浙江省湖州市吴兴高级中学2022-2023学年下学期高二年级6月教学质量检测数学试题（含解析）

吴兴高级中学2022-2023学年下学期高二年级6月教学质量检测
数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知直线过点，且其方向向量，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
2. 已知，，是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是( )
A. B. C. D.
3. “巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制，它与五度相生律、纯律并称三大律制“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于而早在世纪，明代朱载最早用精湛的数学方法近似计算出这个比例，为这个理论的发展做出了重要贡献若第一个单音的频率为，则第四个单音的频率为( )
A. B. C. D.
4. 已知，均为非零实数，则“直线与圆相交”是“点在圆外”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 第十四届全国人民代表大会第一次会议于年月日在北京召开，月日各代表团分组审议政府工作报告某媒体名记者到甲、乙、丙个小组进行宣传报道，每个小组至少一名记者，则记者被安排到甲组的概率为( )
A. B. C. D.
6. 有一散点图如图所示，现拟合模型为直线，在个数据中去掉后，重新拟合模型为直线给出下列说法：
相关系数变大；决定系数变大；残差平方和变小；解释变量与预报变量的相关性变强．其中正确说法的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
7. 设，，，是半径为的球的球面上的四个点设，则不可能等于( )
A. B. C. D.
8. 设椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上不与顶点重合的一点，记是的内心直线交轴于点，，且，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数的图象经过点，且在上有且仅有个零点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 在上有或个极大值点
C. 将的图象向右平移个单位长度，可得的图象
D. 存在，使在区间上为单调函数
10. 一批产品中有个正品，个次品．现从中任意取出件产品，记事件：“个产品中至少有一个正品”，事件：“个产品中至少有一个次品”，事件：“个产品中有正品也有次品”，则下列结论正确的是( )
A. 事件与事件为互斥事件 B. 事件与事件是相互独立事件
C. D.
11. 设双曲线，直线与双曲线的右支交于点，，则下列说法中正确的是( )
A. 双曲线离心率的最小值为
B. 离心率最小时双曲线的渐近线方程为
C. 若直线同时与两条渐近线交于点，，则
D. 若，点处的切线与两条渐近线交于点，，则为定值
12. 关于函数，，下列说法正确的是( )
A. 当时，在处的切线方程为；
B. 当时，存在唯一极小值点，且；
C. 对任意，在上均存在零点；
D. 存在，在上有且只有两个零点．
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13. 在的展开式中，含项的系数为 ．
14. 定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”设，则在上的“新驻点”为 ．
15. 在数列中，，；等比数列的前项和为当时，使得恒成立的实数的最小值是 ．
16. 若偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，在平行六面体中，，分别在和上，且，．
证明：，，，四点共面
若，求的值．
18. 本小题分已知等差数列和等比数列满足，．
求数列，的通项公式；
设数列中不在数列中的项按从小到大的顺序构成数列，记数列的前项和为，求．
19. 本小题分如图，四棱锥中，底面底面为等腰梯形，，，
．
求证：平面平面
若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．
20. 本小题分为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图若本次数学成绩在分及以上视为优秀，将一个星期有天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于天视为“不经常整理”已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占．
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理
不经常整理
合计
求图中的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数
根据图、图中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关
用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取名学生，再从这名学生中随机抽取人进行座谈。求这名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数的分布列和数学期望．
附：．
21. 本小题分已知点在抛物线的准线上，过点作直线与抛物线交于，两点，斜率为的直线与抛物线交于，两点．
求抛物线的标准方程
求证：直线过定点
(ⅱ)记(ⅰ)中的定点为，设的面积为，且满足，求直线的斜率的取值范围．
22. 本小题分已知函数．
当时，求函数的单调区间
若有个零点，，，其中．
求实数的取值范围
求证：．
答案和解析
1.
【解析】因为直线的一个方向向量为，
所以，
则直线的方程为 ，即．故选：．
2.
【解析】已知向量，，
因为，，，
所以向量，分别与向量，，共面，均不可作为空间的一个基底．
故选A．
3.
【解析】设第个单音的频率为，
因为每一个单音与前一个单音频率比为，
所以，
又，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
则，故选B．
4.
【解析】直线与圆相交，
点在圆外，
显然前者推不出后者，而后者可推出前者，故是必要不充分条件．故选B．
5.
【解析】名记者到甲、乙、丙个小组进行宣传报道，每个小组至少一名记者，共有种不同情况，记者被安排到甲组有种，所求概率为
6.
【解析】散点图如图所示，在个数据中去掉后，与的相关性加强．并且是正相关，
所以变大，变大，残差平方和变小，相关性变强．所以四个命题都正确．故选：．
7.
【解析】，，，是以为球心，半径为的球面上的四点，，
、、、四点共面，为等边三角形，．
当点和、、中其一重合时得到
极限状态，不能重合，
当平面时，，
，不可能．故选：．
8.
【解析】如图所示，设，，，设圆与，，轴相切于点，，，
，，，
，
即，
，
，
，
又，，即，可得，
代入椭圆方程可得
，
由可知，
可得，故选B
9.
【解析】因为，，所以，在上有且仅有个零点，令，得，则解得，故A错；在上有或个极大值点，故B对；易知错；当时，函数在区间上递增，可知对，综上选BD．
10.
【解析】对于：当事件和都出现一正一次时，他们就不是互斥事件，错；
对于：由题意可知事件是事件、事件的一个子事件，故B错；
对于：有题意可知，故AB同时发生的概率就等于发生的概率，故C正确；
对于：事件包含：一正一次，两正两种情况，事件只有一正一次一种情况，
故，故D正确．故选：．
11.
【解析】由双曲线的方程可得
所以双曲线的离心率
当且仅当，即时取等号，所以不正确
离心率最小时，，这时双曲线的标准方程为：，此时渐近线方程为，所以B正确
双曲线的两条渐近线可以看作一条退化的二次曲线，方程为
设直线过点，倾斜角为，则直线的方程为
，其中参数为直线上的动点到定点的距离，
将上述，代入双曲线方程，若整理后得到的关于的二次方程为，
那么将，代入渐近线方程，整理后得到的关于的二次方程则为，
由解得、对应的、，及的中点所对应的参数
由解得、对应的、，及的中点所对应的参数
可见的中点与的中点重合，故 AC，故C正确；
若，设，则，
对两边便于求导可得：，，
切线方程为，整理得，
切线方程也可表示为，
综合可得过的切线方程为，与渐近线联立解得：
，故F，将其代入渐近线中，
得，
，故选项D正确，故选：．
12.
【解析】对于，当时，
，，
，，
在处的切线方程为，即，故A正确；
对于，当时，
，，
，令，得，
由与图象可得存在唯一，使得，即，
且当，，单调递减，
当，，单调递增，
存在唯一极小值点，
且，，
，故B正确；
对于，，令，当时，
分离参数可得，
设，，
令，解得，，
作出的图象，
当时，取极小值，也是上的最小值为，
当时，取极大值，也是上的最大值为，
由图像可知当时，在上没有零点，故C错误，
当时，在上有两个零点，故D正确．
综上，正确的是．
故选ABD．

13.
【解析】的展开式的通项为，
令，得，
则的系数为．
故答案为：．
14.
【解析】根据题意，，其导数，
若，即，则有，
又由，则，
即在上的“新驻点”为．故答案为：．
15.
【解析】
【分析】
本题考查数列的函数特征、数列的递推关系 、等比数列的通项公式 以及等比数列的求和，属于中档题．
由题设可得可得，，对，恒成立，即恒成立．
即，令，由即可求解；
【解答】
解：由已知易知是以为首项，以为公差的等差数列，
，
当时，，
是等比数列
也适合，即
对，恒成立，即恒成立．
，令
由得，又
；
即，
．故最小值为．
16.
【解析】偶函数在上单调递减，且，
在上单调递增，且，
由，得 ，
即 ，解得或，
所以不等式的解集是 ．
故答案为 ．
17.证明因为
，
所以，，，四点共面．
解：因为
，所以，，，
所以．

18.解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，可得，
则，，
所以，，；
由知
即是数列中的第项，
设数列的前项和为，数列的前项和为，
因为，
所以数列的前项是由数列的前项去掉数列的前项后构成的，
所以．
19.解：作，垂足为，则，，
由余弦定理可得，
解得，
．
底面，平面
，
又
平面．
又平面
平面平面．
由知，可以以点为坐标原点建系如图．
，．，，，，
设，，．
平面的法向量．
则
可取
则，，
，是中点，
，，
，是中点，
同理可求平面的法向量，即平面的法向量．
，，即为所求平面夹角的余弦值．
20.解：由题意可得，
解得，
学生期中考试数学成绩的上四分位数为：分；
数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，经常整理错题的有人，不经常错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人，则
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理
不经常整理
合计
零假设为数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
根据列联表中的数据，经计算得到可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于；
由分层抽样知，随机抽取的名学生中经常整理错题的有人，不经常整理错题的有人，
则，，，
经常整理错题的名学生中，恰抽到人记为事件，
参与座谈的名学生中经常整理错题且数学成绩优秀的恰好抽到人记为事件
则，，，，
，，
，
，
，
故的分布列如下：
则可得的数学期望为．
21.解：由题意可知的准线方程为：，
即，所以．
抛物线的标准方程为．
设，，，
由题意知直线不与轴垂直，故直线方程可设为：，
与抛物线方程联立，化简得：，
根据根与系数的关系可得：，
即，
，直线方程为，
整理得：．
又因为，即．
将代入化简可得：，
故直线方程可化为．
故直线过定点．
由知与轴平行，直线的斜率一定存在，
，，
由知
所以，
又因为，
即，化简得或
又由，得：且，
即或
综上所述，
22.解：当时，，，
则在恒成立，所以在单调递增，
故的单调递增区间为，无单调递减区间．
，
，，则除外还有两个零点．
，令，
当时，在恒成立，则，所以在单调递
减，不满足，舍去
当时，要是除外还有两个零点，则不单调，
所以存在两个零点，所以，解得
当时，设的两个零点为，，则，，
所以当时，，，则单调递增
当时，，，则单调递减当时，
，，则单调递增又，所以，，
而，且，
，且，所以存在，，
使得，
即有个零点，，．
综上，实数的取值范围为
因为，
所以若，则，所以．
当时，先证明不等式恒成立，设，
则，所以函数在上单
调递增，于是，即当时，不等式恒成立．
由，可得，因为，
所以，即，两边同除以，
得，
所以