2023年中国科技大学强基计划数学试题（含解析）

2023年中国科学技术大学强基计划数学试题及参考答案
6月11日 考试时长90分
本次考试一共8道试题，4道填空题，4道解答题，满分100分.
一、填空题（20分）
1. 二元函数的值域为 .
2. 设复数满足，且，则的最小值为 .
3. 使得展开式中的系数最大，则正整数的值为 .
4. 已知四条抛物线，，，相邻两条都相切，则它们围成的封闭图形面积为 .
二、解答题（每题20分，共80分）
1. 已知实系数函数，当时，恒成立，证明：的三个根全部为实数.
2. 已知正整数数列，满足，且是等差数列，是等比数列.数列满足：，若存在正整数满足，，求数列的通项公式.
3. 一个箱子里有个黑球和个白球（），从箱子中不放回的每次抽一个球，直到取完. 记为在整个取球过程中，黑球个数始终小于白球个数的概率，求：
（1）的概率值；
（2）的表达式.
4. 已知，求证：
参考答案
一、填空题
1. 解析：原式可以看作点和的距离平方，数形结合得到，
2. 解析：设（），那么由已知可得，
以及，其中 则
，
当且仅当时取等号.
3. 解析：系数为，.
∴，整理得，即，，
∴当时系数最大.
4. 解析：方法一：对称性+阿基米德三角形
根据对称性知，与相切，易得，切点为，
阿基米德三角形的面积为，故切线与抛物线围成的图形面积为，则其总面积为
方法二：微积分
根据对称性知，与相切，易得，
切点为，
如图，设，
粉色和黄色面积之和为.
，则，故总面积为.
二、解答题
1. 解析：（夹逼法）当时，，得
设，有
下证明
当时，，此时单调递增.
因此，有两个实数解
综上，原方程的三个解均为实数，证毕.
解析：设的公差为，的公比为，则，，
∴，∴，
由题可得，两式做差可得
由于，故，
时，，舍去
时，或
时， ，不成立.
时， ， 不成立.
时， ， 不成立.
其余的取值无解
若
解析：古典概型+二维数列通项
根据古典概型模型，设符合要求的事件数为，则可知
下计算，有条件（i），
（ii）易知当时，，（iii）且，可得下表
mn 0 1 2 3 4 5 6
0 × 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 2 3 4 5
2 0 0 0 2 5 9 14
3 0 0 0 0 5 14 28
4 0 0 0 0 0 14 42
5 0 0 0 0 0 0 42
易得以下通项
，，，
观察发现，
，，
总结得.
带入条件（i）（ii）（iii）均成立
故.
综上得.
解析：数列缩放
，故即证：，
整理得.
根据全方和不等式得
下证，移项得
由于，故恒成立，因此.
即得证.