武汉市2022-2023学年高二下学期数学期末考试模拟题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列式子正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：
2 4 5 6 8
30 40 50 60
根据表中的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的值为（ ）
A．45 B．50 C．70 D．65
3．二项式展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知随机事件A，B满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
0.05 0.01
3.841 6.635
6．针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生 女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则的最小值为（ ）附：，
A．7 B．8 C．9 D．10
7．教育部为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教．现将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则（ ）
A．甲学校没有女大学生的概率为
B．甲学校至少有两名女大学生的概率为
C．每所学校都有男大学生的概率为
D．乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为
8．已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．在第10行中第5个数最大
B．
C．第8行中第4个数与第5个数之比为
D．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为
11．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．已知随机变量服从二项分布，若，，则
B．已知，， , 则
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，当时概率最大．
12．已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为 B．单调递减区间为
C．的极小值为 D．方程有两个不同的解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则其展开式中有理项共有_________项．
14．现在有5人通过3个不同的闸机进站乘车，每个闸机每次只能过1人，要求每个闸机都要有入经过，则有_________种不同的进站方式（用数字作答）
15．数列的前n项和为，且，则＝___.
16．若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题10分）记等差数列的前n项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，若，求m的值．
ChatGPT应 用的广泛性 服务业就业人数的 合计
减少 增加
广泛应用 60 10 70
没广泛应用 40 20 60
合计 100 30 130
18．（本小题12分）人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI开发的人工智能划时代标志的ChatGPT能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示：
(1)根据小概率值的独立性检验，是否有的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？
(2)现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求的分布列和均值.
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
附：，其中.
19．（本小题12分）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值与单调区间.
20．（本小题12分）某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，并在种植药材的土地附近种草放牧发展畜牧业.牛粪、羊粪等有机肥可以促进药材的生长，发展生态循环农业.下图所示为某农户近7年种植药材的平均收入y（单位：千元）与年份代码x的折线图.并计算得到，，，，，，，其中.
(1)从相关系数的角度分析，与哪一个适宜作为平均收入y关于年份代码x的回归方程类型？并说明理由；
(2)根据（1）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程，并预测2023年该农户种植药材的平均收入.
附：相关系数，回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，，.
21．（本小题12分）为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛，现两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：
①决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；
②如果在答满轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第轮结束时，双方答对题目数量比为，则不需再答第轮了；
③设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
(1)在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望；
(2)求在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出的概率.
22．（本小题12分）已知函数，设.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，求证：函数有且只有一个极小值点，且；
(3)若函数不存在极值，求的取值范围.高二年级数学期末考试模拟题 答案解析
1 2 3 4 5 6 7 8
B C D A C C C B
9 10 11 12
ABC BC BCD AB
13 14 15 16
4 720 -2023
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】A中，因为，所以，故A错误；
B中，由基本初等函数的导数公式易知，故B正确；
C中，因为，C错误；
D中，，D错误.故选：B.
2．已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据：
2 4 5 6 8
30 40 50 60
根据表中的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则表中的值为（ ）
A．45 B．50 C．70 D．65
【答案】C
【详解】由表可知，，
.
因为回归直线会经过平均数样本中心点，
所以＝6.5×5＋17.5，
解得m＝70.故选：C．
3．二项式展开式中的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】展开式通项为：，
令，则展开式中的系数为；
令，则展开式中的系数为；
令，则展开式中的系数为；
展开式中的系数为.
故选：D.
4．已知随机事件A，B满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，
所以.
故选：A
5．记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【详解】设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，
，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故选：C．
6．针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生 女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若依据的独立性检验认为喜欢短视
0.05 0.01
3.841 6.635
频和性别不独立，则的最小值为（ ）
附：，附表：
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【详解】根据题意，不妨设，
于是，由于依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，根据表格可知，解得，于是最小值为.故选：C
7．教育部为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教．现将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则（ ）
A．甲学校没有女大学生的概率为
B．甲学校至少有两名女大学生的概率为
C．每所学校都有男大学生的概率为
D．乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为
【答案】C
【详解】将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教 种分法；
对于A，甲学校没有女大学生，从5名男大学生选3人分到甲学校，
再将剩余的6人平均分到乙、丙学校，共有种分法，
故甲学校没有女大学生的概率为，A错误；
对于B，甲学校至少有两名女大学生的情况包括恰有两女大学生和恰有三女大学生，
共有种分法，
故甲学校至少有两名女大学生的概率为，B错误；
对于C，每所学校都有男大学生，则男生的分配情况为将男生分为3组：人数为或，
当男生人数为时，将4名女生平均分为2组，分到男生人数为1人的两组，再分到3所学校，
此时共有种分法；
当男生人数为时，将4名女生按人数分为3组，
人数的2组分到男生人数为的两组，2名女生的一组分到男生1人的那一组，再分到3所学校，
此时共有种分法；
故每所学校都有男大学生的分法有种，
则每所学校都有男大学生的概率为，C正确；
对于D，乙学校分配2名女大学生，1名男大学生共有种分法，
且丙学校没有女大学生的分法有种，
故乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校没有女大学生的分法有种，
故乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为，D错误，故选：C
8．已知定义在上的函数满足，且有，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意，构造函数
在上单调递增又
又
的解集为故选：B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】因为是等差数列，所以.
根据题意，又，所以，
从而，，故选项A，B正确；又，即，故选项C正确；
对于选项D，，根据题意无法判断是否为零，故选项D错误.故选：ABC
10．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．在第10行中第5个数最大
B．
C．第8行中第4个数与第5个数之比为
D．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为
【答案】BC
【详解】对于A：第行是二项式的展开式的系数，
所以第行中第个数最大，故A错误；
对于B：，故B正确；
对于C：第行是二项式的展开式的系数，又展开式的通项为，
所以第个数为，第个数为，所以第个数与第个数之比为，故C正确；
对于D：第行是二项式的展开式的系数，故第行的所有数字之和为，故D错误；故选：BC
11．下列命题中，正确的命题是（ ）
A．已知随机变量服从二项分布，若，，则
B．已知，， , 则
C．设随机变量服从正态分布，若，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，，当时概率最大．
【答案】BCD
【详解】对于选项A：随机变量服从二项分布，，，可得，，则，选项A错误；
对于选项B：因为，所以，
由可得，又，，
所以，又，所以，B正确；
对于选项C：随机变量服从正态分布，则图象关于轴对称，
若，则，，选项C正确；
对于选项D：因为，当时，对应的概率，
设时，概率最大，则，
所以，所以，解得，
因为，所以，所以时，概率最大，故选项D正确．故选：BCD
12．已知，下列说法正确的是（ ）
A．在处的切线方程为 B．单调递减区间为
C．的极小值为 D．方程有两个不同的解
【答案】AB
【详解】对于A，由，得，
所以， ，所以在处的切线方程为，故A正确；
对于B，由，得，解得，所以的单调递减区间为，故B正确；
对于C，由，得，当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值，故C错误；
对于D，由C选项可知的最大值为，当时，，当时，，
所以函数与的图像的交点个数为1，即有1个解，故D错误.故选：AB.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知的展开式中所有项的二项式系数之和为64，则其展开式中有理项共有_______项．
【答案】4
【详解】由题意得，解得，的展开式的通项公式为，当，2，4，6时，展开式的项为有理项，故答案为：4
14．现在有5人通过3个不同的闸机进站乘车，每个闸机每次只能过1人，要求每个闸机都要有入经过，则有_________种不同的进站方式（用数字作答）
【答案】720
【详解】将5人分为3组，有和两种情况：
当分组为时：共有；当分组为时：共有；
综上所述：共有种不同的进站方式.故答案为：.
15．数列的前n项和为，且，则＝___.
【答案】
【详解】，
.故答案为：.
16．若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为_______．
【答案】
【详解】，即，
，设，恒成立，函数单调递增，故，
故，设，，故，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
故，故，故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题10分）记等差数列的前n项和为，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，若，求m的值．
【详解】（1）设的公差为d，因为，所以，解得，
又，所以．所以．
（2）因为，
所以
由，解得，所以．
ChatGPT应 用的广泛性 服务业就业人数的 合计
减少 增加
广泛应用 60 10 70
没广泛应用 40 20 60
合计 100 30 130
18．（本小题12分）人工智能正在改变我们的世界，由OpenAI开发的人工智能划时代标志的ChatGPT能更好地理解人类的意图，并且可以更好地回答人类的问题，被人们称为人类的第四次工业革命.它渗透人类社会的方方面面，让人类更高效地生活.现对130人的样本使用ChatGPT对服务业劳动力市场的潜在影响进行调查，其数据的统计结果如下表所示：
(1)根据小概率值的独立性检验，是否有的把握认为ChatGPT应用的广泛性与服务业就业人数的增减有关？
(2)现从“服务业就业人数会减少”的100人中按分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记抽取的3人中有人认为人工智能会在服务业中广泛应用，求的分布列和均值.
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
附：，其中.
【详解】（1）零假设为：ChatGPT对服务业就业人数的增减无关.
根据表中数据得，
所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为无关.
（2）由题意得，采用分层抽样抽取出的5人中，
人认为人工智能会在服务业中广泛应用，人认为人工智能不会在服务业中广泛应用，
则的可能取值为，又，
所以的分布列为
1 2 3
所以.
19．（本小题12分）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的极值与单调区间.
【详解】（1）因为，所以，
，
所以曲线在点处的切线方程为：，即
曲线在点处的切线方程为.
（2），当或时，；当时，，
所以函数的递增区间为和，递减区间为，
所以当时函数取得极大值为，当时函数取得极小值为.
20．（本小题12分）某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，并在种植药材的土地附近种草放牧发展畜牧业.牛粪、羊粪等有机肥可以促进药材的生长，发展生态循环农业.下图所示为某农户近7年种植药材的平均收入y（单位：千元）与年份代码x的折线图.并计算得到，，，，，，，其中.
(1)从相关系数的角度分析，与哪一个适宜作为平均收入y关于年份代码x的回归方程类型？并说明理由；
(2)根据（1）的判断结果及数据，建立y关于x的回归方程，并预测2023年该农户种植药材的平均收入.
附：相关系数，回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，，.
【详解】（1）因为，
.
对于模型，相关系数，
对于模型，相关系数
因为，所以适宜作为平均收入y关于年份代码x的回归方程.
（2）由（1）可知回归方程类型为，
由已知数据及公式可得，.
所以y关于x的回归方程为，
又年份代码1-7分别对应年份2016-2022，所以2023年对应年份代码为8，
代入可得千元，所以预测2023年该农户种植药材的平均收入为87.39千元.
21．（本小题12分）为了增强学生的国防意识，某中学组织了一次国防知识竞赛，高一和高二两个年级学生参加知识竞赛，现两个年级各派一位学生代表参加国防知识决赛，决赛的规则如下：
①决赛一共五轮，在每一轮中，两位学生各回答一次题目，两队累计答对题目数量多者胜；若五轮答满，分数持平，则并列为冠军；
②如果在答满轮前，其中一方答对题目数量已经多于另一方答满次题可能答对的题目数量，则不需再答题，譬如：第轮结束时，双方答对题目数量比为，则不需再答第轮了；
③设高一年级的学生代表甲答对比赛题目的概率是，高二年级的学生代表乙答对比赛题目的概率是，每轮答题比赛中，答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
(1)在一次赛前训练中，学生代表甲同学答了轮题，且每次答题互不影响，记为答对题目的数量，求的分布列及数学期望；
(2)求在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出的概率.
【详解】（1）解：由题可得，的可能取值为、、、，
所以，，，
，，
所以，的分布列为：
所以，.
（2）解：将“在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出”记为事件，
“在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，
“在第轮结束时，学生代表乙答对道题”记为事件，则、互斥，且，
则，，
所以，.因此，在第轮结束时，学生代表甲答对道题并刚好胜出的概率为.
22．（本小题12分）已知函数，设.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若，求证：函数有且只有一个极小值点，且；
(3)若函数不存在极值，求的取值范围.
【详解】（1）当时，，设，则恒成立，
所以导函数的单调增区间为，无单调减区间.
（2）由（1）问，当时，在上单调递增，并且，
所以存在唯一，满足；
当变化时，,变化状态如下：
0
极小值
所以函数有且只有一个极小值点，
又因为函数在上单调递增，且，所以.
（3）由（2）知，当时不满足条件；
当时，，无极值满足条件；
当时，由题意，若函数无极值，则函数在上是单调的，
若函数在上是单调递增，则恒成立；
设，则， ，
当变化时，,变化状态如下：
0
极小值
所以，则由题意
所以，解得.
若函数在上是单调递减，则恒成立，
但，不满足条件，所以函数在上不能是单调递减；
综上，的取值范围是.
