浙江省绍兴市2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）

绍兴市2022-2023学年高二下学期期末考试
数学
注意事项：
1.请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上。本卷答案必须做在答卷相应位置上。
2.全卷满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若，则（ ）
A. B. C. D.2
3.已知单位向量与互相垂直，且，记与的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
4.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.据此，地震震级每提高1级，释放出的能量是提高前的（参考数据：）（ ）
A.9.46倍 B.31.60倍 C.36.40倍 D.47.40倍
5.甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名至第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，5人的名次排列可能的情况有（ ）
A.18种 B.36种 C.54种 D.120种
6.若，则（ ）
A. B. C. D.
7.在棱长为10的正方体中，是侧面内的点，到和的距离分别为3和2，过点且与平行的直线交正方体表面于另一点，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数的定义域为，且，为奇函数，，则（ ）
A. B. C.0 D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9.甲、乙两名同学近五次数学测试成绩数据分别为：
甲 68 71 72 72 82
乙 66 70 72 78 79
则（ ）
A.甲组数据的极差小于乙组数据的极差
B.甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数
C.甲组数据的方差小于乙组数据的方差
D.甲组数据的第60百分位数等于乙组数据的第60百分位数
10.函数的最小正周期为，若，且是图象的一条对称轴，则（ ）
A. B.是函数的一个零点
C.在有2个极值点 D.直线是一条切线
11.在正三棱台中，是的中心，，，，则（ ）
A.
B.正三棱台的体积为
C.正三棱台的外接球的表面积为
D.侧面所在平面截正三棱台外接球所得截面的面积为
12.已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知，则的最小值是______.
14.的展开式中的系数是______.（用数字作答）
15.甲乙两个盒子中装有大小、形状相同的红球和白球，甲盒中有5个红球，2个白球；乙盒中有4个红球，3个白球.先从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，则从乙盒中取出的是红球的概率为______.
16.已知正的顶点在平面内，点，均在平面外（位于平面的同侧），且在平面上的射影分别为，，，设的中点为，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围是______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
已知，，.
（1）若，求；
（2）设，求的单调递增区间.
18.（本题满分12分）
中国电动汽车重大科技项目的研发开始于2001年，经过一系列的科技攻关以及奥运、世博、“十城千辆”示范平台等应用拉动，中国电动汽车建立起了具有自主知识产权的全产业链技术体系.汽车工业协会的最新数据显示，2022年中国电动汽车销量达491万辆，是2010年的400多倍.某人打算购买一款国产电动汽车，调查了100辆该款车的续航里程，得到频率分布表如下：
续航里程（单位：km） 频数 频率
3 0.03
10 0.10
30 0.30
35 0.35
15 0.15
7 0.07
（1）在图中作出频率分布直方图；
（2）根据（1）中作出的频率分布直方图估计该款车续航里程的众数与平均数.
（同一组中的数据以该组区间的中间值为代表）
19.（本题满分12分）
在中，内角，，所对的边分别是，，，且.
（1）求；
（2）若，，且为边的中点，求.
20.（本题满分12分）
如图，在正四棱锥中，，过点向平面作垂线，垂足为.
（1）求证：；
（2）若，求二面角的余弦值.
21.（本题满分12分）
为加快绍兴制造强市建设，《中国制造2025绍兴实施方案》指出，到2025年，制造业重点领域全面实现智能化，基本实现“绍兴制造”向“绍兴智造”转型升级.某试点企业对现有的生产设备进行技术升级改造，为监测改造效果，近期每天从生产线上随机抽取10件产品，并分析某项质量指标.根据长期经验，可以认为新设备正常状态下生产的产品质量指标服从正态分布.
（1）记表示一天内抽取的10件产品质量指标在之外的件数，求；
附：若随机变量服从正态分布，则，
（2）下面是一天内抽取的10件产品的质量指标：
9.85 10.12 10.02 9.89 10.21
10.26 9.91 10.13 10.17 9.94
若质量指标大于10.10被认定为一等品，现从以上10件产品中随机抽取4件，记为这4件产品中一等品的件数，求的分布列和数学期望.
22.（本题满分12分）
已知函数有两个极值点，.
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：存在实数使得.
绍兴市2022-2023学年高二下学期期末考试数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D B C A C B
二、多项选择题（每小题全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分，共20分）
题号 9 10 11 12
答案 BC AD ACD ABD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.3 14.5 15. 16.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.）
17.（本题满分10分）
解：（1）因为，所以，，则.……4分
（2）因为，……6分
所以，，……8分
即，.
所以的单调递增区间为，.……10分
18.（本题满分12分）
解：（Ⅰ）
……4分
（2）众数：275……8分
平均数：……10分
.……12分
19.（本题满分12分）
解：（1）由，可得，
所以，……2分所以或.……4分
法一：（2）因为，所以，由余弦定理，可得或.……6分
因为，所以，即，……8分
①当时，，即；……10分
②当时，，即.……12分
法二：（2）因为，所以，由余弦定理，可得或.……6分
又因为，解得，……8分
①当时，，即；……10分
②当时，，即.……12分
20.（本题满分12分）
解：（1）由题意知平面，所以，
又，，所以平面，……2分
所以，又，所以.……4分
（2）因为平面，所以，所以，
所以，作交于点，所以为中点，
又由（1）知平面，所以，又，所以平面.……6分
过作交于点，连接，所以即为二面角的平面角.……8分
因为，，所以，……10分
所以.所以二面角的余弦值为.……12分
（2）法二：
因为平面，所以，所以，所以，
作交于点，所以为中点，
又由（1）知平面，所以，又，所以平面.
以为坐标原点，，分别为，轴建立空间直角坐标系，
所以，，，所以，.……7分
设平面的方向量为，
所以，即，令，则，，
所以，又.……10分
设二面角的平面角为，所以.……12分
21.（本题满分12分）
解：（1），……4分
（2）由题意知，，
，，，
所以分布列为
0 1 2 3 4
……9分
所以.……12分
22.（本题满分12分）
解：（1）因为有两个极值点，，所以有两个解，，
则方程有两个解，.……2分
令，则，所以当时，，当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，，且，所以只需.……5分
（2）设，则，所以，即，
所以，，所以.……8分
设，，一方面，因为，
所以有，所以. ……10分
另一方面，，
由零点存在性定理可知，存在，使得. ……12分