广东省中山市华辰实验中学2023届高三上学期期中数学试题（含解析）

高三数学试卷
第I卷
一 单选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若为虚数单位，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是（ ）
A. B. C. D.
3.设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
4.已知等差数列满足，且数列是等比数列，若，则（ ）
A.2 B.4 C.8 D.16
5.已知函数，则的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，在长方形中，，点为线段上一动点，现将沿折起，使点在面内的射影在直线上，当点从运动到，则点所形成轨迹的长度为（ ）
A. B. C. D.
7.甲 乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为，方差为200，乙队体重的平均数为，方差为300，又已知甲 乙两队的队员人数之比为1：4，那么甲 乙两队全部队员的平均体重和方差分别是（ ）
A.65，280 B.68，280 C.65，296 D.68，296
8.已知直线，其中是公差为5的等差数列的第项.在直角中，，则面积的最小值为（ ）
A.2 B.1 C. D.
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.已知，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.若函数和的定义域为，且有意义，与都为上单调递增的奇函数，则（ ）
A.为偶函数
B.为上单调递增函数
C.为奇函数
D.为上单调递增函数
11.如图所示，B D为函数的图象与正六边形的两个公共点（点在轴上），正六边形与轴的一个交点为的图象与轴的交点为，其中正六边形关于坐标轴对称，且边长为，则下列结论中正确的是（ ）
A.函数的最小正周期为
B.函数的图象关于直线对称
C.函数的单调增区间为
D.
12.已知分别为双曲线的左 右焦点，，点为双曲线右支上一点，为的内心，若成立，则下列说法正确的有（ ）
A.可能为等腰三角形
B.双曲线的离心率
C.当轴时，
D.
第II卷
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）
13.已知向量不共线，若与共线，则实数的值为__________.
14.若双曲线的渐近线被圆所截的弦长为2，则的值为__________.
15.从正方体的顶点及其中心共9个点中任选4个点，则这4个点在同一个平面的概率为__________.
16.如图，线段，点在线段上，且为线段上一动点，点绕点旋转后与点绕点旋转后重合于点.设，的面积为.则的最大值为__________.
四 解答题：（本大题共6小题，共70分.解答时应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10分）在中，角的对边分别为，且，
（1）求角的大小；
（2）已知点满足，且，若，求.
18.（本小题12分）设为等差数列的前项和，其中，且，
（1）求常数的值，并写出的通项公式；
（2）设为数列的前项和，若对任意的，都有，求实数的取值范围.
19.（本小题12分）随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分.已知某市2021年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100分）作为样本，整理得到如下频数分布表：
笔试成
人数 5 15 35 30 10 5
（1）假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至少有1人笔试成绩为优秀的概率；
（2）由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩近似服从正态分布，其中近似为100名样本考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），，据此估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数（结果四舍五入精确到个位）；
（3）考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分.已知考生甲答对前两题的概率都是，答对最后一题的概率为，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分的分布列及数学期望.（参考数据：；若，则，.）
20.（本小题12分）如图1，在直角梯形中，，点为的中点，与交于点，将沿折起，使点到点的位置，且，如图2，
（1）求证：面面EGF；
（2）求面ABF与面ADF所成锐二面角的余弦值.
21.（本小题12分）已知椭圆的短轴长为，左顶点到右焦点的距离为3，
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）设直线与椭圆交于不同两点（不同于），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程.
22.（本小题12分）已知函数的导函数记为，，
（1）求函数切线斜率的最小值；
（2）设函数在处的切线方程为，若在的定义域内（除去）成立，则称为函数的“奇点”，试问函数是否存在“奇点”？若存在，请求出；若不存在，请说明理由.
高三期中考试（数学卷）答案
一 单选择题
1.解：对于集合：：由，解得.
故选：.
2.解：观察图形可知，即对应点，故选：.
3.【解析】选项和：若，则，又，所以平面内一定存在一条直线垂直平面，所以，所以选项A错误，选项C正确；选项B和D：若，则与可能平行，可能垂直，所以选项都错误.故选：.
4.解：由等差数列的性质可得，即有，解得（0舍去），即有，由等比数列的性质可得.故选：.
5.【解答】解：函数，则，因为是偶函数，故图象关于轴对称，则选项错误；由选项的图象可知，，
当时，，故选项错误，选项正确.故选：.
6.解：由题意，将沿折起，使平面平面，在平面内过点作，为垂足，由翻折的特征知，连接，故点的轨迹是以为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，
如图当与重合时，，
取为的中点，得到是正三角形.
故，其所对的弧长为，
故选C
7.【解答】由题意可知甲队的平均数为60，乙队体重的平均数为70，甲队队员在所有队员中所占权重为，乙队队员在所有队员中所占权重为，
则甲 乙两队全部队员的平均体重为，
甲 乙两队全部队员体重的方差为.故选：D.
8.解：如图，设，则.利用平行线间距离可求得，
则
则当时，△ABC面积最小值是2.
答案为
二 多项选择题
9.解：正确，
正确，
正确，
设，则在上为增函数，
错误.
故选：.
10.【解析】选项：由偶函数的定义直接得，，所以为偶函数，故正确；选项B：在上不一定是增函数，比如，，在上都是单调递增函数，但在上不是单调递增函数，故不正确；选项C：，所以为奇函数，故正确；选项D：因为函数定义域为，且有意义，由复合函数单调性的判断法则得，在上一定是增函数，故正确.故诜ACD.
11.因为正六边形的边长为，易知点，所以函数的最小正周期为
，故错误；由题意知，
由①可知：，则，
且函数在附近单调递增，，即，
因为，所以，故.
因为，故错误；
由可得：，
所以函数的单调增区间为，故正确：
，设点，则因为点为函数在y轴右侧第一个最高点可知：，即由题意可知：：.所以，故正确
故选
12.【答案】ABD
【解析】因为为双曲线右支上一点，所以，设其中，则
当时，是等腰三角形，即正确；因为，
所以，整理得，因为，所以，所以B正确；
当轴时，易知，此时，所以C错误；
设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，，
因为，所以，
解得，所以D正确；
三 填空题
13.【解析】设向量，则有共线，所以存在实数使得，
即，所以，解得.故答案为-4.
14.【解析】双曲线的渐近线方程为，取一条渐近线方程为，圆，圆心为，半径为，
圆心到渐近线的距离为.由弦长公式可得，
解得.
答案
15.如图，选正方体6个侧面上的顶点，共有6种共面的情况；
过中心的平面共有6个平面，每个平面含9个点中的5个，，
则共有种；所有可能情况有种，
所以这4个点在同一个平面的概率为.
故答案为：.
16.解：.在中，，
，解得.在中，设，由余弦定理可得，
当且仅当时，取得最大值，.故选：.
四 解答题
17.解：（1），
，
由，得，
即，
化简得，
解得或（舍），
.
（2），
①，
在中，由余弦定理知，，
，即②，
由①②，解得或，
又，
在中，由余弦定理知，，
.
18.解：（1），且时，，解得，
时，，解得，
数列为等差数列，，解得，
公差.
（2），
由恒成立，，即，
由，得，
可得实数的取值范围是.
19.【解析】（1）由已知，样本中笔试成绩不低于80分的考生共有15人，其中成绩优秀的10人.
故至少有1人笔试成绩为优秀的概率为.
（2）由表格中的数据可知，，
又，即，
，
由此可估计该市全体考生中笔试成绩不低于82.4的人数为人.
（3）考生甲的总得分的所有可能取值为，
则，
，
故的分布列为：
0 3 4 6 7 10
.
20.【解析】（1）在题图1中，由题意得，
所以，所以，所以，则.
故在题图2中，，又平面，
所以平面，又平面，所以平面平面.
（2）如图，以为原点，直线分别为轴，轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系.
由（1）易知，
，所以，
由可得，
则，
，
.设平面的法向量为，
则得
取，得，
所以为平面的一个法向量，设平面的法向量为，
则得
取，得，
所以为平面的一个法向量.
设平面与平面所成锐二面角的平面角为，
则，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
21.解：（1）设椭圆的焦距为，田已知，.
又，所以.
解得.故椭圆的方程为.
椭圆的离心率.
（2）当直线垂直于轴时，直线的斜率乘积为正，与已知矛盾.
故可设的方程为，代入，并整理得.
设，
则.
因为，由，
得.
整理得.
将式代入，得.
因为，化简得.
化简得，解得（此时恒成立），所以直线经过定点
又因为，所以的轨迹是以为直径的圆（除去点）.
故点的轨迹方程为.
22.解：（1），因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数切线斜率的最小值为0.
（2），
所以函数在点处的
切线方程为，
即，
所以，令，
显然
①当时，对一切成立，
所以在上单调递减，
所以时，，即时，，
所以此时不是奇点；
②当时，对一切成立，所以在上单调递减，
所以时，，即时，，
所以此时也不是奇点；
③当时，
对一切成立，所以在上单调递增，
所以当时，，当时，
，所以在的定义域内
（除去）成立，所以此时1是奇点.