2022-2023学年北京市海淀区高二（下）开学考试数学试卷(含解析）

北京市海淀区2022-2023学年高二（下）开学考试数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 当时，复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 垂直于向量，并且经过点的直线方程为( )
A. B. C. D.
3. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则( )
A. B. C. D. 或
4. 已知抛物线上的点到其焦点的距离是，那么实数的值为( )
A. B. C. D.
5. 在平行六面体中，点满足若，，，则下列向量中与相等的是( )
A. B.
C. D.
6. 已知直线：，：，则“”是“直线与相交”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 已知斜四棱柱的各棱长均为，，，平面平面，则异面直线与所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8. 已知，异于坐标原点是圆与坐标轴的两个交点，则下列点中，使得为钝角三角形的是( )
A. B. C. D.
9. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，平行于直线的直线交椭圆于、两点，若线段的中点坐标为，为椭圆上任意一点，的最大值为，则椭圆的长轴长为( )
A. B. C. D.
10. 如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，为正方体表面上的动点．下列叙述正确的是( )
A. 当点在侧面上运动时，直线与平面所成角的最大值为
B. 当点为棱的中点时，平面
C. 当点在棱上时，点到平面的距离的最小值为
D. 当点时，满足平面的点共有个
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共20分）
11. 已知复数满足，则
12. 已知直线：，直线：若，则实数 ．
13. 已知双曲线的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为，请写出双曲线的一个离心率
14. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，以为圆心且过椭圆左顶点的圆与直线相切为椭圆上一点，为的内心，且，则的值为 ．
15. 数学家笛卡儿研究了许多优美的曲线，如笛卡儿叶形线在平面直角坐标系中的方程为当时，给出下列四个结论：
曲线不经过第三象限；
曲线关于直线轴对称；
对任意，曲线与直线一定有公共点；
对任意，曲线与直线一定有公共点．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
已知直线：与直线：交于点，点关于坐标原点的对称点为，点在直线上，点在直线上．
当时，求点的坐标；
当四边形为菱形时，求的值．
17. 本小题分
已知抛物线，满足下列三个条件中的一个：抛物线上一动点到焦点的距离比到直线的距离大点到焦点与到准线的距离之和等于该抛物线被直线所截得弦长为请选择其中一个条件解答下列问题．
求抛物线的标准方程
为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，直线的斜率为，直线的斜率为，当时，求的面积的最小值．
18. 本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，是等腰三角形，且；在梯形中，，，，，．
求证：面；
求二面角的余弦值；
请问棱上是否存在点到面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
19. 本小题分
已知椭圆的短轴长为，是椭圆上一点．
求椭圆的方程；
过点为常数，且的直线与椭圆交于不同的两点，，与轴相交于点，已知，，试问是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.
【解析】计算可得，
因为，所以，
故复数在复平面内的对应点位于第二象限，故选 ．
2.
【解析】直线垂直于向量，
直线的斜率为．
又直线经过点，
直线的方程为：，化为，故选A．
3.
【解析】因为，，则，即，
因此，．故选：．
4.
【解析】由抛物线方程知：抛物线焦点为，准线为，
由抛物线定义知：，解得：，故选：．
5.
【解析】平行六面体中，点满足若，，，
所以．故选：．
6.
【解析】：，
则的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
当时，，故直线与相交，充分性成立，
当直线与相交，则，即，必要性不成立，
故“”是“直线与相交”的充分而不必要条件，故A正确．故选：．
7.
【解析】，
或其补角是异面直线与所成的角，
，，
在菱形中，，
，
，由余弦定理求得，
又，平面平面，
平面平面，平面，
平面，又平面，
，
在中，．故选：．
8.
【解析】对于圆，
令，解得，；
令，解得，．
不妨取，，
可得直线的方程：，即．
圆心满足直线的方程，
下列点中，使得为钝角三角形，则点必须在的内部．
经过验证，在上，点在的外部，只有点在圆的内部，
故选：．
9.
【解析】设，，的中点，
，，两式相减可得，
即，即，
，，
的最大值为，，，
则椭圆的长轴长为，故选：．
10.
【解析】对于，假设直线与平面所成角为，即平面，
因为平面，所以，由正方体的结构，显然不成立，故假设错误，A错误；
对于，取中点，易得平面即平面，令上底面中心为，连接，
显然，但与平面不平行，所以与平面不平行，B错误；
对于，考虑四面体，，，，
所以，所以，
设点到平面的距离为，由等体积法，，所以，
所以，因为点在棱上，当点位于点时，三角形的底边上的高线最小，又为定值，即三角形的面积此时最小，最小为，所以的最小值为，C正确；
对于，如图，取中点，中点，连接，
易得，，又，与为平面内两相交直线，所以平面，
将平面向下平移得到平面，平面经过与的靠近下方的四等分点与，
此时平面经过点，且平面，故点只能位于正方体表面与平面的交线上，
设交线为，为一长方形边界，
因为平面，平面，所以，
以线段为直径作球，则点位于球的表面，球心为线段中点，球的半径为，
易得，球的表面与交线的交点共两个，一个为正方形的中心，一个位于线段上，故满足条件的点只有一个，为正方形的中心，D错误．
故选：．

11.
【解析】，则．
12.
【解析】直线：，直线：，且，
，
，故答案为：．
13.或
【解析】由于双曲线的渐近线方程为，
可设双曲线的方程为，
当时，双曲线的离心率；
当时，双曲线的离心率．
故答案为：或
14.
【解析】设椭圆的右焦点，以为圆心且过椭圆左顶点的圆方程为与直线相切则，解得
设的内切圆半径为，
则，，
，
，
可得
，
解得：．

15.
【解析】当时，方程为，
当，时，，故第三象限内的点不可能在曲线上，正确；
将点代入曲线方程，得，故曲线关于直线对称，正确；
当，联立，其中，
将代入，得，即，则方程组无解，
故曲线与直线无公共点，错误；
联立，可得有解，
设，
当时，则，
在单调递增，
单调递减，值域为，所以存在成立，
当时，成立；
当时，，单调递增，
，，
所以，成立，
所以曲线与直线一定有公共点，故选项正确．
故答案为：．

16.解：当时，直线：，又直线：，
可得为，为；
联立，可得，
设，又四边形为菱形，
，且，又在直线：上，
，解得，
的值为．
17.解：选抛物线上一动点到焦点的距离比到直线的距离大，
可得抛物线上一动点到焦点的距离与到直线的距离相等，
所以直线为抛物线的准线方程，可得，即，
所以抛物线的方程为
选点到焦点与到准线的距离之和等于，
由，可得，即有，
解得，
所以抛物线的方程为
选该抛物线被直线所截得弦长为．
由消去，可得，
，
设弦的端点的横坐标分别为，，
则，，
所以，
解得，
所以抛物线的方程为；
设
因为与抛物线相交于、
所以将代消去得：，
设、
由题意可知，
所以
所以
所以的面积当且仅当时取得
所以的面积的最小值为．

18.解：证明：，平面，平面，
平面．
在梯形中，，，，，，
故BC，
平面平面，是等腰三角形，且，
由面面垂直的性质可得到平面的距离即为到的距离，易得为．
以为原点，以，，及平面过的垂线为坐标轴建立空间坐标系，
如图所示：
，，，，
，，，
设平面的法向量为，
平面的法向量为，
则
令，可得，，
．
由图形可知二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为．
假设棱上存在点到面的距离为，
设，
，，
点到平面的距离，，
棱上存在点到面的距离为，．

19.解：因为椭圆的短轴长为，所以．
又是椭圆上一点，
所以，解得，
所以椭圆的方程为．
由题可知，直线的斜率一定存在，
可设的方程为，，，则，
，，
，
联立方程组
整理得，
则，
，．
因为，，
所以，，
则
，
故为定值，且定值为．