五：正余弦定理及其应用
1.正、余弦定理必备知识梳理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos__A； b2＝c2＋a2－2cacos__B； c2＝a2＋b2－2abcos__C
常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)asin B＝bsin A， bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A
b a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
4.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
5.常用结论：（1）在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
（2）A>B a>b sin A>sin B cos A（3）在锐角△ABC中，sin A>cos B，sin B>cos C，sin C>cos A等．
（4）在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
（5）在△ABC中，最大内角的取值范围是，最小内角的取值范围是.
重难点专项突破（一）正余弦定理的实际应用
注意：测量中的几个术语
(1)仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
(2)方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，
练习1. （测量距离问题）如图是2021年9月17日13时34分神舟十二号返回舱(图中C)接近地面的场景.伞面是表面积为1 200 m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC与水平地面垂直于D，D和观测点A在同一水平线上，在A测得点B的仰角∠DAB＝30°，且sin∠BAC＝，则此时返回舱底端离地面的距离CD＝________(π＝3.14，sin∠ACB＝，计算过程中，球半径四舍五入保留整数).
【答案】20 m
【解析】设半球的半径为r m，则2πr2＝1 200，∴r≈14，∴BC＝5r＝70 m.
在△ABC中，由正弦定理得＝，
则AB＝＝70××＝180(m)，∴BD＝90 m，
则CD＝BD－BC＝20 m.
2. （测量距离问题）如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为 km
【答案】7
【解析】在△ACD中，由余弦定理得：cos D＝＝.
在△ABC中，由余弦定理得：cos B＝＝.
因为∠B＋∠D＝180°，所以cos B＋cos D＝0，
即＋＝0，解得AC＝7.
3. （测量距离问题）为了测量一个不规则公园两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距的两点，点在点A的正东方向上，且四点在同一水平面上．从点A处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上，则之间的距离为______km.
【答案】2
【解析】由题意可知，, ,
故在中，，
故 ，，
在中，，
故 ，，
所以在中，，则 ,
故答案为：2
4. （测量角度、距离问题）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，则B，C两点间的距离是_______海里
【答案】10
【解析】 如图所示，易知，
在 △ABC中，AB＝20，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，
在△ABC中，根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里).
5. （测量高度问题）“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客(身高忽略不计)从地面点D看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进79 m到达点E，此时看点C的仰角为45°，若BC＝2AC，则楼高AB约为( )
A.65 m B.74 m C.83 m D.92 m
【答案】B
【解析】 设AC＝x(x>0)，则由已知可得AB＝3x，BE＝BC＝2x，
BD＝＝3x，所以DE＝BD－BE＝3x－2x＝79，
解得x＝≈24.7，所以楼高AB≈3×24.7＝74.1≈74(m).
6. （测量角度问题）如图,甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船速度是乙船速度的倍,问甲船应沿什么方向前进才能在最短时间内追上乙船,此时乙船行驶了多少海里
【答案】甲船应沿北偏东30°的方向去追乙船,乙船行驶了a海里.
7. （测量角度问题）如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于_______
【答案】45°.
【解析】 依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m，又CD＝50 m，
所以在△ACD中，由余弦定理得
cos∠CAD＝＝
＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
8. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径的长度为( )
A．50 m B．50 m C．50 m D．50 m
【答案】B
【解析】 设该扇形的半径为r，连接CO.
由题意，得CD＝150(m)，OD＝100(m)，∠CDO＝60°，
在△CDO中，由余弦定理得，CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°＝OC2，
即1502＋1002－2×150×100×＝r2，解得r＝50.
9.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.
【答案】－1
【解析】由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，可得∠DBA＝135°，∠ADB＝30°.
在△ABD中，根据正弦定理可得＝，
即＝，
所以BD＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝25(－)．
在△BCD中，由正弦定理得＝，
即＝，解得sin∠BCD＝－1.
所以cos θ＝cos(∠BCD－90°)＝sin∠BCD＝－1.
10.（测量面积问题）如图,某湖有一半径为100 m的半圆形岸边,现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计),在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备.为了使监测数据更加准确,在半圆弧上的点B以及湖中的点C处,再分别安装一套监测设备,且满足AB=AC,∠BAC=90°.定义:四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”.
设∠AOB=θ,则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为 .
【答案】 (10 000+25 000)m2
重难点专项突破（二） 解三角形
判断三角形形状的一般思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
练习1．在中，若，，，则__________．
【答案】
【解析】因为，所以
由正弦定理得，则．
2.已知的内角所对的边分别为，，则角______.
【答案】
【解析】将等式两边同时乘以得，由正弦定理得，
又在中，得，.
3. 在△中，，，，则_______
【答案】
4. 在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是_______
【解析】 ∵b2＋c2－bc＝a2，∴cos A＝＝＝.
由0∴sin Bsin C＝sin2A＝，∴sinsin C＝，
即sin Ccos C＋(1－cos 2C)＝，解得tan 2C＝，又0重难点专项突破（三）三角形的形状及有几解的判断
判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
练习1.已知△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,则根据条件解三角形时有两解的一组条件是( )
A.a=1,b=2,A= B.a=2,b=1,A= C.a=2,b=3,A= D.a=4,b=3,A=
【答案】 C
2.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是( )
A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形
【答案】 C
【解析】 法一 由余弦定理可得a＝2b·，
因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，从而△ABC为等腰三角形.
法二 由正弦定理可得sin A＝2sin Bcos C，因此sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，
即B＝C，故△ABC为等腰三角形.
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,以下说法中,所有正确的序号是
①若A>B,则sin A>sin B ②若a=4,b=5,c=6,则△ABC为钝角三角形
③若a=5,b=10,A=,则符合条件的三角形不存在
④若bcos C+ccos B= asin A,则△ABC为直角三角形
⑤在锐角△ABC中,不等式sin A>cos B恒成立
⑥在△ABC中,若acos A=bcos B,则△ABC必是等腰直角三角形
【答案】 ①③④⑤
4 . (2021新高考ⅡT18) 在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
∴存在正整数,使△ABC为钝角三角形.
重难点专项突破（四） 在平面多边形中的应用
1.在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上.若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.
【答案】
【解析】 如图，易知sin ∠C＝，cos ∠C＝.
在△BDC中，由正弦定理可得＝，
∴BD＝＝＝.由∠ABC＝∠ABD＋∠CBD＝90°，
可得cos ∠ABD＝cos(90°－∠CBD)＝sin ∠CBD
＝sin[π－(∠C＋∠BDC)]＝sin(∠C＋∠BDC)
＝sin ∠C·cos ∠BDC＋cos ∠C·sin ∠BDC＝×＋×＝.
2.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝，求CD的长.
【解析】 (1)因为AD∶AB＝2∶3，所以可设AD＝2k，
AB＝3k，k>0.又BD＝，∠DAB＝，
所以在△ABD中，由余弦定理，得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos，
解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，
sin∠ABD＝＝＝.
(2)因为AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝，
所以sin∠DBC＝，在△BCD中，因为＝，所以CD＝＝.
3.如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝60°，BD＝，cos ∠ABD＝.
(1)求AB的长；
(2)若∠BAD＋∠BCD＝180°，BC＝1，求四边形ABCD的面积.
【解析】 (1)在△ABD中，由cos ∠ABD＝，得∠ABD＝45°.
又∠BAD＝60°，所以∠ADB＝75°，
所以sin ∠ADB＝sin 75°＝sin(45°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°
＝，
由正弦定理得＝，得AB＝＝.
(2)由∠BAD＋∠BCD＝180°，可知∠BCD＝120°，设CD＝x，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos ∠BCD，
则7＝1＋x2－2x·cos 120°，化简，得x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3(舍).
所以S△BCD＝BC·CDsin 120°＝×1×2×＝，
S△ABD＝AB·BDsin ∠ABD＝×××＝.
所以S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝＋＝.
4.在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且＝2.
(1)若∠ABD＝，求BC的长；
(2)若AC＝3，求cos∠BAD.
【解析】 (1)在△ABD中，AB＝4，AD＝2，∠ABD＝，
由正弦定理得＝，所以sin∠ADB＝＝1，
因为0<∠ADB<π，所以∠ADB＝.所以BD＝2，
所以DE＝BE＝，AE＝.所以cos∠AED＝cos∠BEC＝.
因为＝2，所以EC＝.
由余弦定理得BC2＝BE2＋EC2－2BE·EC·cos∠BEC＝2＋－2×××＝，所以BC＝.
(2)法一 因为AC＝3，＝2，所以AE＝2.
设DE＝BE＝x，在△ABD中，由余弦定理得cos∠ADB＝.
在△AED中，由余弦定理得cos∠ADB＝，
所以＝，解得x＝2，所以BD＝4.
在△ABD中，由余弦定理得cos∠BAD＝＝＝－.
法二 因为AC＝3，＝2，所以||＝2，在△ABD中，E为BD的中点，
所以＋＝2，平方得||2＋||2＋2·＝4||2，
即16＋8＋2×4×2×cos∠BAD＝16，解得cos∠BAD＝－.
5. 如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，，与交于点.
求：（1）的面积；
（2）的长.
【解析】（1）在中，由余弦定理得，
即，解得或（负值舍去），
，则.
（2）因为，，所以.
在中，由余弦定理得，
即，解得.
由正弦定理得，即，
解得，即，在中，.
重难点专项突破（五）与三角形面积、周长相关问题
1.已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，求证：
三角形的面积；
【解析】根据余弦定理的推论得，
则，代入，
得
又，
所以，
代入可得；
2.(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A).
(1)证明：2a2＝b2＋c2；
(2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长.
【解析】(1)证明 法一 由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，
可得sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A，
＝＝，可得accos B－bccos A＝bccos A－abcos C，
即accos B＋abcos C＝2bccos A(*).
由余弦定理可得accos B＝，abcos C＝，
2bccos A＝b2＋c2－a2，则上述三式代入(*)式整理，得2a2＝b2＋c2.
法二 因为A＋B＋C＝π，所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B)
＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B＝sin2A－sin2B，
同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A.
又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，
即2sin2 A＝sin2 B＋sin2C，故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.
(2) 由(1)及a2＝b2＋c2－2bccos A得，a2＝2bccos A，所以2bc＝31.
因为b2＋c2＝2a2＝50，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝81，解得b＋c＝9，
所以△ABC的周长l＝a＋b＋c＝14.
3.已知，，分别为△三个内角，，的对边，
（1）求角
（2）若，△的面积为，求，.
【答案】（1）；（2），.
【解析】（1）由正弦定理知：，而，
∴，即，又，
∴，即，又，
∴，则.
（2）由（1）及题设，，即，
将代入，整理得：，则，即，故.
4.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B＝bcos A.
(1)求A；
(2)从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使△ABC存在且唯一确定，并求△ABC的面积.
第①组条件：a＝，c＝5.
第②组条件：cos C＝，c＝4.
第③组条件：AB边上的高h＝，a＝3.
注：如果选择多种情形分别解答，按第一个解答计分.
【解析】 (1)因为asin B＝bcos A，由正弦定理可得sin Asin B＝sin Bcos A，又B∈(0，π)，所以sin B≠0，则sin A＝cos A，
即tan A＝，又A∈(0，π)，所以A＝.
(2)若选择第①组条件，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即19＝b2＋25－5b，解得b＝2或3，不符合题意，
故不能选第①组条件.
若选择第②组条件，因为C∈(0，π)，
cos C＝，所以sin C＝，由正弦定理＝可得
a＝＝＝3，则sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C
＝×＋×＝，
此时△ABC的面积S＝acsin B＝×3×4×＝4＋3.
若选择第③组条件，因为AB边上的高h＝，所以bsin ＝，
则b＝＝2，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，
得9＝4＋c2－2c，解得c＝1＋，
此时△ABC的面积S＝bcsin A＝×2×(1＋)×＝.
5.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，的面积是56，且________，求的周长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】若选①，因为，所以，
又，所以，
所以，
即．因为，所以，
即，因为，所以．因为，所以，
所以，
所以，不妨设，，，则的面积为，解得，
从而，，，
故的周长为．
若选②，因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，即．
因为，所以，所以．
以下步骤同①
若选③，因为，所以，所以．
因为，所以，所以，
因为，所以，所以．
因为，所以．
以下步骤同①．
6.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，______．
(1)求角A的大小；
(2)若D为AC边上一点，，，，求的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）方案一：选条件①．
，，
即，
所以，故或，
得或（舍去）．又，所以．
方案二：选条件②，，由正弦定理得，
所以．因为
所以，
即．因为，所以，即．
因为，所以．
方案三：选条件③．因为，
由正弦定理得，
得，所以，
因为，所以，所以．
因为，所以，因为，所以．
（2），，，
在中，，，
由余弦定理，得．
在中，，，
，
的面积．
重难点专项突破（六）解三角形中的范围与最值问题
1.在中，角，，的对边分别为，，，若，外接圆周长与周长之比的最小值为________．
【答案】
2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a－c)sin(A＋B)＝(a－b)(sin A＋sin B).
(1)求角B的大小；
(2)若b＝4，求a＋c的最大值.
【解析】 (1)在△ABC中，∵sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
∴(a－c)sin C＝(a－b)(sin A＋sin B).
由正弦定理，得(a－c)c＝(a－b)(a＋b)，整理，得c2＋a2－b2＝ac.
∴＝，∴cos B＝.又0(2)∵b＝4，∴a2＋c2－16＝ac，即(a＋c)2－16＝3ac.
∵ac≤，∴(a＋c)2－16≤3，∴(a＋c)2≤16，
∴a＋c≤8，当且仅当a＝c时等号成立.∴a＋c的最大值为18.
3.在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若的外接圆半径为，求周长的取值范围.
【解析】（1）在中，，
由正弦定理得：，由余弦定理得：，
因为为的内角，则，所以.
（2）由正弦定理得：，
所以，，，
所以的周长为：
，
因为，所以，则，
所以，则，
所以周长的取值范围为.
4.已知锐角中，角、、所对边为、、，且．
(1)求角；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】因为，所以，
所以，从而，
即，所以，因为，所以．
（2）因为，，由正弦定理，有
所以，，
所以，
又因为为锐角三角形，
所以，即，所以，
所以，从而的取值范围为．
5.在①，②，③这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，
问题：在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，_______．
(1)求角B﹔
(2)求的范围．
【答案】(1)任选一条件，都有(2)
【解析】(1)选择①：∵，∴由正弦定理可得：，
∴可得：，可得：，∴由余弦定理可得：，
整理可得：，∴，∵，可得：
选择②：，因为，
所以，又因为，所以；
选择③：因为，由正弦定理可得，
又
由，可得，
因为，所以，因为，所以．
(2)在中，由（1）及，
故，
因为，则
﹒
所以的范围为
重难点专项突破（七）与三角形的中线、角平分线、高线有关问题
1.(中线)在①；②；③
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
在中，内角的对边分别为，且满足__________.
(1)求角；
(2)若的面积为的中点为，求的最小值.
【详解】（1）选①，由正弦定理可得
又因为，可得
即，所以，又因为，所以
所以，解得
选②由题意，
,
选③，由正弦定理可得
，
，
.
（2），解得，
由余弦定理可得，
所以，当且仅当时，即取等号，
所以的最小值为4
2.(角平分线)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，D是线段AC上的一点，，，求.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，
所以由正弦定理可得，，即，
所以，因为，所以.
（2）设，则，
所以，解得，，
所以，
由正弦定理，，所以.
3.(角平分线)在①，②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并做答.问题:已知的内角的对边分别为，________，角B的平分线交于点D，求BD的长.
【解析】若选条件①：由，又，可得，
在△中，由，易知，
∴.
若选条件②：由，可得，
由可得，则有，又，
∴，故，得.
若选条件③:由，可得，
在△中，由，易知，
∴.
(法一）∵为角平分线，即，有，
∵，
∴在△中，，可得.
(法二）∵为角平分线，即，又，
∴，解得.
4. (垂直平分线)已知锐角的内角的对边分别为在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求解问题．
（1）求角；
（2）如图，边的垂直平分线交于，交边于，求长．
【解析】（1）选①，
由正弦定理得，
则，即，
又是锐角三角形的内角，故
选②，由余弦定理得，
，即，又是锐角三角形的内角，故
选③，
因为为锐角，所以，
所以，故．
（2）是等腰三角形，且是一个底角，故为的中点，则，在中，，
由正弦定理得，
故，故在中，．
5. (垂直平分线)在中．．
(1)求角；
(2)若，点是线段的中点，于点，且，求的长．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)，；
，，，解得：.
(2)是中点，，
又，解得：；
在中，由余弦定理得：，
，则，.
6.（中线）在①，其中为角的平分线的长（与交于点），②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在中，内角，，的对边分别为，，，______.
（1）求角的大小；
（2）若，，为的重心，求的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】（1）方案一：选条件①.
由题意可得，∴.
∵为的平分线，，
，即
又，∴，即，
∵，∴， ∴，∴.
方案二：选条件②.
由已知结合正弦定理得，
由余弦定理得，∵，∴.
方案三：选条件③.
由正弦定理得，，
又，∴，
∴，
∴，易知，
∴，∵，∴.
（2）在中，由余弦定理可得，，
∴，∴. 延长交于点，
∵为的重心，∴为的中点，且.
在中，由余弦定理可得，，
∴，∴.五：正余弦定理及其应用
正、余弦定理必备知识梳理
1. 正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos__A； b2＝c2＋a2－2cacos__B； c2＝a2＋b2－2abcos__C
常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin__B，c＝2Rsin__C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin__A∶sin__B∶sin__C； (4)asin B＝bsin A， bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A＝； cos B＝； cos C＝
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高).(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A＝.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
4.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin＝cos；(4)cos＝sin.
5.常用结论：（1）在△ABC中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
（2）A>B a>b sin A>sin B cos A（3）在锐角△ABC中，sin A>cos B，sin B>cos C，sin C>cos A等．
（4）在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.
（5）在△ABC中，最大内角的取值范围是，最小内角的取值范围是.
重难点专项突破（一）正余弦定理的实际应用
注意：测量中的几个术语
(1)仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).
(2)方位角
从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).
(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，
练习1. （测量距离问题）如图是2021年9月17日13时34分神舟十二号返回舱(图中C)接近地面的场景.伞面是表面积为1 200 m2的半球面(不含底面圆)，伞顶B与返回舱底端C的距离为半球半径的5倍，直线BC与水平地面垂直于D，D和观测点A在同一水平线上，在A测得点B的仰角∠DAB＝30°，且sin∠BAC＝，则此时返回舱底端离地面的距离CD＝________(π＝3.14，sin∠ACB＝，计算过程中，球半径四舍五入保留整数).
2. （测量距离问题）如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为 km
3. （测量距离问题）为了测量一个不规则公园两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距的两点，点在点A的正东方向上，且四点在同一水平面上．从点A处观测得点在它的东北方向上，点在它的西北方向上；从点处观测得点在它的北偏东方向上，点在它的北偏西方向上，则之间的距离为______km.
4. （测量角度、距离问题）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，则B，C两点间的距离是_______海里
5. （测量高度问题）“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名.下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客(身高忽略不计)从地面点D看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进79 m到达点E，此时看点C的仰角为45°，若BC＝2AC，则楼高AB约为( )
A.65 m B.74 m C.83 m D.92 m
6. （测量角度问题）如图,甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a海里,乙船正向北行驶,若甲船速度是乙船速度的倍,问甲船应沿什么方向前进才能在最短时间内追上乙船,此时乙船行驶了多少海里
7. （测量角度问题）如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于_______
8. 如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径的长度为( )
A．50 m B．50 m C．50 m D．50 m
9.如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.
10.（测量面积问题）如图,某湖有一半径为100 m的半圆形岸边,现决定在圆心O处设立一个水文监测中心(大小忽略不计),在其正东方向相距200 m的点A处安装一套监测设备.为了使监测数据更加准确,在半圆弧上的点B以及湖中的点C处,再分别安装一套监测设备,且满足AB=AC,∠BAC=90°.定义:四边形OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区域”.设∠AOB=θ,则“直接监测覆盖区域”面积的最大值为 .
重难点专项突破（二） 解三角形
判断三角形形状的一般思路
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．
(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
练习1．在中，若，，，则__________．
2.已知的内角所对的边分别为，，则角______.
3. 在△中，，，，则_______
4. 在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是_______
重难点专项突破（三）三角形的形状及有几解的判断
判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.
练习1.已知△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,则根据条件解三角形时有两解的一组条件是( )
A.a=1,b=2,A= B.a=2,b=1,A= C.a=2,b=3,A= D.a=4,b=3,A=
2.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是( )
A.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形
3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,以下说法中,所有正确的序号是
①若A>B,则sin A>sin B ②若a=4,b=5,c=6,则△ABC为钝角三角形
③若a=5,b=10,A=,则符合条件的三角形不存在
④若bcos C+ccos B= asin A,则△ABC为直角三角形
⑤在锐角△ABC中,不等式sin A>cos B恒成立
⑥在△ABC中,若acos A=bcos B,则△ABC必是等腰直角三角形
4 . (2021新高考ⅡT18) 在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
重难点专项突破（四） 在平面多边形中的应用
1.在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上.若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.
2.如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝，求CD的长.
3.如图，在平面四边形ABCD中，∠BAD＝60°，BD＝，cos ∠ABD＝.
(1)求AB的长；
(2)若∠BAD＋∠BCD＝180°，BC＝1，求四边形ABCD的面积.
4.在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且＝2.
(1)若∠ABD＝，求BC的长；
(2)若AC＝3，求cos∠BAD.
5. 如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，，与交于点.
求：（1）的面积；
（2）的长.
重难点专项突破（五）与三角形面积、周长相关问题
1.已知的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，设，求证：
（1）三角形的面积；
2.(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A).
(1)证明：2a2＝b2＋c2；
(2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周长.
3.已知，，分别为△三个内角，，的对边，
（1）求角
（2）若，△的面积为，求，.
4.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asin B＝bcos A.
(1)求A；
(2)从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使△ABC存在且唯一确定，并求△ABC的面积.
第①组条件：a＝，c＝5.
第②组条件：cos C＝，c＝4.
第③组条件：AB边上的高h＝，a＝3.
注：如果选择多种情形分别解答，按第一个解答计分.
5.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，的面积是56，且________，求的周长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
6.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，______．
(1)求角A的大小；
(2)若D为AC边上一点，，，，求的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
重难点专项突破（六）解三角形中的范围与最值问题
1.在中，角，，的对边分别为，，，若，外接圆周长与周长之比的最小值为________．
2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a－c)sin(A＋B)＝(a－b)(sin A＋sin B).
(1)求角B的大小；
(2)若b＝4，求a＋c的最大值.
3.在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若的外接圆半径为，求周长的取值范围.
4.已知锐角中，角、、所对边为、、，且．
(1)求角；
(2)若，求的取值范围．
5.在①，②，③这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中，
问题：在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，_______．
(1)求角B﹔
(2)求的范围．
重难点专项突破（七）与三角形的中线、角平分线、高线有关问题
1.(中线)在①；②；③
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.
在中，内角的对边分别为，且满足__________.
(1)求角；
(2)若的面积为的中点为，求的最小值.
2.(角平分线)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求角A的大小；
（2）若，D是线段AC上的一点，，，求.
3.(角平分线)在①，②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并做答.问题:已知的内角的对边分别为，________，角B的平分线交于点D，求BD的长.
4. (垂直平分线)已知锐角的内角的对边分别为在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求解问题．
（1）求角；
（2）如图，边的垂直平分线交于，交边于，求长．
5. (垂直平分线)在中．．
(1)求角；
(2)若，点是线段的中点，于点，且，求的长．
6.（中线）在①，其中为角的平分线的长（与交于点），②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在中，内角，，的对边分别为，，，______.
（1）求角的大小；
（2）若，，为的重心，求的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.