初中数学教案
总 课 题 第一章 图形与证明(二) 总课时
课 题 §1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定 课型 新授
教学目标 1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。
2．能够综合运用平行四边形的性质定理，并体会证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。
教学重点 经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。
教学难点 综合运用平行四边形的性质定理解决问题。
教具准备
教学过程 教 学 内 容
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
一、创设情景1、请同学们回忆一下，初二学过的平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，在下面相应的空格内打“√”。表格，平行四边形矩形菱形正方形对边平行对边相等四边相等对角相等4个角是直角对角线互相平分对角线相等对角线互相垂直两条对角线互相平分两组对角2、你能说说这几种特殊四边形的性质之间有哪些区别和联系吗？3、今天，让我们一起，用基本事实和学过的定理来证明平行四边形的性质。 时间较长，学生有点遗忘，可让学生分组讨论后再回答让学生回答，相互补充完整。 复习旧知识，为这一节课讲授平行四边形性质作铺垫。 提出本节课的学习目标。
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
二、探讨活动1、（师生共同探讨）已知如图在□ABCD中，AC、DB相交于点O求证：AO=CO，BO=DO。思考与表达怎 要证AO=CO，BO=DO， 怎么 只需证△AOB≌△COD, 么想 只需证AB=CD， 写只需证△ABC≌△CDA，2、学生独立思考利用上面的证明过程，你还能证明平行四边形的其他性质吗？三、归纳。定理：平行四边形的对边相等。定理：平行四边形的对角相等。定理：平行四边形的对角线互相平分。四、例题教学例：已知如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：BE=DF。思考与表达怎 要证BE=DF， 怎么 只需证△ABE≌△CDF, 么想 只需证AB=CD，AE=CF， 写∠A=∠C。拓展延伸 如果连接AF、CE，有哪些结论？五、课堂小结：通过本节课的学习，你有哪些收获，你能与同学们交流吗？六、课堂练习：P15第1-2题。七、布置作业；P25习题1-3题，第1-2题。 学生思考回答，重点要求说明是怎样想的。学生分析思路：怎样想。学生归纳总结 要重视怎样想的分析：几何推理要教会学生分析的方法。进一步培养学生分析问题的能力。培养学生归纳的能力和表达的能力。
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总 课 题 第一章 图形与证明(二) 总 课 时
课 题 §1.2直角三角形全等的判定（1） 课型 新授
教学目标 能说出“斜边、直角边定理”。能分清“HL定理”的题设与结论，说清证明直角三角形全等的思路。会用“HL定理”证明两个直角三角形全等。
通过“HL定理”的得出与对“直角三角形全等判定方法”的总结，提高观察与分析，归纳与概括的能力。
通过对一般三角形与直角三角形全等判定方法的比较，初步感受普遍性与特殊性之间的辩证关系。
教学重点 斜边、直角边定理”及其应用
教学难点 定理的证明
教具准备 投影仪
教学过程 教 学 内 容
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
一、提出问题，创设情景各位同学，在前面我们学习了一般三角形全等的判定，不知大家是否还清楚，现在请各自回忆一下：（一）复习回顾（l）说出判定一般三角形全等的依据，并说出它们的共同点。（2）判断：a．有两角和一边对应相等的两个三角形全等。（ ）b．有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。（ ）C．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等。（ ）2．提出问题如果命题“c”里的“其中一边的对角”是直角，那么这样的两个三角形是否全等呢？二、引导探究，得出结论1．教师演示提问，学生观察回答：同学们看，我这里有一个等腰三角形ABB′，AB=AB′AC是BB′边上的高，现在我沿着高AC剪开，请回答：（1）得到的是两个什么三角形？（2）这两个三角形有什么元素相等？现在我把两个Rt△按对应边叠放在一起，大家看出现了什么情况？这说明了什么呢？ 学生完成复习题后，教师边提问边用符号写出判定三角形全等的依据。学生动手操作实验 让学生练习，既起了诊断评价的作用，又为导入新课、创设思维情景奠定了基础。参与定理的验证过程，这样既进一步强化了学生对定理的认识，又激发了学生的学习兴趣，提高了学生学习的主动性，还培养了学生的能力。
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
2．讨论归纳，得出结论同学们讨论归纳一下：如果把条件和结论联系在一起，如何用语言表达，看谁能说得既简捷又清楚。有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。3．证明结论已知：如图，在和中，，，。求证： 证法一：引导学生利用前面的操作实验来证明。根据学生的口述，教者板书证明过程；同时追问：“为什么要说明点B、C、在同一直线上呢”本定理还有其他证法吗？（提示学生利用勾股定理）证法二：根据勾股定理求出第三边，从而利用“边边边”来证明。思考：若上题中，，则是什么三角形？你发现BC和AB有何数量关系？三、巩固练习课本P10练习第1、2题四、作业教材P12页，第1、2题；《同步导学》相应部分的内容。 学生表达后，给予评价并板书学生动手操作，寻找证明途径。学生思考：“点B、C、在同一直线上”的必要性。学生思考后作答 学生根据前面的操作的结果利用等腰三角形的性质得出两底角相等，从而利用“角角边”来证明。让学生经历知识的形成过程，学生通过自己的思考，发现直角形所对的直角边与斜边的关系。
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总 课 题 图形与证明（二） 总 课 时
课 题 小结与思考（一） 课型 复习
教学目标 1、通过复习，进一步熟练掌握等腰三角形、等腰梯形的性质与判定，掌握直角三角形全等的判定，掌握中位线定理并能运用它们解决有关问题2、进一步发展学生合乎逻辑的思考和有条理的表达能力
教学重点 运用所复习的内容解决有关问题
教学难点 进一步发展学生合乎逻辑的思考和有条理的表达能力
教具准备 投影仪
教学过程 教 学 内 容
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
一、知识点回顾与归纳1、请你说出等腰三角形的性质定理与判定定理2、请你说出直角三角形全等的判定定理3、请你说出等腰梯形的性质定理和判定定理4、请你说出三角形的中位线和梯形中位线定理二、例题教学例1：填空题1、小明剪了一个等腰三角形，量得一个内角是50°，则这个三角形的另外两个角分别为______________2、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm,BC=8cm，∠B=60°，则AB=_______cm。3、梯形的中位线长为30，一条对角线把中位线分成1∶2两部分，那么梯形的上底长为_________4、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中位线，G是BC上任一点，若S梯形ABCD=80cm2，那么S△EFG=____________例2：选择题1、满足下列条件的两个等腰三角形，不能判断它们全等的是 （ ）A、顶角、腰对应相等 B、底边、腰对应相等C、两腰对应相等 D、一底角、底边对应相等2、如图，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则下列四个结论：①AB上一点与AC上一点到点D的距离相等；②AD上任一点到AB、AC的距离相等；③∠BDE=∠CDF；④BD=CD，AD⊥BC。其中正确的个数是（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 学生回忆、思考并作答学生先思考，再作答学生思考并回答 让学生回顾复习所学知识，以 运用为本节课讲授例题打下基础例题1巩固一些基本概念，第1题让学生学会 分类讨论，培养学生考虑问题全面的好习惯例2的目的让学生进一步理解和灵活运用所复习的知识点
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
3、等腰梯形两底的差是4cm，中位线是6cm，腰长为4cm，那么它的面积是 （ ）A、 B、C、 D、例3：解答题1、如图，△ABC中，AB=AC，BD、CE分别平分∠B、∠C且AG⊥BD于点G，AH⊥CE于点F交BC于点H。 求证⑴△AFG为等腰三角形；⑵△CAH是等腰三角形。分析：本题为等腰三角形判定定理的应用，通常在判定等腰三角形时用定理“等角对等边”。但在⑴中利用△ABG≌△ACF证AF=AG更简便些，所以要根据具体情况选择合适的证明方法。小结：求证线段相等需证明它们所在的三角形全等，或证明它们所在三角形为等腰三角形；反之，欲证三角形为等腰三角形，可证明线段相等，或证明角相等，再用“等角对等边”来证明。2、已知，如图在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H。求证：OG=OH分析：取BC的中点M，连接ME、MF，根据三角形中位线定理证ME=MF，根据等边对等角、两直线平行内错角相等证∠OGH=∠OHG，从而得到OG=OH。三、布置作业P37-38 第1、9题 学生思考，说出分析思路在老师的适当点拔下，让学生思考 第1题证△AFG为等腰三角形，利用证三角形全等证AF=AG更简便些，让学生学会根据具体情况选择合适的证明方法。让学生逐步学会分析、转化的方法初中课时设计活页纸
总 课 题 第一章 图形与证明（二） 总 课 时
课 题 §1.3 平行四边形、菱形、正方形的性质与判定（3） 课型 新授
教学目标 1、经历探索菱形有关性质的过程，进一步关注学生合乎逻辑的思考能力及推理论证的能力
2、能运用菱形性质定理来解决问题
3、让学生进一步体会证明过程中所运用的归纳、概括、转化等数学思想方法
教学重点 菱形性质的运用
教学难点 能灵活运用菱形性质定理解决问题
教具准备 投影仪、活动的平行四边形木框
教学过程 教 学 内 容
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
一、情境创设教师出示教具：“一个活动的平行四边形木框”，用两根橡皮筋分别套在相邻的两个顶点上．平行移动另一对相邻的顶点B、C，立即改变平行四边形的形状． 学生思考如下问题：(1)无论BC平行移到什么位置，四边形ABCD还是平行四边形吗？(2)当BC移动什么位置时，这个平行四边形就变成一个特殊的平行四边形——菱形？这时两条对角线有什么位置关系？二、实践与探索我们知道菱形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的性质，而且还具有一些特殊的性质．根据菱形的定义，菱形是平行四边形，且有一组邻边相等，从而可得：定理：菱形的四条边都相等．由问题(2)我们还知道定理：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 学生观察教具，思考问题，激发探究热情。给学生充分讨论的机会和思考的余地鼓励学生大胆地说思考菱形的四条边都相等,菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角的证明方法，并分组讨论。 设计这个问题情境引导学生回顾以前探索四边形是矩形的条件的过程，同时引导学生从四边形、平行四边形和菱形的从属关系来思考和表述菱形的性质条件通过实际操作，这样既可以提高学生积极参与的主动性，又激发了学生学习的兴趣
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
1．已知菱形的周长为16cm，则菱形的边长为_____cm．2．已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，菱形的边长是________cm．3．已知菱形的边长是5cm，一条对角线长为8cm，则另一条对角线长为______cm．4．菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线AC：BD=4：3，那么对角线AC=______cm，BD=______cm．5．如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，AB=12cm，则∠ABD的度数为_____，∠DAB的度数为______；对角线BD=_______，AC=_______；菱形ABCD的面积为_______．6．菱形的两条对角线把菱形分成全等的直角三角形的个数是（ ）．（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个三、例题教学例1 如图，在菱形ABCD中，M是AB的中点，且DM⊥AB，则ΔABD是什么三角形 若AB=4，求菱形ABCD的面积。四、课堂练习 P18 第1—2题五、课堂小结1、通过本节课的学习，你有哪些收获？请与同学们交流六、作业布置： P25 第6、7题 要求学生先根据题意，画出图形、写出已知和求证学生板演，老师指导学生并纠正学生书写中的错误并及时补充书写中的不足学生讨论交流学生思考讨论让学生回顾本节课的内容 通过一组基础练习，使学生进一步掌握菱形的性质例题的教学使学生巩固使学的知识，培养学生分析问题、解决问题的能力证明思路的再归纳总结，进一步加深学生印象
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总 课 题 第一章 图形与证明（二） 总 课 时
课 题 §1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判断 课型 新授
教学目标 1．掌握并能证明矩形的性质，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，会利用这些定理计算和证明一些数学问题。
2．通过定理的证明体会证明的必要性。
教学重点 矩形的性质及证明
教学难点 矩形的性质的证明
教具准备 三角板、平行四边形的模具
教学过程 教 学 内 容
教师活动内容、方式一情景创设 出示如下的一个平行四边形木条框并演示其转化为矩形的过程.(1)演示前回顾平行四边形的性质;(2)演示过程中回顾矩形的定义及性质（板演出定义及性质的符号语言）二新知探究 （一）矩形性质的证明 定理 矩形的四个角都相是直角 已知：矩形ABCD 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90° 学生活动方式师生共同参与 回顾命题的证明步骤：1画图；2写出已知求证；3写出证明过程；这条题目由学生口述证明完成 设计意图让学生形象直观的回顾旧知在上面“合作学习”和以往的知识基础上，引导学生回顾矩形的概念与性质命题的证明是学生学习时的一个难点，特别是已知求证的书写，所以在讲解时不可忽视
定理 矩形的对角线相等已知：矩形ABCD 求证：AC=BD（引导学生自我分析、自我论证）应用巩固：课本P16T1（二）拓展与延伸 如图矩形的ABCD对角线AC、BD相交与点O；请你仔细观察这个图形，你还能发现什么结论？ 已知：矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O.1引导学生的出OA=OB=OC=OD2檫掉△ACD得到BO=0A=OC=1/2AC3归纳总结上述结论得到定理定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 应用巩固：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点（1）若AC=3㎝，BC=4㎝则CD= ㎝;（2）若AC=6㎝，CD=5㎝则BC= ㎝;（三）例题讲解 例2已知：如图矩形ABCD的两条对角线相交于点O,且AC=2AB, 求证: △AOB是等边三角形分析：1明确本题需要证明什么，即可明确需证OA=OB=AB；2从已知条件出发根据矩形的性质可知OA=OB=1/2AC3再由AC=2AB得到AB=1/2AC最后很容易得到结论 . 学生口述分析思路。学生板演证明过程，师生共同评价解答。学生练习学生在老师的引导下进行思考和表述学生练习学生先独立思考，然后老师再作指导，最后由学生书写证明过程 通过学生的“出声想”暴露学生的思维过程，找准思维中的“闪光点”或思维出错的“症结”定理的获得既是对矩形性质的强化又是为后继学习奠基对于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一重要定理直接进行运用书上安排了问题的思考与表述,对学生解决证明题的思路的培养非常有帮助,学生在解题时常将“想”与“写”的过程混淆.因此在讲解时需重点强调两者的区别与联系。
证明:∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD(矩形的对角线相等) AO=CO=1/2AC BO=CO=1/2BD(矩形的对角线互相平分)∵AC=2AB,即AB=1/2AC∴AO=BO=AB∴△AOB是等边三角形 (四)练习巩固 书本P16T 2三师生小结 1．你能回顾这一节课学习过程吗？ 2．你通过这课的学习你有什么感想？谈谈你的收获，疑惑…四 作业课本P25T3 4 学生板演，师指导学生并纠正学生书写中错误，以及补充书写中不足学生自我归纳 以往对学生的书写要求不高，因此学生书写中问题较多，让学生在自身的错误中纠正，印象较深引导学生从矩形的组成元素边、角、对角线以及直角三角形的重要性质按序归纳
C
D
A
B
C
D
A
B
O
A
B
A
B
C
D
A
B
C
D
D
C
B
A
C
D
O
A
B
C
D
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总 课 题 图形与证明 总 课 时
课 题 §1.5中位线（2） 课型 新授
教学目标 1.应用三角形中位线定理解决问题
2、引导学生探索发现一系列连接各边中点得到的四边形的形状与原四边形两条对角线的位置关系和数量关系，体会到图形的位置关系、数量关系从一般到特殊的变化规律，有利于深入、全面的认识图形的性质。
教学重点 应用三角形中位线定理解决问题
教学难点 引导学生探索发现一系列连接各边中点得到的四边形的形状与原四边形两条对角线的位置关系和数量关系
教具准备 投影仪、三角板
教学过程 教 学 内 容
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
一、创设问题情境： 依次连接任意四边形各边的中点，能得到什么图形？1.画一个任意四边形，取各边中点并依次连接. 2.观察、猜测得到的是一个什么图形？3. 你能证明这个“依次连接任意四边形各边的中点得到的四边形是平行四边形”吗？分析：出现中点，构造三角形，利用三角形中位线解决问题。4、证明过程学生口述
二、探索活动依次连接矩形各边的中点，能得到什么图形 ⑴引导学生画图，通过观察，猜想出结论。⑵学生结合图形，口述证明过程。2、如果依次连接一个四边形各中点得到菱形，那么原来的四边形一定是矩形，这个命题正确吗？为什么？⑴让学生比较前面两个问题，引导学生发现这个问题与原来的四边形的对角线大小有关系，从而得出“依次连接对角线相等的四边形各边的中点得到的四边形是菱形” 学生动手画图、观察学生思考学生观察、猜想结论 让学生画图后直观感受是一个什么图形学生发现连接各边中点得到的四边形的形状与原四边形两条对角线的数量关系
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
⑵证明：“依次连接对角线相等的四边形各边的中点得到的四边形是菱形？”已知：如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是菱形证明：∵BE＝EA、BF＝FC∴EF＝ AC（三角形中位线定理）同理：FG＝ BD，GH＝AC、HE＝ BD∵AC＝BD∴EF＝FG＝GH＝HE∴四边形EFGH是菱形（四边都相等的四边形是菱形）三、拓展与延伸猜一猜：如果一个四边形的对角线互相垂直，那么依次连接它的各边中点得到怎样的图形？⑴学生画图，观察后猜想，得出结论⑵证明上述命题已知：如图在四边形ABCD中，AC垂直BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是矩形四、小结通过探索，你发现一系列连接各边中点得到的图形 的形状与原来的四边形有什么关系？五、巩固练习P32页练习 引导学生画图，写出已知、求证. 引导学生探索发现连接各边中点得到的四边形的形状与原四边形两条对角线的位置有关
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总 课 题 第一章 图形与证明（二） 总 课 时
课 题 §1.3 平行四边形、菱形、正方形的性质与判定（6） 课型 新授
教学目标 1、经历探索、猜测、证明的过程，进一步关注学生合乎逻辑的思考能力及推理论证的能力
2、能综合运用平行四边形性质定理及矩形的判定定理来解决问题
3、让学生进一步体会证明过程中所运用的归纳、概括、转化等数学思想方法
教学重点 经历探索、猜测、证明的过程，进一步关注学生合乎逻辑的思考能力及推理论证的能力
教学难点 能综合运用平行四边形性质定理及矩形的判定定理来解决问题
教具准备 投影仪
教学过程 教 学 内 容
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
一、情境创设提出问题：1、具备什么条件的平行四边形是矩形？2、具备什么条件的四边形是矩形？二、探索活动（一）引导学生探索“对角线相等的平行四边形是矩形”的证明思路1、如图，在□ABCD中，AC=BD，由此你能得到什么？2、如图，要证明□ABCD是矩形，需证什么？为什么？分析：依据矩形的定义，需证□ABCD的一个角是直角；或∠ABO＋∠CBO＝90°；或∠ABC＝∠DCB3、说说你证明“对角线相等的平行四边形是矩形”的思路4、你还有不同的证法吗？请发表你的见解5、板书定理：对角线相等的平行四边形是矩形 学生思考并回答给学生充分讨论的机会和思考的余地鼓励学生大胆地说 设计这个问题情境引导学生回顾以前探索四边形是矩形的条件的过程，同时引导学生从四边形、平行四边形和矩形的从属关系来思考和表述矩形的判定条件问题1的结论很多学生很容易找到多个结论，这样既可以提高学生积极参与的主动性，又激发了学生学习的兴趣一题多解可以培养学生思维的发散性
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
（二）引导学生探索“有3个角是直角的四边形是矩形”的证明思路1、有3个角是直角的四边形是矩形吗？为什么？2、引导学生画出图形，写出已经和求证3、学生板演证明过程4、定理：有3个角是直角的四边形是矩形三、例题教学例：已知如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD的各边上的点，且AE=CF=CG=AH。求证：四边形EFGH是矩形。分析1：例题的教学要关注发展合乎逻辑的思考能力，引导学生发现证明的思路，让学生在充分交流的基础上，小结如下的两段思路，并讨论如何“衔接”这两段思路：由菱形ABCD得AE=CF=CG=AH，可证△AEH≌△CFG，△BEF≌△DHG，进而可证四边形EFGH是平行四边形。由结论，要证四边形EFGH是矩形，则需证四边形EFGH是平行四边形，并且有一个角是直角；或四边形EFGH中有3个角是直角。分析2：证明的途径由菱形ABCD，得AE=CF=CG=AH，可证∠BEF=（180°－∠B），∠AEH=（180°－∠A），可证 ∠HEF=90°，可证四边形EFGH是矩形。四、课堂练习 P23 第1—2题五、课堂小结1、通过本节课的学习，你有哪些收获？请与同学们交流2、进行推理论证，常常需要从两个方向思考：“证明结论，需要什么条件？”“从已知条件可以推出哪些证明结论所需的事项？”这样有利于探索并获得证明的思路。六、作业布置： P26~27 第11、12题 要求学生先根据题意，画出图形、写出已知和求证学生板演，老师指导学生并纠正学生书写中的错误并及时补充书写中的不足学生讨论交流让学生回顾本节课的内容 注意已知、求证格式的书写，养成规范严谨的好习惯例题教学中应较多地关注学生思维能力的培养，关注学生证明的思路和方法的掌握，鼓励学生进行不同证明思路的交流和讨论，不断发展学生的推理能力证明思路的再归纳总结，进一步加深学生印象
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总 课 题 第一章 图形与证明（二） 总 课 时
课 题 §1。4等腰梯形的性质和判定 课型 新授
教学目标 1探索并了解等腰梯形的有关特征，并会运用分解梯形
为平行四边形与三角形的方法解决一些简单的问题。
2 经历探索梯形特别是等腰梯形的基本特征和识别方法的过程
教学重点 等腰梯形的性质
教学难点 能灵活运用等腰梯形的性质和判定解题
教具准备 三角板
教学过程 教 学 内 容
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
情境创设 同学们还记得我们曾经用什么剪出一个等腰梯形吗？当时我们由此探索得到等腰梯形的性质和判定，现在我们来证明有关等腰梯形的一些结论。探索活动问题1：如何从基本事实出发证明我们曾探索得到的“在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形”。已知：如图在梯形ABCD中，AD//BC，教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
问题3：等腰梯形有哪些性质？性质1：等腰梯形的对角线相等。性质2：等腰梯形的对角线相等。三．例题教学例：画一个等腰梯形，使它的两底边长分别为6CM和12CM，腰长为5CM，分析：举例有多种画法，比如：先画一个等腰三角形，使它的底边长为6CM，腰长为5CＭ，再画出等腰梯形先画一个直角三角形，使它的一条直角边长为４ＣＭ，斜边长为５ＣＭ，再画出等腰梯形 四：课堂练习：课本Ｐ２９ 练习１.2五：小结本课你有什么收获？六：课堂作业课本Ｐ２９ 习题２.3 学生回答让学生试着说说证明的思路让学生动手去画，引导学生去探索、并获得并尝试用不同的方法，画图的方法。学生小结并互相补充 的问题转为可证的问题，是解决问题的一个重要策略
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总 课 题 第一章 图形与证明 (二) 总 课 时
课 题 §1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定（4） 课型 新授
教学目标 1．探索并掌握正方形的概念及特征
2．能正确理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的的区别和联系
教学重点 正方形的性质的应用
教学难点 正方形、菱形、矩形、平行四边形的区别与联系
教具准备 三角板
教学过程 教 学 内 容
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
一、情影创设1．给一个平行四边形增加什么条件就变成矩形？菱形？2．给一个矩形增加什么条件就变成正方形？3．给一个菱形增加什么条件就变成正方形？4．正方形有哪些性质？二、引导探究，得出结论例：正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，正方形A’B’C’D’的顶点A’与点O重合(1)如图,如果A’B’经过BC的中点E,那么A’D’与CD的交点,F是CD的中点吗 证明你的结论 方法一:利用等腰三角形中心三线合一定理证明F是CD的中点方法二利用ASA证明△OCE≌△ODF从而得到F是CD的中点. 学生思考并作答学生回忆学生思考、讨论并说出自己的解题思路，然后老师再作分析指导。然后由学生口述，老师书写证明过程。 在八年级所学知识的基础上，引导学生回顾正方形的判定方法和性质以便运用。复习巩固正方形的性质培养学生分析问题的能力
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
(2)如图,正方形A’B’C’D’绕点O旋转,A’B’经过BC的三等分点,即EC=1/3BC,A’D’与CD的交点F也是CD的三等分点吗 证明你的结论.(3)由(1)、（2）你得到什么结论？如果点E不是BC的三等分点，你能得到什么结论？教学中学生可能得到的结论有：正方形绕点O旋转并与正方形ABCD分别交BC、CD于点E、F，总有OE=OF，BE=CF，EC=FD等等。三、课堂练习1、已知正方形的对角线为8，则正方形的边长为 2、下列性质中，平行四边形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）A 对角线相等 B 对角线平分一组对角C 对角线互相平分 D 对角线互相垂直3、课本P23页练习。四、课堂小结通过本课的学习，你有哪些收获？五、课堂作业 课本P26第7题。 学生思考:除了这个结论,我们还可以得到哪些相等的线段 学生先大胆猜想作答，然后老师再作总结。学生思考后口答学生板演证明过程，师生共同评价解答。学生归纳总结 让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。进一步强化本课所学知识。让学生尽快熟练证明过程的书写。培养学生归纳总结的能力
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总 课 题 第一章 图形与证明（二） 总 课 时
课 题 §1.5 中位线（1） 课型 新授
教学目标 1、能证明三角形中位线定理，并能运用基角形中位线定理进行简单的证明2、逐步学会分析和综合的思考方法，发展合乎逻辑的思考能力3、经历对合情推理的结论，正确性的证明过程，不断感受证明的必要性
教学重点 三角形中位线定理的证明
教学难点 三角形中位线定理证明中添加辅助线的思想方法
教具准备 投影仪、三角形纸片，剪刀
教学过程 教 学 内 容
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
一、创设情境，引入新课如图所示，A、B两地被池塘隔开，在AB外选一点C，连结AC和BC，你能用什么方法求出AB两点间的距离？你的根据是什么？（如果学生回答“这是根据中位线定理”，教者可写出课题）二、探索新知（一）提出问题：三角形的中位线与第三边有什么关系？如何证明？（二）操作实践：现在有一张三角形纸片，你能将它剪成两部分，并把它拼成一个平行四边形吗？（三）定理的证明：1、画出图形，写出已知、求证已知：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点。求证：DE∥BC，DE=BC2、分析证明定理的思路⑴回顾拼图实践中，所剪的一刀，实质就是连结三角形的两边中点的线段——中位线；提出问题：你由此得到什么启发？学生可能出现的想法有： 由学生思考后回答解决问题的方法和依据学生口述定理，教者板书定理边动手操作，边互相讨论，选择一名学生口述拼图的方法由学生尝试根据图形说出已知、求证观察所拼图形，寻找添加辅助线的方法学生口述，教者评价板演 帮助学生回顾旧知，从而引出课题为定理的证明作铺垫发学生借助所拼图形得到添加辅助线的方法培养学生分析和综合的思考方法，发展合乎逻辑的思考能力
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
①延长DE到点F，使EF=DF，连结CF②过点C作AB的平行线交DE的延长线于⑵由学生说出分析的思路和证题的过程3、教者板书证明过程4、用几何语言表述三角形中位线定理在△ABD中，∵D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE=BC5、回顾评价前面的证明过程，并强调三角形中位线定理是一个很重要的定理，只要有中位线这一条件，就可以得两个结论：⑴位置关系：DE∥BC⑵数量关系：DE=BC两个结论不一定同时使用，可根据需要适当选择6、提出问题：你还有其他方法证明三角形中位线定理吗？按课本“数学实验室”中提供的方法，也是证明三解形中位线定理的一条思路。三、例题教学1、回答课堂开始的情景问题如果DE=20m，那么A、B两点的距离是多少？为什么？2、课本P31 例1⑴启发学生把问题转化为三角形中位线问题去解决⑵学生说出分析的思路⑶学生独立完成证明过程3、拓展与延伸三角形的三条中位线组成的三角形与原三角形有怎样的大小关系？说说你的理由。4、课堂练习：P32 T1四、知识回顾：说说梯形中位线的性质与三角形中位线的性质有什么联系？它们的证明过程有什么联系？五、布置作业课本P33 第1、2两题 学生动手操作、讨论并与同伴交流，选择一名学生说出设计方案并说明理由学生回答学生相互讨论学生板演思考、讨论后回答结果学生独立完成学生归纳总结 加深学生对中位线定理的理解培养学生规范使用几何语言表达的能力拓宽思路、活跃思维，通过一题多证，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力照应开头的情境问题，体会应用所学知识解决问题的乐趣培养学生独立思考问题的能力培养学生的知识归纳能力和语言表达能力初中数学教案
总 课 题 图形与证明（二） 总 课 时
课 题 §1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判断(7) 课型 新授
教学目标 1、经历、探索菱形的识别条件过程，在操作活动中观察分析问题
2、探索并掌握菱形识别方法，并能利用识别方法解决问题
教学重点 掌握菱形识别方法，并能灵活利用识别方法解决问题
教学难点 菱形识别方法的应用
教具准备 剪刀、长方形纸、圆规
教学过程 教 学 内 容
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
一、知识回顾：什么是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）二、情境创设：1、具备什么条件的平行四边形是菱形？2、具备什么条件的四边形是菱形？三、探索活动：1、定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形已知：如图，在□ABCD中，对角线AC⊥BD，求证：□ABCD是菱形。分析：通过设问的方式引导学生探索出证明这个定理的思路问题1：如图，要让平行四边形ABCD是菱形，需证什么？为什么？（依据菱形定义，需证平行四边形ABCD有一组邻边相等）问题2：如图：由题图的条件，能证出一组邻边相等吗？问题3、说出你的证明思路 学生回忆学生讨论交流学生思考、讨论 为下面定理的证明作了铺垫导入新课通过问题1、2的设置，定理的证明就迎刃而解了
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
2、定理：四边相等的四边形是菱形分析：引导学生先证明四边相等的四边形是平行四边形，再由定义有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证明。四、归纳菱形的判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形四边相等的四边形是菱形五、巩固练习：已知如图：在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是角平分线，点E、F分别在AB、AD上，且AE＝AC，EF∥BC，求证：四边形CDEF是菱形分析：要证明四边形CDEF是菱形，就先要证明AD垂直CE，再证明四边形CDEF是平行四边形六、动手实践：将一张长方形纸片既快又准确的剪出一个菱形，说说你是怎么剪的？依据是什么？用直尺和圆规作一个菱形，说说你作图的理由七、小结：通过本节课的学习，你有哪些收获？你能与同学们交流吗？八、布置作业：同步导学中的相应内容。 学生写出已知、求证学生思考、证明学生动手操作、讨论学生小结 补充这个例题主要是为了帮助学生灵活运用菱形的判定定理回顾所学知识，起到巩固作用
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总 课 题 第一章 图形与证明（二） 总 课 时
课 题 §1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判断(5) 课型 新授
教学目标 1掌握平行四边形的判断定理，了解反证法的定义
2通过观察、归纳、推理，体会数学中所蕴涵的探索性和创造性，证明过程的严谨性和结论的确定性
教学重点 平行四边形的判断定理的证明
教学难点 选择适当的方法证明四边形是平行四边形
教具准备
教学过程 教 学 内 容
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
一情境创设 如图所示，天村有一口井呈四边形池塘，它的四个角，A、B、C、D处均有一棵大核桃树，田村准备开始挖池塘修建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持桃树不动，并要求扩建后的池塘形状是平行四边形，田村能实现这个愿望吗？二 旧知回顾：四边形是平行四边形的条件有哪些？方法一：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。方法三：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。方法四：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。方法五：对角线互相平分的四边形是平行四边形。用符号语言表示平行四边形的五种判断方法，如图所示请填好下表： 学生思考讨论如何解决这个问题学生回顾总结 通过实际问题的设计，激发学生的学习兴趣.并揭示本节的课题系统的回顾判定平四边形的条件
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判定方法 条件结论1四边形ABCD对角线AC、BD相交于点OAB∥CD，AD∥BC四边形ABCD是平行四边形2AB=CD，AD=BC3AB∥CD，AB=CD4∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD5OA=OC，OB=OD三．新知探究 1．平行四边形的证明定理 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形已知：在四边ABCD形中，AB∥CD，AB=CD求证：四边ABCD是平行四边形。 思考与表达怎么想 怎么写 要证四边形ABCD是平行四边形 已知ABCD，因而 只需证BC∥AD 连接AC 只需证∠ACB=∠CAD 只需证△ABC≌△CDA定理: 对角线互相平分的四边形是平行四边形 学生填空学生分析命题画出图形写出已知求证学生根据推理过程写出证明过程学生讨论运用什么方法证明 学生能够准确熟练的将文字语言转化为符号语言学生能够比较想与写的过程的互逆性,避免书写过程中两者发生混淆.运用不同的方法体现选择发的重要性
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拓展延伸:如果OA=OC,OB＜OD,那么四边形ABCD不是平行四边形这个结论成立吗 如果成立,你能证明吗 假设四边形ABCD是平行四边形,那么OA=OC,OB=OD,这与条件OB＜OD矛盾，所以四边形ABCD不是平行四边形。 结论：这种不是从已知条件出发直接证明命题的结论成立，而是提出了与矛盾相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出了矛盾的结果，从而证明了命题的结论一定成立。例题：已知平行四边形ABCD中，AＥ⊥BD，CＦ⊥BD，垂足分别为Ｅ、Ｆ，求证：四边形AＥCＦ是平行四边形 A B ＥＦD C教师引导学生分析，找出证明平行四边形的方法四. 课堂巩固 课本P20T1、2五．小结 1 回顾情境创设中问题是如何解决的？ 2．谈谈学习这课的感受？六．作业 课本P25T1、2 学生讨论，引导学生如何寻找证明思路学生思考证明思路 反证法学生刚刚接触，还不太熟悉还需多多引导巩固平行四边形的判定方法，一题多解拓展学生思维
B
A
C
D
B
C
D
A
C
A
B
O
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总 课 题 第一章 图形与证明(二) 总 课 时
课 题 §1.3平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判断（8） 课型 新授
教学目标 1能证明四边形是正方形，能运用正方形的判定来做相关的计算题
2通过探索对正方形的判断的过程，体现了数学中的类比和化归思想
教学重点 正方形的判断方法
教学难点 如何选择适当的方法来证明四边形是正方形
教具准备
教学过程 教 学 内 容
一．情境创设请你制作一个正方形，你有那些方法？用圆规和直尺作正方形，或者把长方形纸片通过折纸剪出一个正方形纸片，说说你作图和剪纸的理由。比如：用圆规和直尺作正方形把长方形纸片通过折纸剪出一个正方形纸片的方法也不唯一二新知探究 如何确定一个四边形是正方形？ （回顾）正方形的定义：有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫正方形。师问：正方形在什么前提下定义的？ 作正方形的方法不唯一，学生展开讨论学生思考所作图形，所剪图形为什么是正方形学生思考 引导学生回顾正方形的判断条件 引导学生学生思考如何证明四边形是正方形
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
师再问：包含哪两层意思？ 学生思考下面问题：①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？④四条边都相等的四边形是正方形吗？为什么？⑤四个角相等的四边形是正方形吗？为什么？三例题讲解 例6：已知：E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，AF、BG、CH、DE分别两两相交于点A′、B′、C′、D′。 求证：四边形A′B′C′D′是正方形 A H D 1 D′ E A′ C′ G B′ B 2 3 F C 分析:本题可分解为下列三个问题来思考(1)猜一猜四边形A′B′C′D′是怎样的平行四边形？ (2)正方形是特殊的矩形,特殊的菱形,矩形、菱形是特殊的平行四边形形 (3)具备什么条件的矩形是正方形 证明的思路：先证∠A′B′C′=∠B′C′D′=∠ C′D′A′=90°可知四边形A′B′C′D′再证A′B′= A′C′，可证四边形A′B′C′D′是正方形。 拓展与延伸：在上图中，若点E、F、G、H分别在正方形的各边上，且AE=BF=CG=DH，则四边形A′B′C′D′是正方形吗？请证明结论。 学生回答学生在问题的思考和讨论中，交流和比较自己的证明思路，不断提高逻辑思维水平。 活跃学生的思维本题的设计引导学生经过猜想，分层次探索证明的思路，证明猜想的结论，实质是感受合情推理和演绎推理的相辅相存、密不可分的，并为学生的思考创造条件的
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
四． 知识应用 课本P25T1、2五． 你今天收获了什么？ 1．你能谈一谈什么样的四边形是正方形？（判定一个四边形为正方形的基本方法：定义法，矩形菱形法）（1）矩形、菱形法：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形（一组邻边相等的矩形）；或者先判定四边形是菱形，再判定这个菱形也是矩形（有一个角是直角的菱形）。（2）定义法：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，这是直接利用定义来判定的2.正方形的性质较多，在证题时要灵活应七．作业 补充习题 师生共同完成 活跃学生的思维
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总 课 题 第一章 图形与证明(二) 总 课 时
课 题 §1.2直角三角形的全等判定（2） 课型 新授
教学目标 1．进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。
2．能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，来解决问题。
3．进一步培养学生推理论证能力。
教学重点 直角三角形全等判定的应用。
教学难点 反证法思想的渗透。
教具准备 投影仪
教学过程 教 学 内 容
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
创设情境问题，导入新课。如图，在三条公路围成的三角形区域中，建一加油站，要使加油站到三条公路的距离都相等，则加油站应建在何处？你设计的理由是什么，你能告诉同学们吗？探索新知定理证明（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。已知：如图，OC是的平分线，点P在OC上，，垂足分别为D、E。求证：PD=PE。 思考与表达怎么想 怎么写 要证PD=PE， 只需证 已知 只需证证明过程由学生板演完成（略）回顾：引导学生评价黑板上证明过程。 学生思考解决问题的方法学生动手画图，并尝试根据图形写出已知和求证。学生根据前面的分析，书写证明过程。 创设情境，帮助学生回顾旧知，激发学生的求知欲。通过画图、写出已知、求证，让学生了解定理证明的一般步骤。引导学生如何寻找证明思路。
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
反思：上述定理的条件、结论各什么？如将其条件、结论互换一下，还正确吗？说说你的看法。（2）在一个角的内部，且到角的两边相等的点，在这个角的平分线上。a.你能仿照上例，依据本题的条件与结论，画出图形，写出已知和求证吗？请大家试一试。 b.根据学生的叙述板书已知和求证，并画出图形。 c.学生板演证明过程。三、应用与拓展1、如图，的角平线AD、BE相交于点O。（1）点O到的各边距离相等吗？（2）引例中的加油站的位置如何确定，你知道了吗？说说你方法。（3）点O在的平分线上吗？如何证明？（4）归纳：（定理）三角形3条角平分线交于一点。2、如果一个点到角的两边的距离不相等，那么这个点不在这个角的平分线上。你认为这个结论正确吗？如果正确，你能证明它吗？思路点拨：假设这个点在角的平分线上，那么它到这个角的两边的距离相等。这与已知条件矛盾。所以……教者展示证明过程。巩固练习教材P11页练习小结与作业小结：本节你学到了什么？作业：课本P12页第3、4题《同步导学》相应部分的内容 学生判断命题的正确性。学生自己画图写出已知、求证。学生完成证明过程。学生归纳学生思考判断命题的正确性；并寻求证明思路。学生练习学生回顾本课所学的内容 进一步巩固定理（命题）证明的一般步骤。照应开头的情境问题，初步体会应用所学知识解决问题的乐趣。让学生初步了解反证法的证明步骤。
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总 课 题 第一章 图形与证明（二） 总 课 时
课 题 §1.3等腰三角形的性质和判定 课型 新授
教学目标 1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。
2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。
教学重点 了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式
教学难点 能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理
教具准备 小刀、刻度尺
教学过程 教 学 内 容
教师活动内容、方式一、知识回顾：在初中数学八（下）的第十一章中，运用基本事实和已经证明的定理证明了一些结论，同样我们还可以证明有关三角形和四边形的其它结论。首先同学们和我一起来回忆上学期证明（一）学过的基本事实和已证明的定理。二、情景创设：1、 什么是等腰三角形？2、 你会画一个等腰三角形吗？并把你画的等腰三角形裁剪下来。3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？4、这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实和已证的定理出发，对它们进行证明？二、新知探究：（一）定理：等腰三角形的两个底角相等 （教师引导学生⑴回顾命题的证明步骤、⑵探讨证明的思路。） 教师引导学生考虑其它证明方法 （二）拓展与延伸想一想：在上图中，线段AD还具有怎样的性质？为什么？由此你能得到什么结论？应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论，这一结论通常简述为“等腰三角形三线合一” 学生活动方式师生共同参与 学生动手操作、讨论回忆旧知回顾命题的证明步骤：1画图；2写出已知求证；3写出证明过程；并画图、写出已知、求证，进行交流。学生口述分析思路。学生板演证明过程，师生共同评价解答。 设计意图让学生回顾旧知以便运用在上面“合作学习”和以往的知识基础上，引导学生回顾等腰三角形的概念与性质已知求证的书写是学生学习的一大难点，所以在讲解时不可忽视。拓宽思路，活跃思维
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
定理 等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。随堂练习：1、如果等腰三角形的周长为12，一边长为5，那么另两边长分别为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。2、如果等腰三角形有一个角等于50°，那么另两个角为＿＿＿＿＿。3、如果等腰三角形ABC中∠A=120°，AD平分∠CAB那么∠CAD= ＿＿＿＿。归纳小结：通过上面两个问题的证明，我们得到了等腰三角形的性质定理。定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，（简称：＿＿＿＿＿＿）定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ，（简称：＿＿＿＿＿＿）你能写出上面两个定理的符号语言吗？（请完成下表）文字语言图形符号语言等边对等角在△ABC中∵＿＿＿＿＿＿＿＿＿；∴＿＿＿＿＿＿＿＿＿。等腰三角形三线合一在△ABC中，AB＝AC（1）∵∠BAD＝∠CAD∴＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。（2）∵BD＝CD∴＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。（3）∵AD⊥BC∴＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。（三）思考与探索如何证明“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是正确的？要求：（1）写出它的逆命题：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。（2）画出图形，写出已知、求证，并进行证明。通过上面的证明，我们又得到了等腰三角形的判定定理：＿＿ 例1. 已知：∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC． 求证：AB=AC． 学生思考、讨论并分析思路。学生思考、讨论学生在老师的引导下表述学生小结上述内容学生先独立思考，然后老师再作指导，最后由学生书写证明过程学生归纳 及时复习巩固 讲解时需重点强调判定与性质的区别与联系。
教师活动内容、方式 学生活动方式 设计意图
E A D教师引导学生分析已知条件及得出的结论，找出与求证的关系。 B C分 要证 AB=AC 书析 只要证∠B=∠C 写过 由 AD∥BC得∠B=∠EAD 过程 ∠C=∠CAD 程 只要证∠ EAD=∠CAD拓展与延伸：如果将已知 AD∥BC与 结论AB=AC换一下，结果成立吗？三、课堂小结学生交流本节课的收获四、课堂作业：教材P8页，第2、3、4题 学生板演证明过程，师生共同评价解答。学生先独立思考，再交流，再由学生写出证明过程回顾归纳知识要点 教会学生分析的方法并初步掌握证明的书写
A
B
C
D
