698 B.2699 C.2696 D.2697
4. （2022 年新高考全国 II 卷）有甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学站成一排参加文艺汇演，
若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种
5. 若函数 f (x)的导函数 f ( x)的图象关于 y 轴对称，则 f (x)的解析式可能为（ ）
1 x
A. f (x) = 3cosx B. f (x) = sin (2x +1) C. f ( x) = x + D. f (x) = e + x
x
3 2
6. 设a = e,b = ,c = ，则a,b,c 大小关系是（ ）
ln 3 ln 2
A. a c b B.b c a C.c b a D.c a b
7. 给定函数 f (x) = (x +1)ex a (a R)，若函数 f (x)恰有两个零点，则a 的取值范围
是（ ）
1 1 1
A. a B. a 0 C. a 0 D. a
e2 e2 e2
8. 若数列 an 满足a1 =1,a2 = 4，且对于n N
* (n 2)都有an+1 = 2an an 1 + 2，则
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南执高级中学高二数学暖心备课组 期末复习二卷
1 1 1 1
+ + + + =（ ）
a3 1 a5 1 a7 1 a2023 1
1011 1011 2022 1011
A. B. C. D.
2024 4048 2023 2023
二 多项选择题：
9. 已知数列 an 中，a2 =1,a6 =16，下列说法正确的是（ ）
A.若 an 是等比数列，则a5 = 8 B.若 an 是等比数列，则a5 = 8
15
C.若 an 是等差数列，则a5 = 8 D.若 an 是等差数列，则公差为
4
10. 函数 f (x)的导函数 y = f (x)的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.函数 f (x)在区间 (x2 , x4 )上单调递减 B. x = x6 是函数 f (x)的极小值点
C.函数 f (x)在 x = x4处取得极小值 D.函数 f (x)在 x = x2处取得极大值
11. 已知函数 f (x) = x3 3x +1，则（ ）
A. f (x)有两个极值点 B.点 (0,1)是曲线 y = f (x)的对称中心
C. f (x)有三个零点且三个零点的和为 0 D.直线 y = 3x是曲线 y = f (x)的切线
12. 在一次《数列》的公开课时，有位教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之
间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照此方法不断构造出新的数列.下面我
们将数列 1，2 进行构造，第 1 次得到数列1,3,2；第 2 次得到数列1,4,3,5,2; ；第n 次
得到数列1, x1, x2 , x , , x a n3 k , 2; 记 an =1+ x1 + x2 + + xk + 2 ，数列 n 的前 项为
Sn ，则（ ）
3 3
A. k = 2n
n n
1 B. a4 = 3a3 1 C. an = (3 +1) D. Sn = (3 + 2n 3)
2 4
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三 填空题：
13.记 Sn 为数列 an 的前n 项和，且 Sn = 2an +1，则an = __________.
y 8 2 6
14.（2022 年新课标全国Ⅰ卷） 1 (x + y) 的展开式中 x y 的系数为
x
________________（用数字作答）．
15.（2022 年新课标全国Ⅰ卷）若曲线 y = (x + a)ex 有两条过坐标原点的切线，则 a的取值
范围是________________．
2
16.（2022 年新高考全国Ⅱ卷）已知随机变量 X服从正态分布 N (2, )，且
P(2 X 2.5) = 0.36，则P(X 2.5) = ____________．
四 解答题：
17. 已知等差数列 an 的前n项和为 Sn ，等比数列 bn 的前n 项和为Tn ，
a1 = 2,b1 =1,a2 + b2 = 3
（1）若a3 + b3 = 4，求数列 bn 的通项公式；
（2）若T3 =13，求 S3 .
S n
18.（2022 年新课标全国Ⅰ卷） 记 Sn 为数列 an 的前 n项和，已知a1 =1, 是公差为
an
1
的等差数列．
3
（1）求 an 的通项公式；
1 1 1
（2）证明： + + + 2．
a1 a2 an
19. 佛山市某牧场今年初牛的存栏数为 1500 头，预计以后每年存栏数的增长率为10% ，
且在每年年底卖出 200 头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为a1,a2 ,a3 , .
（1）写出一个递推公式，表示an+1与 an 之间的关系；
（2）求 s 1010 = a1 + a2 + a3 + + a10 的值（精确到 1，参考数据1.1 2.59374）.
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20. 已知函数 f (x) = x + ax2 +bx + c (a,b,c R )，且 1,1是函数 f (x)的两个极值点.
（1）求a与b 的值；
（2）若函数 f (x)在 2,2 上有最小值为-2，在 ( 2,m)上有最大值，求m 的取值范围.
21.（2022 年新课标全国Ⅰ卷）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生
习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了
100 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 100 人（称为对照组），得
到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
（1）能否有 99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件
P(B | A) P(B | A)
“选到的人患有该疾病”． 与 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险
P(B | A) P(B | A)
程度的一项度量指标，记该指标为 R．
P(A | B) P(A | B)
（ⅰ）证明：R = ；
P(A | B) P(A | B)
（ⅱ）利用该调查数据，给出P(A | B), P(A | B) 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出 R的估
计值．
2 n(ad bc)
2
附: K = ，
(a +b)(c + d )(a + c)(b + d )
P (K 2 k ) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
ax
22. 已知函数 f (x) = e 的图象在 x = 0处的切线与直线 y = x 垂直.
（1）求a的值；
（2）已知函数 g (x) = ln (x + 2) .求证 f (x) g (x) .
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