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22.3实践与探索
【学习目标】
（一）知识教学点：使学生会用列一元二次方程的方法解有关：数字问题、面积问题、增长率问题、储蓄问题、经营问题等．
（二）能力训练点：进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，以及学生近似数运算的能力。培养用数学的意识．
【知识归纳】
列一元二次方程解应用题与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即
1．审题；
2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种；
3．找等量关系列方程；
4．解方程；
5．判断根是否符合题意；
6．作出正确的答案．
【基础知识】
列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题，然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决，要正确地列出方程，只有在透彻理解题意的基础上，才能恰当地设出未知数，准确地找出已知量与未知量之间的等量关系，进而达到求解的目的．
列一元二次方程解应用题，这类问题主要有：数字问题、面积问题、增长率问题、储蓄问题、经营问题等．
【例题精讲】
例1：一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5；把十位上的数字与个位上数字互换后再乘以原数得736，求原来两位数．
剖析：设原来两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为(5－x)，原来的两位数就是：
10(5－x)＋x．
新的两位数个位上的数字为(5－x)，十位上的数字为x，新的两位数就是：10x＋(5－x)．
于是根据题意可列出方程：［10（5－x）＋x］［10x＋(5－x)］＝736．
解：设原来两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为(5－x)．根据题意，得
［10（5－x）＋x］［10x＋(5－x)］＝736．
整理，得x2－5x＋6＝0，解得x1＝2，x2＝3．
当x＝2时，5－x＝5－2＝3；
当x＝3时，5－x＝5－3＝2．
答：原来的两位数是32或23．
说明：解决这类问题，关键是写出表示这个数的代数式，若一个两位数为，则这个两位数可表示为10a＋b；若一个三位数为，则这个三位数可表示为100a＋10b＋C．
例2：（1）据2001年中国环境状况公报，我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356万平方千米．其中风蚀造成的水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多达26万平方千米．问水蚀与风蚀造成的水土流失面积各多少平方千米？
（2）某省重视治理水土流失问题，2001年治理了水土流失400平方千米，该省逐年加大治理力度，计划以后两年每年治理水土流失面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2003年底，使这三年治理的水土流失面积达到1324平方千米．求该省今明两年治理水土流
失面积每年增长的百分数．
剖析：此题主要考查运用一元二次方程解有关增长率的问题，设这两年平均每年增长的百分数为x，那么2002年治理水土流失面积为400(1＋x)平方千米，2003年治理水土流失面积为400(1＋x)2平方千米．
解：（1）设水蚀造成的水土流失面积为x万平方千米，则风蚀造成的水土流失面积为(x＋26)万平方千米，则
x＋(x＋26)＝356，解之，得x＝165．
答：水蚀与风蚀造成的水土流失面积分别为165万平方千米和191万平方千米．
(2)设这两年治理水土流失面积每年增长的百分数为x，则400＋400(1＋x)＋400(1＋x) 2＝1324
整理，得100x2＋300x－31＝0．
解之，得x1＝0．1，x2＝－3．1．
x＝－3．1不合题意，所以只能取x＝0．1＝10％．
答：平均每年的增长的百分数为10％?
说明：有关增长率的问题，往往要用到公式：M＝a(1＋x)n，这里a表示增长的基数，x表示每次的增长率，n表示增长的次数，M表示增长n次后的量；这个公式也同样适用于降低率的问题，只不过这时的增长率为负，即M＝a(1－x)n，其中x为降低率．
例3:如图12—1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽
剖析：设路宽为x米，那么两条纵路所占的面积为2·x·20＝40x（米2），一条横路所占的面积为32x(米2)．
纵路与横路所占的面积都包括两个小正方形ABCD、EFGH的面积，所以三条路所占耕地面积应当是(40x＋32x－2x2)米2，根据题意可列出方程
32×20－（40x＋32x－2x2）＝570．
解：设道路宽为x米，根据题意，得
32×20－（40x＋32x－2x2）＝570．
整理，得x2－36x＋35＝0．
解这个方程，得x1＝1，x2＝35．
x2＝35不合题意，所以只能取x1＝1．
答：道路宽为1米．
说明：本题的分析中，若把所求三条路平移到矩形耕地边上(如图12—2)，就更易发现等量关系列出方程．
如前所设，知矩形MNPQ的长MN＝(32－2x)米，宽NP＝(20－x)米，则矩形MNPQ的面积为：(32－2x)(20－x)．而由题意可知矩形MNPQ的面积为570平方米．进而列出方程(32－2x)(20－x)＝570，思路清晰，简单明了．
例4:从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数？
剖析：第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了．若设每次倒出x升，则第一次倒出纯酒精x升，第二次倒出纯酒精（·x）升．根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数．
解：设第一次倒出的纯酒精为x升，第二次倒出的混合液中含纯酒精·x升，则20－x－·x＝5．
整理，得x2－40x＋300＝0，解之，得x1＝10，x2＝30，x＝30不合题意，舍去．所以只取x＝10．
答:每次倒出的升数为10升．
说明：上述解法中是以“纯量”列方程求解，还可以从以下角度列方程求解，即第一次倒出纯酒精x升，倒出的纯酒精占容器内纯酒精的，第二次用水加满后再次倒出x升溶液中的纯酒精占容器中纯酒精的，余下的纯酒精仍是容器内纯酒精的1－．故此时的纯酒精为20（1－）2，则20(1－)2＝5．
例5：王明同学将100元第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的50元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后可得本金利息共63元，求第一次存款时的年利率．
解：设第一次存款时的年利率为x，
根据题意，得［100（1＋x）－50］（1＋x）＝63．
整理，得50x2＋125x－13＝0．
解得x1＝，x2＝－．
∵x2＝－不合题意，∴只有取x＝＝10％．
答：第一次存款时的年利率为10％．
说明：存款问题是近年中考题中的常见题型，解决这类问题首先要理解“本金”“利息”“利率”“本息和”等有关的概念，再找清问题之间的相等关系．
【同步达标练习】
1．选择题
(1)某面粉厂一月份生产面粉500吨，三月份生产面粉720吨，若二、三月份每月平均增长的百分率为x，则有( )
A．500（1＋x2）＝720 B．500（1＋x）2＝720
C．500（1＋2x）＝720 D．720（1＋x）2＝500
(2)某商品原价为100元，现有下列四种调价方案，其中0＜n＜m＜100，则调价后该商品价格最高的方案是( )
A．先涨价m％，再降价n％ B．先涨价n％，再降价m％
C．先涨价％，再降价％ D．先涨价％，再降价％
(3)某文化商场同时卖出两台电子琴，每台均卖960元，以成本计算，其中一台盈利20％，另一台亏本20％，则本次出售中商场( )
A．不赔不赚 B．赚160元 C．赔80元 D．赚80元
(4)两个连续奇数的积是63，则这两个数是( )
A．7，9 B．－9，－7 C．7，9或－9，－7 D．－7，9或－9，7
(5)市政府计划两年内将市区人均住房面积由现在的10平方米提高到14．4平方米，设平均每年人均住房面积的增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．10(1＋x)＝14.4 B．10(1＋2x)＝14.4
C．10(1＋x)2＝14.4 D．10＋10(1＋x)＋10(1＋x)2＝14.4
(6)某商品连续两次降价10％后的价格为a元，则该商品的原价为（ ）
A．元 B．1.21a元 C．元 D．0.81a元
(7)用篱笆围成一个长方形的花坛，其中一面靠墙，且在与墙平行的一边开了一个一米宽的门，如果墙长15米，现有能围成32米长的篱笆，花坛的面积需要130平方米，求花坛的长和宽．如果设垂直于墙的边长为x千米，可列出的方程为（ ）
A．x(32＋1－2x)＝130 B．x·＝130
C．x·＝130 D．x(32－1－2x)＝130
(8)某工厂计划在长24米、宽20米的空地中间划出一块32平方米的长方形建一住房，并且使四周剩余的地一样宽．那么这个宽度应该是（ ）
A．14米 B．8米 C．14米或8米 D．以上答案都不对
2．填空题
（1）若两个数的和是8，平方的和等于34，则这两个数分别为_______．
（2）某种股票连续两次涨价10％后的价格为22元，则该种股票的原来价格为_______元（精确到0．1元）．
（3）某商业集团1月份的利润是2500万元，3月份的利润达到3000万元，则这两个月的利润平均增长的百分率是_______．
（4）某制药厂生产一种药品，由于连续两次降低成本，使成本比原来降低了36％，则平均每次降低成本的百分率是_______．
（5）以大约与水平线成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离s（单位：米）与标枪出手的v（单位：米/秒）之间大致有如下关系：s＝＋2．若抛出52米，则标枪
出手的速度约为_______．（精确到0．1米/秒，其中＝3．162）
(6)直角三角形两直角边的比是8：15，而斜边的长等于6.8 cm，则这个直角三角形的面积等于_______cm2．
3．某种产品现在每件成本100元，计划经过两年把每件成本降为49元，求每年平均降低的百分数．
4．某钢铁厂一月份某种钢产量为5000吨，第一季度共产钢18200吨，求平均每月增长的百分率是多少
5．将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为多少 这时应进货多少个
6．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元购物，剩下的1000元及应得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后得本金及利息共1320元．求这种存款方式的年利率．
7．在容积为25升的容器里盛满纯酒精，从中倒出若干升后，加水注满容器，再倒出同样的升数，然后又用水注满，这时容器里溶液所含酒精是16升．求每次倒出的溶液的升数．
8．一个分数的分子加13，分母减13，得到的分数恰为原分数的倒数．若原分数的分子、分母都加了13的结果与原数之积为，求原分数．(只列方程)
9．三个连续整数两两相乘后相加得431，求这三个数．
10．两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32 cm2，求大小两个正方形的边长．
11．某工厂今年元月生产桌椅1000套，二月份因春节放假，减产10％，三月份、四月
份产量逐月上升，四月份产量达到1296套．求三、四月份的平均增长率．
12．某公司向银行贷款500万元生产一种产品，签定的合同上的约定两年到期后一次性还本付息，利息为本金的8％，该产品投放市场后，由于适销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈余180万元，若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，求这个百分数．
13．如图12—3，要建一个面积为的长方形鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠墙，墙长为a m，另外三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为50 m．
（1）求鸡场的长与宽各为多少？
（2）题中的墙长a m对题目的解起怎样的作用？
14．某开发区为改善居民的住房条件，每年都新建一批住房，人均住房面积逐年增加（人均住房面积＝，单位： 平方米/人）．该开发区1997年至1999年，每年年底人口总数和人均住房面积的统计结果分别如图12—4，请根据两图中所提供的信息解答下面的问题：
（1）该区1998年和1999年两年中，哪一年比上一年增加的住房面积多？多增加多少万平方米
答：_______年比上一年增加的住房面积多，多增加__________万平方米．
（2）由于经济的发展，预计到2001年底，该区人口总数将比1999年年底增加2万，为使到2001年年底该区人均住房面积达到11平方米/人，试求2000年和2001年两年该区
住房总面积的年平均增长率应达到百分之几？
15.如图，中，，AB=6厘米，BC=8厘米，点从点开始，在边上以1厘米/秒的速度向移动，点从点开始，在边上以2厘米/秒的速度向点移动.如果点，分别从点，同时出发，经几秒钟，使的面积等于？
拓展：如果把BC边的长度改为7cm，对本题的结果有何影响？
7．设每次倒出x升溶液，则
25－x－x＝16
∴x＝5．
答：每次倒出5升溶液．
8．设原分数为，则
9．设这三个连续整数为x－1，x，x＋1，则
（x－1）x＋x（x＋1）＋（x＋1）（x－1）＝431，
∴这三个数为11，12，13或－11，－12，－13．
10．16 cm，12 cm．
11．设三、四月份平均月增长率为x，则
1000（1－10％）（1＋x）2＝1296，
解之，得x＝0．2(x＝－2．2不合题意，舍去)
12．设这个百分数为x，则
500（1＋x）2－(500＋500×8％)＝180，
解之，得x＝0．2(x＝－2．2不合题意舍去)?
13．（1）30m，10m或20m，15m?
(2)当a＜20时，此题无解；
当20≤a＜30时，此题有一解，即可建一个长为20 m、宽为15 m的鸡场；
当a≥30时，此题有两解，即长、宽分别为20 m，15 m或30 m，10 m?
14．(1)1999，7．4
(2)10％
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复习引入
1．直角三角形的面积公式是什么？一般三角形的面积公式是什么呢？
2．正方形的面积公式是什么呢？
长方形的面积公式又是什么？
3．梯形的面积公式是什么？
4．菱形的面积公式是什么？
5．平行四边形的面积公式是什么？
6．圆的面积公式是什么？
复习：列方程解应用题有哪些步骤
对于这些步骤，应通过解各种类型的问题，才能深刻体会与真正掌握列方程解应用题。
上一节，我们学习了解决“平均增长(下降)率问题”，现在，我们要学习解决“面积、体积问题”。
实际问题与一元二次方程
——面积、体积问题
复习引入
新知探究
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度
27
21
分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7
解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm
依题意得
解得
故上下边衬的宽度为:
左右边衬的宽度为:
)
,
(
2
3
3
2
舍去
不合题意
-
=
x
新知探究
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度
27
21
分析:这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7
新知探究
解方程得
(以下请自己完成)
方程的哪个根合乎实际意义
为什么
解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得
新知探究
例1. 学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃.
（1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案. （2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.
例题精讲
解: (1)
方案1：长为 米，宽为7米;
方案2：长为16米，宽为4米;
方案3：长=宽=8米;
注：本题方案有无数种
（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面
积不能增加2平方米.
由题意得长方形长与宽的和为16米.设长方形花圃的长为x米，则宽为（16-x）米.
例题精讲
x(16-x)=63+2，
x2-16x+65=0，
∴此方程无解.
∴在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2平方米
例题精讲
1、用20cm长的铁丝能否折成面积为30cm2的矩形,若能够,求它的长与宽;若不能,请说明理由.
解:设这个矩形的长为xcm,则宽为 cm,
即
x2-10x+30=0
这里a=1,b=－10,c=30,
∴此方程无解.
∴用20cm长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形.
巩固练习
例2：某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少 使图(1),(2)的草坪面积为540米2.
(1)
(2)
例题精讲
(1)
解:(1)如图，设道路的宽为x米，则
化简得，
其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去.
∴图(1)中道路的宽为1米.
例题精讲
例题精讲
则横向的路面面积为 ，
分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等于540米2。
解法一、 如图，设道路的宽为x米，
32x 米2
纵向的路面面积为 。
20x 米2
注意：这两个面积的重叠部分是 x2米2
所列的方程是不是
？
图中的道路面积不是
米2。
(2)
例题精讲
而是从其中减去重叠部分，即应是
所以正确的方程是：
化简得，
其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去.取x=2时，道路总面积为：
=100 (米2)
草坪面积=
= 540（米2）
答：所求道路的宽为2米。
m2
(
)
32 20
x+ x-x2
(
)
32 2 20 2 22
+ -
×
×
(
)
32 20 100
-
×
例题精讲
解:设道路宽为x米，
化简得，
其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去.
答:道路的宽为1米.
则
1.如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米
课堂练习
横向路面:
如图，设路宽为x米，
32x米2
纵向路面面积为:
20x米2
草坪矩形的长（横向）为:
草坪矩形的宽（纵向:）为：
相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2
(20-x)米
（32-x)米
即
化简得：
再往下的计算、格式书写与解法1相同。
化简得，
其中x=-20.5应舍去
答:小路的宽为3米.
解:设小路宽为x米，则
2.如图,长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积为246m2,求小路的宽度.
课堂练习
例3. 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为S米2，
（1）求S与x的函数关系式;
（2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是多少米？
实践应用
解:设苗圃的一边长为xm,则
化简得，
答:应围成一个边长为9米的正方形.
1.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为81m2,应该怎么设计
实践应用
【解析】(1)设宽AB为x米，
则BC为(24-3x)米，这时面积
S=x(24-3x)=-3x2+24x
(2)由条件-3x2+24x=45
化为：x2-8x+15=0解得x1=5，x2=3
∵0＜24-3x≤10得14/3≤x＜8
∴x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米
实践应用
例4．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为（x+2）m，渠底为（x+0.4）m，那么，根据梯形的面积公式便可建模．
实践应用
解：（1）设渠深为xm
则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m
依题意，得：
整理，得：5x2+6x-8=0
解得：x1=0.8m，x2=-2（不合题意,舍去）
∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m．
答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．
实践应用
1.如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为【 】
A．400cm2 B．500cm2
C．600cm2 D．4000cm2
A
达标检测
2. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是【 】
A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0
C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0
B
80cm
x
x
x
x
50cm
达标检测
3.如图，面积为30m2的正方形的四个角是面积为2m2的小正方形，用计算器求得a的长为（保留3个有效数字）【 】
A．2.70m B．2.66m C．2.65m D．2.60m
C
a
达标检测
4．如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______．
达标检测
5、围绕长方形公园的栅栏长280m.已知该公园的面积为4800m2.求这个公园的长与宽.
1 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答．
2 这里要特别注意:在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．
课堂小结
