北师大版九年级数学上册试题 1.3正方形的性质与判定同步练习（含答案）

1.3正方形的性质与判定同步练习
第一课时
一、选择题
1．如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
2．矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角
3．如图，四边形ABCD中，AD=DC，，，若四边形ABCD面积为，则DE的长为（ ）
A． B． C． D．
4．若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（ ）
A．4 B．2 C． D．
5．如图，在正方形中，，E为对角线上与A，C不重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．下列结论：
①；②；③；④的最小值为3．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ）
A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4
7．如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE，交对角线BD于点F，连接CF，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
8．如图，正方形ABCD的边长为7，在各边上顺次截取，则四边形EFGH的面积为（ ）．
A．20 B．25 C．30 D．35
9．如图，正方形ABCD的边长为2，H在CD的延长线上，四边形CEFH也为正方形，则△DBF的面积为( )
A．4 B． C． D．2
二、填空题
1．2300多年前，我国古代名著《墨经》中有这样的记载：“圆，一中同长也．”因此，古代就知道把车轮设计成圆形，如果车轮是正方形，将边长为1米的正方形滚动一周，那么正方形中心的轨迹长为_________米．
2．边长为的正方形的对角线的长度为______．
3．将边长为3的正方形ABCD绕点C顺时针方向旋转45°到FECG的位置（如图），EF与AD相交于点H，则HD的长为___．（结果保留根号）
4.如图，E是正方形ABCD的对角线BD上一点，连接CE，过点E作，垂足为点F．若，，则正方形ABCD的面积为___．
5．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是___________．
6．如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠CEB和∠CFD都是直角且点C，E，F三点共线，BE＝2，则阴影部分的面积是 _____．
7．如图所示,大正方形ABCD内有一小正方形DEFG,对角线DF长为6 cm,已知小正方形DEFG向东北方向平移3 cm就得到正方形D'E'BG',则大正方形ABCD的面积为____.
三、解答题
1．如图，大正方形与小正方形的面积之差是，求阴影部分的面积．
2．如图，在正方形中，点在边的延长线上，点在边的延长线上，且，连接和相交于点．
求证： ．
3．如图 ，已知点 C 为线段 AB 上一点，四边形ACMF、BCNE 是两个正方形．求证：AN=BM
4．如图，E是正方形的边上任意一点（不与点A，B重合），按逆时针方向旋转后恰好能够与重合．
(1)旋转中心是________，旋转角为________；
(2)请你判断的形状，并说明理由．
5．在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
（1）求证：△BEC≌△DEC；
（2）延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．
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第二课时
一、选择题
1．已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A．当时，四边形是正方形
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是菱形
D．当时，四边形是矩形
2．下列命题中，真命题是（ ）
A．有两个内角是的四边形是矩形 B．一组邻边互相垂直的菱形是正方形
C．对角线相互垂直的梯形是等腰梯形D．两组内角相等的四边形是平行四边形
3．已知四边形是平行四边形，，相交于点O，下列结论错误的是（ ）
A．，
B．当时，四边形是菱形
C．当时，四边形是矩形
D．当且时，四边形是正方形
4．如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（ ）
A．添加“”，则四边形是菱形
B．添加“”，则四边形是矩形
C．添加“”，则四边形是菱形
5D．添加“”，则四边形是正方形
5．如图，在菱形中，对角线，相交于点，只需添加一个条件，即可证明菱形是正方形，这个条件可以是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1．如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件：________，可使它成为正方形．
2．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB=AD；②AB=BD，且AB⊥BD；③OB=OC，且OB⊥OC；④AB=AD，且AC=BD．其中正确的序号是_____．
3．在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B，直线与x轴，y轴分别交于C，D其中，M，N均为线段AB上任意两点，P，Q为线段CD上任意两点，记点M，N，P，Q组成的四边形为图形G．
下列四个结论中，
① 对于任意的k，都存在无数个图形G是平行四边形；
② 对于任意的k，都存在无数个图形G是矩形；
③ 存在唯一的k，使得此时有一个图形G是菱形；
④ 至少存在一个k，使得此时有一个图形G是正方形
所有正确结论的序号是__________．
三、解答题
1．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB的中点，DE//AC，CE//AD，连接BE，CD．求证：四边形CDBE是正方形．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，E是CD的中点，过点C作CF∥AB，交AE的延长线于点F，连接BF．
（1）求证：四边形BDCF是菱形；
（2）直接写出当Rt△ABC满足什么条件时，四边形BDCF是正方形．
3．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
4．已知：如图，平行四边形ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．
（1）求证：；
（2）连接AC，DE，当 四边形ACED是正方形？请说明理由．
第一课时答案
一、选择题
C．B．C.B．C．B．C．BD．
二、填空题
1.．
2.2．
3.3﹣3．
4.196．
5.22.5°．
6.．
7. cm2
三、解答题
1.
解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，
故阴影部分的面积是：AE BC+AE BD＝AE（BC+BD）
＝（AB﹣BE）（BC+BD）
＝（a﹣b）（a+b）
＝（a2﹣b2）
＝×50
＝25．
故阴影部分的面积为25．
2．
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵CE=DF，
∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，
在△BCF和△ABE中，
∴（SAS），
∴AE=BF．
3.∵四边形ACMF和四边形CBEN都是正方形，
∴AC=CM， NC =BC，∠ACN=∠BCM=90°，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN=BM．
4.解：由题意得：旋转中心是点D；旋转角为∠ADC，
在正方形ABCD中，∠ADC=90°，
∴旋转角为90°；
故答案为：点D；90°
（2）
解：根据题意得：，，
∴是等腰直角三角形．
5.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ECB=∠ECD=45°．
∴在△BEC与△DEC中，
∴△BEC≌△DEC（SAS）．
（2）解：∵△BEC≌△DEC，
∴∠BEC=∠DEC=∠BED，
∵∠BED=120°，
∴∠BEC=60°=∠AEF．
∴∠EFD=60°+45°=105°．
第二课时答案
一、选择题
A．B.B．B．A
二、填空题
1.
2.①③④．
3.①②④
三、解答题
1.证明：∵DE∥AC，CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴DE=AC，CE=AD，
∵AD=DB，
∴CE=DB，
∵CE∥DB，
∴四边形CDBE是平行四边形，
∵AC=BC，
∴BC=DE，
∴平行四边形DBEC是矩形，
∵∠ACB=90°，
∴CD=AD=DB，
∴矩形CDBE是正方形．
∴四边形CDBE是正方形．
2.解：（1）∵CF∥AB
∴∠CFA＝∠BAF，∠ADC＝∠FCD，且CE＝DE
∴△CEF≌△DEA（AAS）
∴CF＝AD，
∵CD是Rt△ABC的中线
∴CD＝AD＝BD
∴CF＝BD，且CF∥AB
∴四边形BDCF是平行四边形，且CD＝BD
∴四边形BDCF是菱形
（2）当AC＝BC时，四边形BDCF是正方形，
理由如下：∵AC＝BC，CD是中线
∴CD⊥AB，且四边形BDCF是菱形
∴四边形BDCF是正方形．
3.证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB；
（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形，
∵∠ADB=∠CDB，
∴∠ADB=45°
∴PM=MD，
∴四边形MPND是正方形．
4.解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BE
∴∠ADO＝∠ECO
又∵O是CD的中点
∴OD＝OC
在△AOD和△EOC中
∴△AOD ≌ △EOC （ASA）
（2）45°
由（1）知，OA=OE,OC=OD
∴四边形ACED是平行四边形
∴AD＝CE
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC
∴BC ＝CE
当∠B＝∠AEB＝45°时，
且
∴四边形ACED是正方形．