上海市虹口区2022-2023学年高二下学期期末统考数学试卷（含答案）

虹口区2022学年第二学期高二年级数学区统考
2023.6
一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．11题、12题分A、B组题）
1．若直线与直线互相垂直，则实数的值为_________．
2．现有4个医疗小组和4个需要援助的国家，若每个医疗小组只去一个国家，且4个医疗小组去的国家各不相同，则不同的分配方法共有_________种．
3．已知是正方体棱的中点，则直线与平面所成的角的大小等于_________．
4．若，则等于_________．
5．若，则正整数的值等于_________．
6．棱长都是3的三棱锥的高等于_________．
7．已知平面直角坐标系中的三点，若直线过点且与直线平行，则的方程为_________．
8．如图，在三棱锥中，平面，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数有_________个．
9．从四棱锥的5个顶点中任选4个不同的点,则这四点能够构成不同三棱锥的个数是_________．(结果用数字作答)。
10．已知为抛物线上一个动点,为圆上一个动点,那么点
到点的距离与点到直线的距离之和的最小值是_________．
11．（A组题）已知是等边三角形，分别是边和的中点．若椭圆以为焦点，且经过，则椭圆的离心率等于_________．
（B组题）若椭圆的离心率，则实数等于_________．
12．（A组题）水平放置的等边三角形边长为,动点位于该平面上方,三棱锥的体积为,且三棱锥的外接球球心到底面的距离为2,则动点的轨迹周长为_________．
（B组题）已知矩形的边长，若以直线为旋转轴，将此矩形旋转一周，则所得到的旋转体的表面积等于_________．
二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分．16小题分A、B组题）
13．已知平面平面，．若线段与线段的长度相等，那么这两条线段所在的直线的位置关系是（ ）
A.平行 B.相交 C.异面 D.平行、相交或异面
14．已知圆，直线
．若圆心在直线上，则圆的半径等于（ ）
A. B.1 C. D.3
15．已知，函数在区间上严格增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C.. D.
16．（A组题）点分别是双曲线的左、右焦点,点在双曲线上,则
的内切圆半径的取值范围是( )
A. B. C. D.
（B组题）双曲线的两条渐近线的夹角等于（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题满分52分）
17．（本题满分8分．第（1）小题3分，第（2）小题5分．）
若：
（1）当时,求的值;
（2）求的值.
18．（本题满分10分．第（1）小题4分，第（2）小题6分．）
亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）．假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）．一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求．已知圆锥高为1.5米，底面半径为2.5米，圆柱高为3米，底面半径为2米．
（1）求几何体的体积；
（2）如图2，设为圆柱底面半圆弧的三等分点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的大小，并判断该亭子是否满足建筑要求．
19．（本题满分10分．第（1）小题4分，第（2）小题6分．）
已知椭圆的左、右焦点为，点是椭圆的上顶点，经过的直线交椭圆于两个不同的点．
（1）求点到直线的距离；
（2）若直线的斜率为，且，求实数的值．
20．（本题12分．第（2）小题分A、B组题．第（1）小题4分，第（2）小题8分）
如图所示的几何体中，四边形为正方形，．
（1）求证：平面；
（2）（A组题）若，平面平面．求平面与平面所成锐二面角的大小．
（B组题）若，平面平面．若为中点，求证：．
21．（本题12分．每小题都分A、B组题．第（1）小题4分，第（2）小题8分）．
如图，已知等腰直角三角形的两直角边的边长为4，过边的等分点作边的垂线，过边的等分点和顶点作直线，记与的交点为．若以点为坐标原点，所在的直线为轴（点在轴的正半轴上），建立平面直角坐标系．
（1）（A组题）证明：对任意的正整数，点都在抛物线上；
（B组题）当时，求点的坐标；
（2）（A组题）已知是抛物线在第一象限的点，过点与抛物线相切的直线与轴的交点为．过点的直线与直线垂直，且与拋物线交于另一点．记的面积为，试用解析法将表示为的函数，并求的最小值．
（B组题）已知是抛物线在第一象限的点，过点与抛物线相切的直线与轴的交点为．过点的直线与直线垂直，与抛物线交于另一点，且与轴交于点．若为等腰直角三角形，求的面积．
参考答案
一、填空题
1.; 2.24; 3.; 4.1; 5.10; 6.; 7.; 8.4; 9.4; 10.4； 11.A组： B组： 12.A组： B组：
12.A组：【答案】
【解析】设三棱锥的高为,因为三棱锥的体积为,
所以,解得,
设的外接圆的半径为,则,
因为三棱锥的外接球球心到底面的距离为2,
所以外接球的半径为因为点到面的距离为4,
所以动点的轨迹是一个截面圆的圆周,且球心到该截面的距离为,
所以截面圆的半径为,所以动点的轨迹长度为.
二、选择题
13.D 14.A 15.B 16.A组：A;B组：B
16.A组：【答案】
【解析】如图所示:,设内切圆与轴的切点是点,与内切圆的切点分别为,由双曲线的定义可得
由圆的切线长定理知,,故,即,
设内切圆的圆心横坐标为,内切圆半径,则点的横坐标为,
故,
双曲线的渐近线的方程为
的内切圆半径的取值范围
B组：【答案】
【解析】双曲线的两条渐近线的方程为,由直线的斜率为,可得倾斜角为,的斜率为,可得倾斜角为,所以两条渐近线的夹角的大小为. 故选:.
三、解答题
17.（1） （2）2
18.（1） (2)
19.（1） （2）
20.（1）见解析 （2）A组： （2）B组：见解析
20.【解析】（1）∵,∴平面
（2）A组：【答案】
【解析】∵是等边三角形，以中点为原点,分别为轴、轴
平面的法向量，取平面的法向量
（2）B组：建系计算
21.A组：【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）由题知：，∴
（2），，，
，联立得，
设，与轴交于
令，，
时，
B组：【答案】（1）；（2）4
【解析】（1）时，，∴
（2），，，
，，
∵是等腰直角三角形，∴