7.1复数的概念（第一课时） 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
人教版普通高中数学必修二
7.1 复数的概念
第一课时 数系的扩充与复数的概念
【学习目标】
1.了解引进复数的必要性,了解数系扩充的方法,通过方程的解认识复数.
2.理解复数的基本概念,理解复数的代数表示,掌握复数的分类,理解两个复数相等的充要条件.
知识点一 复数的有关概念
1.复数
（1） 定义:我们把形如 的数叫作复数,其中 叫作____________, 叫作复数的________, 叫作复数的________.
虚数单位
实部
虚部
（2） 表示方法:复数通常用_________表示,即_____________________.
字母

2.复数集
（1） 定义:____________所构成的集合叫作复数集.
全体复数
（2） 表示方法:通常用_____表示.

3.复数相等的充要条件
在复数集 中任取两个数 ， ，我们规定： 与 相等当且仅当________________.
且
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1） 复数 的实部是 ，虚部是 . ( )
×
[解析] 对于复数 （ ， ， 为虚数单位），其实部是 ，虚部是 .
（2） 任何两个复数都不能比较大小.( )
×
[解析] 当两个复数都是实数时，能比较大小.
（3） .( )
×
[解析] 两个虚数不能比较大小.
（4） 方程 无解.( )
×
[解析] 该方程在复数范围内有解.
2.若复数 ， 满足 ，则 的值为多少？
解：由题意得 ， ，则 .
知识点二 复数的分类
1.复数 可以分类如下：
复数
实数__________，
虚数__________（当 时为纯虚数）.


2.用图示法表示复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系，如图7-1-1所示.
图7-1-1
【诊断分析】 （1） 若复数 ，且 ，则 的值为_____.

（2） 用“ ”或“ ”填空： _____ _____ _____ _____ _____ .





[解析] 根据各数集的含义可知， .
1.数系逐步扩充的过程
数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，例如，
计数的需要 自然数（正整数和零）；
负数；
分数（分数集 循环小数集）；
无理数（无理数集 无限不循环小数集）；
复数.
2.自然数、整数、有理数、实数和复数,用图形表示包含关系如下:
3.虚数单位 是数学家想象出来的,由此可以得到复数集.实数恰可以看成是特殊的复数（虚部为零）,另外,由复数相等的充要条件可以知道复数由实部和虚部唯一确定.
4.注意分清复数分类中的条件：
设复数 ，则
① 为实数 ，② 为虚数 ，③ 为纯虚数 且 ，④ 且 .
5.复数相等的充要条件是求复数值和在复数集中解方程的重要依据，一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，如 与 不能比较大小.若两个复数能比较大小，则这两个复数必定都为实数.
探究点一 复数的概念
例1 （1） 下列说法中正确的是( )
A. B.若 ，则 是纯虚数
C.实数集是复数集的真子集 D.若 ，则
C
[解析] 在A中，两个虚数不能比较大小，故A错误；在B中，当 时， 是实数，故B错误；易知C正确；在D中，当 时， ,故D错误.故选
C.
（2） 写出下列复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.
， ， ， ， .
解： ， ， ， ， 的实部分别是4， ， ， ，虚部分别是0， ， ， ， 是实数， ， ， ， 是虚数，其中 是纯虚数.
变式 （多选题）对于复数 （ ， ， 为虚数单位），下列说法错误的是( )
A.若 ，则 为纯虚数 B.若 ，则 的虚部为2
C.若 ，则 为实数 D.
AB
[解析] 对于A，当 且 时， 为纯虚数，故A中说法错误；对于B, 若 ，则 的虚部为 ,故B中说法错误；易知C，D中说法正确.故选AB.
[素养小结]
（1）对于复数 ，只有当 ， 时， 才是 的实部， 才是 的虚部，且注意虚部不是 ，而是 .
（2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大组成部分.
探究点二 复数的相等及其应用
[探索].若 ， ， ，则 _____.
5
[解析] 因为 ，所以 ， ，所以 .
例2 （1） 已知 ， 是实数，且满足 ，则
_ ___， _____.

4
[解析] ， 是实数，且满足 ，∴由复数相等的充要条件得 解得
（2） 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值集合为________.

[解析] ， ， 或 .由 ，得 解得 ；由 ，得 解得 .∴实数 的取值集合为 .
变式.（1） 已知 , 均是实数,且满足 ,求 与 的值.
解：由复数相等的充要条件得 解得
（2） 已知 ，求实数 的值.
[答案] 由题意得 解得 或 所以 .
（3） 已知 ，求实数 的值.
[答案] 由题意得 解得 .
[素养小结]
（1）根据复数相等的充要条件，可将复数问题转化为实数问题，这是复数问题实数化思想的体现.
（2）如果两个复数都是实数，那么可以比较大小，否则是不能比较大小的.
探究点三 复数的分类应用
[探索].当 ， 满足什么条件时，复数 分别是实数、虚数、纯虚数？
解：当 时， 是实数；当 时， 是虚数；当 ， 时， 是纯虚数.
例3 已知 ，复数 .
（1） 当 满足什么条件时，复数 为实数？
解：要使 为实数，
只需 解得 .
（2） 当 满足什么条件时，复数 为虚数？
[答案] 要使 为虚数，
只需 解得 且 .
（3） 当 满足什么条件时，复数 为纯虚数？
[答案] 要使 为纯虚数，
只需 解得 或 .
变式 当实数 满足什么条件时：
（1） 复数 是实数？虚数？
解：若复数 是实数，则 , 或 .若复数 是虚数，则 ， 且 .
（2） 复数 是纯虚数？
[答案] 若复数 是纯虚数，则 且 .由 ，可得 或 ，当 时, 不存在，当 时, ， .
[素养小结]
复数分类问题的求解方法与步骤：
（1）化标准式：先看复数是否为 的形式，从而确定实部与虚部.
（2）定条件求解：根据所给条件列出实部和虚部满足的方程（不等式），求解即可.
特别关注：复数 为纯虚数的充要条件是 且 .
1.复数与充要条件
例1 “ ”是“复数 为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
B
[解析] 复数 为纯虚数 且 ,∴“ ”是“复数 为纯虚数”的必要不充分条件,故选B.
例2 若关于 的方程 有实根，求实数 的值.
解：设原方程的实根为 ，则 ，
所以 可得 或 .
2.复数与方程