山东省菏泽市东明县2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 山东省菏泽市东明县2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-06-25 19:57:15 | ||
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文档简介
东明县2022-2023学年高一下学期5月月考
数学试题
时间：2023.5
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知向量．若，则实数（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．在中，若，则形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3．已知复数，若是纯虚数，则的共轭复数（ ）
A． B． C．1 D．
4．如图，一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．“平面内存在无数条直线与直线平行”是“直线平面”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知菱形中，，沿对角线折叠之后，使得平面平面则二面角的余弦值为（ ）
A．2 B． C． D．
8．在三棱锥中，三条棱两两垂直，且，若点P，A，B，C均在球O的球面上，则O到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．下列命题正确的是（ ）
A．若向量满足，则为平行向量
B．已知平面内的一个基底为，则也可以作为一个基底
C．模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等
D．若是等边三角形，则
10．已知i为虚数单位，复数满足，则下列说法错误的是（ ）
A．复数的模为 B．复数的共轭复数为
C．复数z的虚部为 D．复数在复平面内对应的点在第一象限
11．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．设，为非零向量，则“”是“”的充要条件
B．在中，
C．设向量，若与的夹角为钝角，则实数
D．点M是所在平面中的一点，若，则点是的重心
12．正方体棱长为1，若是空间异于的一个动点，且，则下列正确的是（ ）
A．平面
B．存在唯一一点P，使
C．存在无数个点P，代
D．若，则点到直线的最短距离为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．正三棱锥中，，过点A作一截面与侧棱分别交于点E，F，则截面周长的最小值为__________．
14．已知G为的重心，且，则__________．
15．已知圆台的轴截面面积为10，母线与底面所成的角为，则圆台的侧面积为__________．
16．如图，正方体的棱长为2，是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则长度的范围为__________．
四、解答题（本大题共6小题；共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题10.0分）
如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面．
（1）求证：平面；
（2）求证：．
18．（本小题12.0分）
如图，正方体的棱长为，连接，得到一个三棱锥，求：
（1）三棱锥的表面积；
（2）三棱锥的体积．
19．（本小题12.0分）
如图，在四棱锥中，且，证明：
（Ⅰ）平面平面；
（Ⅱ）茖，
①求四棱锥的体积；
②求直线与平面所成的角的大小．
20．（本小题12.0分）
在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面分别是的中点，．
（1）求证：平面；
（2）若，求点到平面的距离．
21．（本小题12.0分）
设为关于的方程的虚根，i为虚数单位．
（1）当时，求的值；
（2）若，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，试求的取值范围。
22．（本小题12.0分）
已知在中，角的对边分别为，已知．
（1）求角的值；
（2）已知．
（ⅰ）求面积的最大值；
（ⅱ）求的最大值．
东明县2022-2023学年高一下学期5月月考
答案和解析
【答案】
1．C 2．A 3．B 4．B 5．B 6．D 7．D 8．B 9．ABD 10．ABC 11．ABD 12．ACD
13． 14． 15． 16．
17．证明：（1）在四棱锥中，底面为菱形，所以，
∵平面平面，
∴平面；
（2）连接．
∵平面平面，
∴，
∵底面为菱形，
∴，
∵平面，
∴平面，
又平面，
∴．
18．解：（1）∵是正方体，
∴，
∴三棱锥的表面积为．
（2）三棱锥是完全一样的．
且正方体的体积为，故．
19．（Ⅰ）证明：∵，所以，所以，
∵，所以，
∴平面，∵平面，
所以平面平面．
（Ⅱ）①取的中点，连接，
由于，故，
由平面在平面内，所以，
相交于，且均在平面内，所以平面，
又平面在平面内，
所以，
又因为，且，
所以四边形是矩形，
所以四棱锥的体积；
（2）由①可知为直线与平面所成的角，
在等腰直角和等腰直角中，，
于是，即直线与平面所成的角为．
20．（1）证明：因为底面底面，所以．
又因为是矩形，所以．
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
因为为中点，所以，
又因为，平面，
所以平面．
（2）若，∴，
则，
则，，
，
点到平面的距离为，
设点到平面的距离为，
由，
得，
．
故点到平面的距离为．
21．解：（1）∵，∴，
则方程的两根分别为，．
由根与系数的关系可得，即；
（2）设，则，
，
，
由题意可得：．
令．
又，
，其中．
所以的取值范围为．
22．解：（1）依题意，，
则，
因为，故，
解得；
因为，故；
（2）（ⅰ）依题意，，
由余弦定理，，则，当且仅当时等号成立，
故，即面积的最大值为；
（ⅱ）由正弦定理，，
所以，
所以
，
其中且为锐角，
则当时，有最大值．
数学试题
时间：2023.5
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．已知向量．若，则实数（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．在中，若，则形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3．已知复数，若是纯虚数，则的共轭复数（ ）
A． B． C．1 D．
4．如图，一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．“平面内存在无数条直线与直线平行”是“直线平面”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
7．已知菱形中，，沿对角线折叠之后，使得平面平面则二面角的余弦值为（ ）
A．2 B． C． D．
8．在三棱锥中，三条棱两两垂直，且，若点P，A，B，C均在球O的球面上，则O到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．下列命题正确的是（ ）
A．若向量满足，则为平行向量
B．已知平面内的一个基底为，则也可以作为一个基底
C．模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等
D．若是等边三角形，则
10．已知i为虚数单位，复数满足，则下列说法错误的是（ ）
A．复数的模为 B．复数的共轭复数为
C．复数z的虚部为 D．复数在复平面内对应的点在第一象限
11．下列关于平面向量的说法中正确的是（ ）
A．设，为非零向量，则“”是“”的充要条件
B．在中，
C．设向量，若与的夹角为钝角，则实数
D．点M是所在平面中的一点，若，则点是的重心
12．正方体棱长为1，若是空间异于的一个动点，且，则下列正确的是（ ）
A．平面
B．存在唯一一点P，使
C．存在无数个点P，代
D．若，则点到直线的最短距离为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．正三棱锥中，，过点A作一截面与侧棱分别交于点E，F，则截面周长的最小值为__________．
14．已知G为的重心，且，则__________．
15．已知圆台的轴截面面积为10，母线与底面所成的角为，则圆台的侧面积为__________．
16．如图，正方体的棱长为2，是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则长度的范围为__________．
四、解答题（本大题共6小题；共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题10.0分）
如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面．
（1）求证：平面；
（2）求证：．
18．（本小题12.0分）
如图，正方体的棱长为，连接，得到一个三棱锥，求：
（1）三棱锥的表面积；
（2）三棱锥的体积．
19．（本小题12.0分）
如图，在四棱锥中，且，证明：
（Ⅰ）平面平面；
（Ⅱ）茖，
①求四棱锥的体积；
②求直线与平面所成的角的大小．
20．（本小题12.0分）
在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面分别是的中点，．
（1）求证：平面；
（2）若，求点到平面的距离．
21．（本小题12.0分）
设为关于的方程的虚根，i为虚数单位．
（1）当时，求的值；
（2）若，在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，试求的取值范围。
22．（本小题12.0分）
已知在中，角的对边分别为，已知．
（1）求角的值；
（2）已知．
（ⅰ）求面积的最大值；
（ⅱ）求的最大值．
东明县2022-2023学年高一下学期5月月考
答案和解析
【答案】
1．C 2．A 3．B 4．B 5．B 6．D 7．D 8．B 9．ABD 10．ABC 11．ABD 12．ACD
13． 14． 15． 16．
17．证明：（1）在四棱锥中，底面为菱形，所以，
∵平面平面，
∴平面；
（2）连接．
∵平面平面，
∴，
∵底面为菱形，
∴，
∵平面，
∴平面，
又平面，
∴．
18．解：（1）∵是正方体，
∴，
∴三棱锥的表面积为．
（2）三棱锥是完全一样的．
且正方体的体积为，故．
19．（Ⅰ）证明：∵，所以，所以，
∵，所以，
∴平面，∵平面，
所以平面平面．
（Ⅱ）①取的中点，连接，
由于，故，
由平面在平面内，所以，
相交于，且均在平面内，所以平面，
又平面在平面内，
所以，
又因为，且，
所以四边形是矩形，
所以四棱锥的体积；
（2）由①可知为直线与平面所成的角，
在等腰直角和等腰直角中，，
于是，即直线与平面所成的角为．
20．（1）证明：因为底面底面，所以．
又因为是矩形，所以．
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
因为为中点，所以，
又因为，平面，
所以平面．
（2）若，∴，
则，
则，，
，
点到平面的距离为，
设点到平面的距离为，
由，
得，
．
故点到平面的距离为．
21．解：（1）∵，∴，
则方程的两根分别为，．
由根与系数的关系可得，即；
（2）设，则，
，
，
由题意可得：．
令．
又，
，其中．
所以的取值范围为．
22．解：（1）依题意，，
则，
因为，故，
解得；
因为，故；
（2）（ⅰ）依题意，，
由余弦定理，，则，当且仅当时等号成立，
故，即面积的最大值为；
（ⅱ）由正弦定理，，
所以，
所以
，
其中且为锐角，
则当时，有最大值．
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