2022-2023学年安徽省肥东县综合高中高二（下）期中数学试卷（PDF版含解析）

2022-2023学年安徽省肥东县综合高中高二（下）期中试卷
数学试题
一、单选题（本大题共 8小题，共 40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若函数 在 处导数为 ，则
等于( )
A. B. C. D.
2. 连镇高铁沿线共设连云港、淮安、扬州、镇江等 个客运站，则铁路部门需要准备种不
同的车票．( )
A. B. C. D.
3. 已知函数 为自然对数的底数 ，则 等于( )
A. B. C. D.
4. 设 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序为( )
A. B. C. D.
5. 设函数 ，已知 ， ， ， ，则 ( )
A. B. C. D.
6. 已知函数 ，其导函数 的图像如图所示 如
图四个选项中，可能表示函数 图像的是( )
A. B.
C. D.
7. 若 是 的切线，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 已知函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共 4小题，共 20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 关于函数 ，下列判断正确的是( )
A. 是 的极大值点
B. 函数 有且只有 个零点
C. 对 不等式 在 上恒成立
D. 对任意两个正实数 ， ，且 ，若 ，则
10. 甲乙丙等 人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则( )
A. 甲乙不相邻的不同排法有 种
B. 甲乙中间恰排一个人的不同排法有 种
C. 甲乙不排在两端的不同排法有 种
D. 甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有 种
11. 已知函数 的图像关于直线 对称，则( )
A. 函数 的图像关于点 对称
B. 函数 在 有且仅有 个极值点
C. 若 ，则 的最小值为
D. 若 ，则
12. 已知 为常数，函数 有两个极值点 ， ，则( )
A. 的取值范围是 B. 的取值范围是
C. D.
三、填空题（本大题共 4小题，共 20分）
13. 有 男 女共 名学生被分派去 ， ， 三个公司实习，每个公司至少 人，且 公司要且
只要 个女生，共有______ 种不同的分派方法 用数字作答
14. 已知函数 ， ，若 时， 恒成
立，则实数 的取值范围是______ ．
15. 若
，则 ______ ．
16. 函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若 ，且当
时， ，则不等式 的解集为______．
四、解答题（本大题共 6小题，共 70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题 分
已知函数 ．
求函数 在 处的切线方程；
求函数 在 上的最大值与最小值．
18. 本小题 分
已知数列 ， ， ，且 ， 是 与 的等差中项．
求数列 的通项公式；
若 ， ，求 的最大值．
19. 本小题 分
已知函数 在 时有极值 ．
求 ， 的值；
求函数 的单调区间与极值．
20. 本小题 分
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑
物要建造可使用 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 万元．该建筑物每年的能源
消耗费用 单位：万元 与隔热层厚度 单位： 满足关系： ，设
为隔热层建造费用与 年的能源消耗费用之和．
Ⅰ 求 的表达式；
Ⅱ 隔热层修建多厚时，总费用 达到最小，并求最小值．
21. 本小题 分
设 为实数，函数 ．
求函数 的单调区间；
当 时，直线 是曲线 的切线，求 的最小值．
22. 本小题 分
已知函数 其中 为自然对数的底数 ．
若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
设 ，证明： ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
故选： ．
2.【答案】
【解析】连镇高铁沿线共设连云港、淮安、扬州、镇江等 个客运站，
则铁路部门需要准备 种不同的车票．故选： ．
3.【答案】
【解析】因为 ，所以 ．
故选： ．
4.【答案】
【解析】设 ，则 ，
当 时，则 ， 单调递增，
当 时，则 ， 单调递减，
，
，即
，
．
故选： ．
先构造函数 ，再判断单调性，即可求解．
本题考查三个数大小的比较，其中构造函数再判断单调性是关键，属于中档题．
5.【答案】
【解析】由已知 ，
．
故选： ．
先求出函数 的导函数，再代入已知条件计算 即可．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
6.【答案】
【解析】由图象得当 时， ，且随着 的增加，导数值先增加后减少
在 上单调递增，
且根据导数的几何意义得函数 图象切线的斜率自左向右先增大后减小，故 B正确．故选： ．
7.【答案】
【解析】设点 是函数 图象上任意一点， ，
则 ， ，
所以过点 的切线方程为 ，
即 ， ， ，
，令 ，则 ，
在区间 上， ， 单调递减；
在区间 上， ， 单调递增．
所以 的最小值为 ，又当 时， ，
所以， 的取值范围为 ．故选： ．
8.【答案】
【解析】已知 ，
令 ，
可得 ，
所以 ，
不妨设 ，函数定义域为 ，
不妨设 ，函数定义域为 ，
可得 ，函数 单调递增，
当 时， ；当 时， ，
所以 ，
不妨设 ，
可得 ，
当 时， ；当 时， ，
即 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 ，
且当 时， ；当 时， ，
又函数 有两个不同的零点，
所以 ，
即 ．故选： ．
9.【答案】
【解析】对于 选项：因为 ， ，所以 ，
令 ，得 ，
所以当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以当 时， 取得极小值，故 A选项错误；
对于 选项：设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，又 ，
所以函数 有且只有 个零点，故 B选项正确；
对于 选项：若 在 上恒成立，所以 在 上恒成立，
则 ，设 ， ，
设 ，设 ，
所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，所以 ，
所以 在 上单调递减，
所以函数 的最大值为 ，所以 ，故 C选项正确；
对于 选项：方法一：令 ，
设 ，
所以 ，
所以 在 上单调递减，
则 ，即 ， ，
因为 ， ，结合 选项可得， ， ，
，
所以 ， ，函数 在 上单调递增，
则 ，所以 ，
即对任意两个正实数 ， ，且 ，若 ，则 ，故 D选项错误；
方法二：由 ， ，所以
，
设 ， ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，
由 ，则 ，因此
，
所以 ，
即对任意两个正实数 ， ，且 ，若 ，则 ，故 D选项错误．
故选： ．
10.【答案】
【解析】根据题意，假设 人分别为甲，乙，丙，丁，戊，
由此依次分析选项：
对于 ，先将丙，丁，戊三人排成一排，排好后有 个空位，再将甲乙安排在 个空位中，有
种排法，A错误；
对于 ，在丙，丁，戊中选出 人，安排在甲乙之间，将 人看成一个整体，与剩下 人全排列，有
种排法，B正确；
对于 ，在中间 个位置中选出 个，安排甲乙，再将丙，丁，戊 人安排在剩下的 个位置，有
种排法，C正确；
对于 ，在 个位置中任选 个，按从左到右由高到矮的顺序安排甲乙丙三人，再将丁、戊安排在
剩下的 个位置，有
种排法，D正确．故选： ．
11.【答案】
【解析】 函数 的图像关于直线 对称，
， ， ，
令 ，求得 ，可得函数 的图像关于点 对称，故 A正确；
当 ， ， 有且仅有 个极值点：
或 ，即 或 ，故 B正确；
若 ，则 的最小值为半个周期，即 ，故 C错误；
若 ，
则 ，
而 ，
，故 D正确，
故选： ．
12.【答案】
【解析】 函数 有两个极值
点 ， ，
有两个不同的实数解 ，
，
有两个不同的实数解 ，
，
分离参数 ，得 ，即直线 与
有两个不同的交点．
令
，
则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，当 时， ， 在 上
单调递减，
当 时， 取得极大值，也是最大值
，
又当 时， ，当 时， ，作图如下：
要使直线 与 有两个不同的交点，则 ，即 ，故 A正确，B错误；
由图知， ，
，故 C正确；
，
又 ， ，
，即 ，
，
要证 ，即证 ，即证
，
令 ，即证
则 ， 在 上单调递增，
当 时， ，
， 成立，即 ，故 D正确；故选： ．
13.【答案】
【解析】 公司只要 个女生，有 种分派方案，
则 ， 公司分派人数可以为 ， 或者 ， 或者 ， 共 种分派方案，共
种，
所以一共有 种分派方案．
故答案为： ．
14.【答案】
【解析】由 可得 ，
即 ，
设 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
所以由 ，可得 ， ，
所以 ，
令 ， ，
，
令 得 ，
令 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 ．
15.【答案】
【解析】因为
，
则 或者 ，
解得 舍去 或 ，
所以 ．故答案为： ．
16.【答案】
【解析】令 ，则 ，
又由 ，所以 ．
故 ，即 为定义在 上的偶函数．
当 时， ，
所以 在 上单调递增，
由 ，
即 ，所以 ，解得 ，
所以不等式的解集为 ．
故答案为： ．
17.【答案】 ， ， ，
，
，
函数 在 处的切线方程为： ，化为： ．
，
时， ，此时函数 单调递减； 时， ，此时函数 单调
递增．
时，函数 取得极小值即最小值， ，
又 ， ， 时，函数 取得最大值，
函数 在 上的最大值与最小值分别为 ， ．
18.【答案】 由 ， ，且 ，
可得 ，即 ，
即有数列 是公比为 的等比数列．
由 是 与 的等差中项，可得 ，
即 ，解得 ，
则 ；
，
．
由 ，
可得 时， 取得最大值 ．
19.【答案】 由题可得 ，
由 可得， ，
解得 ，经检验，符合题意，
所以 ．
由 知， ， ，
当 时，解得 ；当 时，解得 或 ，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
所以函数 的单调减区间为 ，单调增区间为 和 ，
极大值为 ，极小值为 ．
20.【答案】 每年能源消耗费用为 ，建造费用为 ，
．
，
令 ，解得 或 舍 ，
当 时， ；当 时， ．
在 上单调递减，在 上单调递增．
当 时， 取得最小值，为 ．
当隔热层修建 厚时，总费用最小，最小值为 万元．
21.【答案】 函数 定义域为 ， ，
当 时， 在 上恒成立，
当 时， 解得 ， 解得 ．
故 时，函数 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
当 时， ，设切点为 ，
则切线斜率 ，切线方程为 ，
即 ， ， ， ，
令 ， ，
令 ，可得 ，令 ，得 ，
可得 在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 的最小值为 ．
22.【答案】 若对任意 ，不等式 恒成立，则 恒成立，也即
恒成立．令 ，
则 ， 令 ， ， ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
时， 取最小值 ．
所以
证明 ：在 中，令 可知对任意正实数 都有 ，当 时，取” ”，
两边同时取对数得： ，当 时，取” ”，
故： 当 时，取” ” ，
所以： ，
则： ，
即 ．