2022~2023学年第二学期期末调研考试
高二数学试题
注意事项：
1.考试时间120分钟，试卷满分150分。
2,答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1.抛掷一颗质地均匀的酸子，样本空间2={1,2,3,4,5,6}，事件A={1,3,5},亨件B=
{L,2,4,5,6,则P(4B)=
B
c
2.设随机变量X-N(3,36),且P(X>m)=P(XA.1
B.2
C.3
D.4
3.某杂交水稻研究小组先培育出第代杂交水稻，再由第一代培育出第二代，第二代培有出第
三代，以此类推，且亲代与子代的每穗总粒数之间的关系如下表所示：
代数代码x
1
2
总粒数y
197193201209
通过上面四组数据得到了x与y之间的线性回归方程是夕=4.4x+à，预测第十代杂交水稻每
穗的总粒数为
A.233
B.234
C.235
D.236
4若一个正被台，其上、下底面分别是边长为万和25的正方形，高为
,则该正棱台的外
接球的表面积为
A.105x
4
B.4
C.105z
16
5.若4名学生报名参加数学、物理、计算机、航模兴趣小组，每人限报1项，则恰好航模小组
没人报的方式有
A.18种
B.36种
C.72种
D.144种
6.己知m,n为异面直线，m1平面a,n⊥平面B,若直线11m,11n,1文x,1丈B,则
A.ac∥B,IHa
B.a⊥B,1⊥B
C.a与B的交线与I平行
D.a与B的交线与l垂直
7.3被5除所得的余数是
A.1
B.2
C.3
D.4
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8.在Rt△ABC中，AB=2,AC=2√5，D为斜边AC上异于A,C的动点，若将△ABC沿折痕BD
程新，使点4折至4处，且二面角4-D-C的大小为行则4C的最小值为
A.4
B.14
C.25
D.22
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知1-2x)5=a+4x+42x2+…+a6x6，则
A.a=1
B.a2=120
C.|a+|a+|42+…+|a6=729
D.a+a2+…+a-0
10.从0,1,2,3,4,5,6这7个数字中取出4个数字，则
A,可以组成720个无重复数字的四位数
B.可以组成300个无重复数字且为奇数的四位数
C.可以组成270个无重复数字且比3400大的四位数
D.可以组成36个无重复数字且能被25整除的四位数
11,袋内有除颜色外其它属性都相同的3个黑球和2个白球，则下列选项正确的是
A.有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率是
B.有放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率是
C。不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次摸到白球的概率是2
、D.不放回摸球3次，每次摸1球，则第3次才摸到白球的概率是。
12.在棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D中，E为AD的中点，点F在正方体的面CCD,D内（含
边界)移动，点P为线段D,B上的动点，设DP=ADB,则
A.当1=写时，DP∥平面B,C
B.'B-F为定值
C.A+PC的最小值为25
D.当直线BF平面4BD时，点F的轨迹被以A为球心，：
为半径的球载得长度为1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某厂用甲、乙两台机器生产相同的零件，它们的产量各占45%，55%，而各自的产品中废品
常分别为2%，3%，则该厂这种零件的废品率为
高二数学第2页，共4页高二数学参考答案 202306
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求.
1.B 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C 7. C 8.A
二 选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9.AC 10.ABD 11.BCD 12.ABD
三 填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13. 0.0255 14. 0.05 15. 1 16. 454
四 解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤)
17．解：（1）由sin2C 3 sin C ，得2sinCcosC 3 sin C
3
在 ABC 中，sinC 0，∴cosC 在 ABC 中，C 0， ，∴C ……4 分
2 6
1 1 1
（2） SABC absin C a 4 2 3 ∴a 2 3 …………………………6 分
2 2 2
3
由余弦定理得c2 a2 b2 2abcosC 12 16 2 2 3 4 4
2
∴c 2 ………………………………………………………………8 分
∴ a b c 2 3 4 2 6 2 3 ∴ ABC 的周长为6 2 3 .………………………10 分
1
18．解：（1）设第二、三个路口遇到红灯的概率分别为 p , p , p p ，
1 2 2 1
2
1 1 2 3
(1 p )(1 p ) ， p p 1 2 12 24 3
1
4
依题意 解得 或 （舍去）， ……………………4 分
1 1 3 2p p ， p p
1 2 2 2 2 4 4 3
1 1 3 1
所以小明放学回家途中在第三个路口首次遇到红灯的概率 ；………………6 分
2 3 4 8
（2）X 的可能值为0,1,2,3，
1
P(X 0) ，
24
1 1 1 1 2 1 1 1 3 1
P(X 1) ，
2 3 4 2 3 4 2 3 4 4
1 2 1 1 1 3 1 2 3 11
P(X 2) ，
2 3 4 2 3 4 2 3 4 24
1
P(X 3) ， …………………………………………………………………………10 分
4
X 分布列为
X 0 1 2 3
1 1 11 1
p
24 4 24 4
1 1 11 6 23
E(X) 0 1 2 3 . …………………………………12 分
24 4 24 24 12
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19．解：（1）an+1＝1+2 S n
S 2∴Sn+1－Sn＝1+2 ,n 即 S n 1 Sn 2 Sn 1 （ Sn 1）
∴ Sn 1 Sn 1，即 S n 1 Sn 1
∴ Sn 是 1 为首项，1 为公差的等差数列. ………………………………………6 分
(2）由（1）知， Sn S1 （n 1） 1 n，
cn (n 1)2
n …………………………………………………………………8分
S 1 2 3 n 2 2 3 2 4 2 (n 1)2
n
所以 ,
2Sn 2 2
2 3 23 4 24 (n 1)2n 1
1 2 3 n n 1 2(1 2
n )
由错位相减得： Sn 2 2 2 2 2 (n 1)2 2 (n 1)2
n 1,
1 2
所以 S n 2n 1n . …………………………………………………………………………12 分
20．解：（1）法一：取 AC中点O ，连接 PO，由 PA= PC 知 PO AC，
又平面 ABC⊥平面 PAC，平面 ABC 平面 PAC=AC，故 PO 平面 ABC
连接BO，则 POB=90 ，
又因为 AB=BC，O为 AC 中点，故BO AC
BO, PO 面PBO, BO PO O，故 AC 面PBO
在面PBO 中，作OD PB，则由OD AC 知OD为异面直线 AC 与 PB 间的距离
由 PO= 2 3 ,OB=2，PB=4,知OD = 3
即异面直线 AC 与 PB 间的距离为 3 . ………………………………………………6 分
法二：以 O 为坐标原点，OB，OC，OP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，
则 A(0, 2,0), B(2,0,0),C(0,2,0), P(0,0,2 3) ，PB (2,0, 2 3), AC (0,4,0) ,
设n (x, y, z)，且n AC 0,n PB 0，
y 0
则 ，令 z 3，则n (3,0, 3)
2x 2 3z 0
n AB 6
又 AB (2,2,0),则异面直线 AC 与 PB 间的距离为d 3 ………6 分
n 2 3
（2）由（1）知PO 平面 ABC ，可得平面PAC 平面 ABC ．
如图，在平面 ABC 内作MN AC，垂足为 N，则MN 平面PAC ．
在平面PAC 内作NF AP，垂足为 F，联结MF，则MF AP ，
故 MFN 为二面角M PA C的平面角，即 MFN 30 ．
3
设MN a，则 NC a, AN 4 a，在Rt△AFN 中，FN (4 a) ．
2
4
在Rt△MFN 中，由 MFN 30 知 FN 3MN ，得a ．
3
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{#{QQABZYSUgggAQBAAAQBCEwFSCAGQkhGACIgOxBAYsEABSRFABAA=}#}
1 1
法一：设点 C 到平面PAM 的距离为 h，由VM APC VC APM ，得 SAPCMN= SAPM h，
3 3
1 1 1 1
即 AC MN PO PA MF h，
3 2 3 2
又 AC=PA=4, MF= 2 MN, PO= 2 3 ，
3
解得h 3 ，则 PC 与平面PAM 所成角的正弦值为 ． ……………………………12 分
4
法二：以 O 为坐标原点，OB、OC、OP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建系如图，
4 2
则 A(0, 2,0), B(2,0,0),C(0,2,0), P(0,0,2 3), M ( , ,0),
3 3
4 8
PC (0,2, 2 3), AP (0,2,2 3), AM ( , ,0),
3 3
设平面PAM 的法向量为n (x, y, z)，则由n AP 0,n AM 0，
2y 2 3z 0
知 4 8 ，令 z 3，则n (6, 3, 3)，
x y 0
3 3
n PC 3
则PC与n 所成角的余弦值为cos ，
n PC 4
3
则 PC 与平面PAM 所成角的正弦值sin cos ． ……………………………12 分
4
c 6
2a 3 2 2 y
21．解：（1）由 ，解得：a 3,b 1， 椭圆 C： x
2 1.……3 分
3 3 3 1
2 2
4a 4b
y2
x2 1
(k 2 2（2）由 3 ，得 3)x 2ktx t
2 3 0，设 A(x1, y1),B(x2 , y2 )
y kx t
2kt 6t kt 3t
则 x x P(1 2 ， y1 y2 ， , )，………………………6 分
k 2 3 k 2 3 k 2 3 k 2 3
3t 3
KOP ，
kt k
y2 2
x 1 y 3 3 2 k
2
2 9
由 ，得 x ， y ；由 ，得D( k,3)，………9 分
3 G
G 2 3
k
2 3 k 3 y x
y x k
k
k 2 kt
OG OP
2 ( k)x x x 2 2G P D
由
k 3 k 3
，得 ，即 ，解得 t 1，
OD OG y
2 y y 9 3tG P D 3
k
2 3 k 2 3
直线 l : y kx 1恒过定点 (0,1) . …………………………………………………12 分
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22．解：（1）设曲线 y f (x) 与 x轴相切于点 (x0 ,0) ，则 f (x0 ) 0， f (x0 ) 0 ，
6x2 2a 0
0 1 3
即 1 ，解得 x ,a ． …………………………………………3 3 0 分
2x0 2ax0 0 2 4
2
（2）当 x (1, ) 时，g(x) 0 ，h(x) max f (x), g(x) g(x) 0，∴h(x) 在 (1, )
无零点． …………………………………………………………………………4 分
5 5
当 x =1 时，若a≥ ，则 f (1) 2a 0，h(1) max f (1), g(1) g(1) 0，
4 2
故 x =1 是h(x) 的零点；
5 5
若a ，则 f (1) 2a 0，h(1) max f (1), g(1) f (1) 0，
4 2
故 x =1 不是h(x) 的零点． ………………………………………………………………6 分
当 x (0,1)时， g(x) 0，所以只需考虑 f (x)在 (0,1) 的零点个数．
(ⅰ)若a≤ 3或 a≥0 ' 2，则 f (x) 6x 2a 在 (0,1) 无零点，故 f (x)在 (0,1) 单调，
1 5
而 f (0) ， f (1) 2a ，
2 2
所以当a≤ 3时， f (x)在 (0,1) 有一个零点；当a≥0 时， f (x) 在 (0,1) 无零点．
a a
(ⅱ)若 3 a 0，则 f (x)在（0， ）单调递增，在（ ，1）单调递减，
3 3
a a 4a a 1
故当 x = 时， f (x)取的最大值，最大值为 f ( ) ．
3 3 3 3 2
a 3
①若 f ( ) <0，即 ＜a＜0， f (x)在 (0,1) 无零点．
3 4
a 3
②若 f ( ) =0，即a ，则 f (x)在 (0,1) 有唯一零点；
3 4
a 3 1 5
③若 f ( ) >0，即 3 a ，由于 f (0) ， f (1) 2a ，
3 4 2 2
5 3
所以当 a 时， f (x)在 (0,1) 有两个零点；
4 4
5
当 3 a 时， f (x)在 (0,1) 有一个零点． ……………………………………10 分
4
3 5
综上，当a 或 a 时，h(x) 有一个零点；
4 4
3 5
当a 或a 时，h(x) 有两个零点；
4 4
5 3
当 a 时，h(x) 有三个零点． ……………………………………………12 分
4 4
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