2022-2023学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高二（下）6月检测数学试卷（PDF版含解析）

永昌第一高级中学 2022-2023学年高二下学期 6月检测
数学试卷
一、单选题（本大题共 8小题，共 40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知函数 ， 为 的导函数，则 的值为( )
A. B. C. D.
2. 正方体 中，化简 ( )
A. B. C. D.
3. 已知曲线 ： ，那么曲线在点 处的切线斜率为( )
A. B. C. D. 或
4. 定义在 上的可导函数 的导函数的图象如图所
示，则以下结论正确的是( )
A. 是函数 的一个零点
B. 是函数 的极大值点
C. 的单调递增区间是
D. 无最小值
5.
的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
6. 若函数 在 上不单调，则实数 的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7. 直三棱柱 如图所示， ， ， ， 为
棱 的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为 ，则
异面直线 和 所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8. 若 ， ， ，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共 4小题，共 20分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 二项式 的展开式的各项中，二项式系数最大的项是( )
A. 第 项 B. 第 项 C. 第 项 D. 第 项
10. 下列结论中，正确的是( )
A. B.
C. D.
11. 如图，四棱锥 的底面为正方形， 底面 ， 平面 ，垂足为 ， 为 上
的点， ，以 为坐标原点，分别以 ， ， 为 ， ，
轴的正方向，并均以 为单位长度，建立空间直角坐标系，设
，则( )
A.
B. 平面 的一个法向量为
C. 当 时，点 到平面 的距离为
D. 当 时，点 到直线 的距离的平方为
12. 如图是 的导数 的图象，则下面判断错误的是( )
A. 在 内 是增函数 B. 在 内 是减函数
C. 在 时 取得极小值 D. 当 时 取得极大值
三、填空题（本大题共 4小题，共 20分）
13. A、 、 、 四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若 和 不
参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______ 用数字作答
14. 的展开式中含 项的系数为______ ．
15. 如图，已知 和 所在的平面互相垂直，
， ，则二面角 的正切值等
于 ．
16. 定义域为 的奇函数 ，当 时， 恒成立，若 ，
， ，则 ， ， 的大小关系为______ ．
四、解答题（本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题 分
已知空间中三点 ， ， ，设 ， ．
若 ，且 ，求向量 ；
已知向量 与 互相垂直，求 的值．
18. 本小题 分
若 ，且 ．
求实数 的值；
求 的值．
19. 本小题 分
已知函数 ， ．
若 是函数 的极值点，求 的值；
若函数 在 上仅有 个零点，求 的取值范围．
20. 本小题 分
在如图所示的几何体中，四边形 是正方形四边形 是梯形， ， ，
平面 平面 ，且 ．
求证： 平面 ；
求二面角 的正弦值；
已知点 在棱 上，且异面直线 与 所成的夹角为 ，求 的取值范围．
21. 本小题 分
某地规划了一个工业园区，需要架设一条 千米的高压线，已知该段线路两端的高压电线塔
已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的高压电线塔之间等距离的修建高压电线塔和架设
电线 已知一座高压电线塔为 万元，距离为 千米的两相邻高压电线塔之间的电线及人工费等
为 万元，所有电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程
费用为 万元．
试写出 关于 的函数关系式；
需要建多少座高压电线塔才能使 有最小值？最小值是多少？
参考数据： ，
22. 本小题 分
已知函数 ， ，讨论函数 的极值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】根据题意， ，
则 ，
则
；故选： ．
2.【答案】
【解析】 ．故选： ．
3.【答案】
【解析】由 ，得 ，
，
即曲线在点 处的切线斜率为 ．
故选： ．
4.【答案】
【解析】由图象得当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ， 在 单调递增，
是 的极小值点，无极大值点，故 B错误，C正确；
当 时，函数 是极小值也是最小值，故 D错误；
此时不能确定 的值是否为 ，故 A错误．故选： ．
5.【答案】
【解析】 的展开式的通项为
．
当 为常数时， ，解得 ，
则
；
当
为常数时， ，解得 ，
则
，
所以
的展开式中常数项为 ．故选： ．
6.【答案】
【解析】由题意得 ，
在 上不单调，
在 上有极值点，
当 时， 在 上恒成立， 在 上单调递减，不满足题意；
当 时，由 得 ，则 ，解得 ，
故实数 的取值范围为 故选： ．
7.【答案】
【解析】 ， ， ， ，
，
则 的外接圆的圆心为 的中点 ，
同理， 的外接圆的圆心为 的中点 ，
连接 ，则三棱柱外接球的球心 为 的中点，连接 ，
设外接球的半径为 ，则 ，
，
，
， ，
以点 为坐标原点，分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
如图所示，
则 ， ， ， ，
， ，
， ，
即异面直线 和 所成的角的余弦值为
．故选： ．
8.【答案】
【解析】因为 ， ， ，
故可构造函数 ， ，
则当 时， 恒成立，
故 在 上单调递增，所以 ，
又 ， ， ，所以 ．故选： ．
9.【答案】
【解析】因为 ，则二项式系数最大的项为第 ， 项，故选： ．
10.【答案】
【解析】对于 ，常数 的导数等于 ，故 A错误；
对于 ，令 ， ，则 ， ，
故 B正确；
对于 ， ，故 C错误；
对于 ，利用公式 可知， ，故 D正确．故选： ．
11.【答案】
【解析】对于 项，因为 底面 ， 平面 ，所以 ．
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 因为 ，
则 ， ， ， ， ．
因为 为 上的点， ，所以 ，故 A正确；
对于 项，因为 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以平面 的一个法向量为 ，故 B正确；
对于 项，当 时， ， ，
所以点 到平面 的距离 C ，故 错误；
对于 项，当 时， ， ，
所以， ， ， ，
所以，点 到直线 的距离的平方 ，故 D正确．故选： ．
12.【答案】
【解析】 时， ，此时 在 单调递减，
时， ，此时 在 单调递增，
时， ，此时 在 单调递减，
时， ，此时 在 单调递增，
在 处左增右减，故在 时 取得极大值，
在 处左减右增，故在 时 取得极小值．
综上可知：B正确，ACD错误．故选： ．
13.【答案】
【解析】分类讨论：若 ， 参加同一科竞赛，可以 种方法；若 ， 参加不是同一科竞赛，
可以
种方法．
综上共有
种方法．故答案为： ．
14.【答案】
【解析】 的展开式通项
，
令 ，得
；令 ，得 ，
故 的展开式中含 项的系数为 ．
故答案为： ．
15.【答案】
【解析】在平面 内，过 作 ，垂足为 ，连接 ，
和 所在的平面互相垂直，且平面 平面
， 平面 ，
过 作 ，垂足为 ，连接 ，
平面 ， ，
又 ， 平面 ，
，
故 为二面角 的平面角的补角．
设 ，则由题设知， ， ，
在 中， ，
，
故二面角 的正切值为 ．
故答案为： ．
16.【答案】
【解析】设函数 ，
因为 是奇函数，所以 是偶函数，
当 时， ．
所以 在 上是减函数，从而 在 上是增函数．
由条件知 ， ， ，
因此 ，
即 ．
故答案为： ．
17.【答案】 ， ， ，
则 ，
，且 ，
则存在非零实数 ，使得 ，
故 ，解得 ，
所以 或 ；
， ，
则 ，
向量 与 互相垂直，
，解得 ．
18.【答案】 由题意可得
则展开式中含 的项为
，
所以 ，解得 ；
由 可知二项式为
，
令 时， ，
因为 的值为二项式 的展开式的各项的系数和，
所以令 ，则
，
所以
．
19.【答案】 ，
是函数 的极值点，
，解得 ，
，
可知： 是函数 的极大值点，满足题意．
．
函数 在 上仅有 个零点 不是函数 的零点 函数 的图象与函数
的图象有 个不同的交点， ．
，
，
时， ，函数 单调递减； 时， ，函数 单调递增．
时，函数 取得极小值即最小值， ．
又 时， ； ．
，解得 ．
的取值范围是
20.【答案】 证明： 平面 平面 ，
又平面 平面 ， 平面 ，
，
平面 ，
根据题意，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的
正向，建立如图空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
，
四边形 是正方形， ，
又 ， ， 面 ， 面 ，
面 ．
是平面 的一个法向量，
又 ， ，
又直线 平面 ， 平面 ；
，
设 为平面 的法向量，
则 ， ， 取 ，
设 为平面 的法向量，又
则 ， ，取 ，
，
二面角 的正弦值为 ；
设 ，则 ，
又 ， ，
，
设 ， ，
则 ，
在区间 上单调递增，
又 ，
，
，
的取值范围为
21.【答案】解 根据题意，需要架设一条 千米的高压线，并且只需要在已建好的高压电线塔
之间等距离的修建高压电线塔和架设电线，
故需要新建高压电线塔 座，且一座高压电线塔为 万元，距离为 千米的两相邻高压电线塔
之间的电线及人工费等为 万元，余下的工程费用为 万元．
所以 ．
故 关于 的函数关系式为 ．
，
则 ，
令 ，得 或 舍 ．
令 ，则 ，令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以当 时， 有最小值，
最小值为 ．
此时需要新建高压电线塔的个数为 ．
故需要建 座高压电线塔才能使 有最小值，最小值是 ．
22.【答案】已知 ， ，函数定义域为 ，
可得 ，
令 ，
解得 ， ，
当 ，即 时， 恒成立， 单调递增，
此时函数 在定义域内没有极值；
当 ，即 时，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 时，函数 有极大值 ；
当 时，函数 有极小值 ；
当 ，即 时，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以当 时，函数 有极小值 ；
当 时，函数 有极大值 ；
综上所述，当 时， 没有极值；
当 时， 有极大值 ，极小值 ；
当 时， 有极小值 ，极大值 ．