2022—2023 学年度第二学期期末调研测试
高二数学参考答案 2023.6
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A D C B D B AC BCD ACD ABD
题号 13 14 15 16
ln 2 1
8 5
答案 2 2 2 ； n
或写成 ln 9 16
e
17.【答案】(1) 将m 3代入 N x | x 2 | m(m 0) ，
所以 N x | 1 x 5 ，而M x | 2 x 4 ，所以M N x | 1 x 4 . ······················ 5 分
(2) 因为m 0，所以 N x | 2 m x 2 m .
因为“ x M ”是“ x N ”成立的充分不必要条件，
2 m 2
所以M N ，则 ，且不同时取等号，所以m 4 . ········································· 10 分
2 m 4
18.【答案】(1) 选①：C0 C1 C2 46，即 n2 n 90 0，解得 n 9 ，或 n＝－10(舍去)． ······ 6 分 n n n
选②：C0 C2 4n n Cn 2
n 1 256 ，解得 n 9 . ·························································· 6 分
2n 3r
1 2n 3r 3
选③：Tr 1 C
r ( 1)r ( )n rn x
4 ，令 0 ，则 n r .
2 4 2
因为展开式中第 7 项为常数项，即 r 6，所以 n 9 . ····················································· 6 分
18 3r
1
(2) 因为T C r ( 1)r ( )9 r x 4 ， r 0,1,2, ,9r 1 9 .
2
18 3r 9 21
所以当 r 2或 6 时， 为整数，所以有理项为T x3和T . ·························· 12 分 3 7
4 32 2
4 3
19.【答案】(1)（解法一）因为每次取到的数是奇数的概率为 p ，取到的数不是奇数的概率为 ，
7 7
4 4 12
所以随机变量 X 可能的取值为 0 ,1,2,3，且 X ~ B(3, ) ，所以 E(X ) 3 . ······················· 6 分
7 7 7
（解法二）因为随机变量 X 可能的取值为 0 ,1,2,3，
0 4 0 3 3 27 4 3 108所以 P(X 0) C ( ) ( ) ， P(X 1) C1( )1 23 3 ( ) ，
7 7 343 7 7 343
2 4 2 3 1 144 3 4 3 3 0 64P(X 2) C3 ( ) ( ) ， P(X 3) C3 ( ) ( ) .···················································· 4 分
7 7 343 7 7 343
27 108 144 64 12
所以 E(X ) 0 1 2 3 . ····························································· 6 分
343 343 343 343 7
(2) 奇数为：1,3,5,7，共 4 个；偶数为 2,4,6，共 3 个. 随机变量Y 可能的取值为 0 ,1,2,3.
C0C3 1 C1C2 12 C2C1 18 C3C0 4
则 P(Y 0) 4 3 ， P(Y 1) 4 3 ， P(Y 2) 4 3 ， P(Y 3) 4 3 .
C37 35 C
3
7 35 C
3 3
7 35 C7 35
可得随机变量Y 的概率分布表为：
Y 0 1 2 3
1 12 18 4
P
35 35 35 35
························································································································· 12 分
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1 BD C E 1
20.【答案】(1) 当 t 时， 1 ，即点 D，E分别为 BC, B C 的中点， 1 1
2 BC C1B1 2
在直三棱柱 ABC A B C 中， B1C1∥BC ，所以 B1E∥BD ， 1 1 1
所以四边形 BB1ED 为平行四边形，所以 BB1∥DE ，
又 AA1∥BB1，所以 AA1∥DE ，
所以四边形 AA ED 为平行四边形，则 AD//A E ． 1 1
又因为 AD 平面 A1EB, A1E 平面 A EB，所以 平面1 AD// A1EB ． ···································· 5 分
(2) AA1 平面 ABC ，又 BAC 90 ，
以 AB, AC, AA1 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ，
则点 A 0,0,0 ，C1 0,3,3 ， A1 0,0,3 ， B 3,0,0 ，C 0,3,0 .
BD C1E由 t 0 t 1 得 E(3t,3-3t,3)，
BC C1B1
所以 A1C 0,3, 3 ， A1B 3,0, 3 ， A1E 0,3, 3 .
设平面 A BE的一个法向量m a,b,c ， 1
m A1B 0, 3a 3c 0, t 则 即 取 a 1，得m 1, ,1 .
m A E 0,
3ta 3 3t b 0, t 1
1
3t
3
t 1 6
令直线 A 与平面 所成角为 ，则 sin cos AC,m ， 1C A1BE 1
t 3
3 2 2 ( )2
t 1
1 5 1 5
所以得12t2 16t 5 0，所以 t 或 ，又因为 t ，所以 t . ································· 9 分
2 6 2 6
而 AC1 (0,3,3) ， AB (3,0,0) ， BC ( 3,3,0) ， BD tBC ( 3t,3t,0)，
1 5
所以 AD AB BD (3 3t,3t,0) = , ,0 .
2 2
n AC 0, 3y 3z 0,
设平面 AC1D 的一个法向量为
1 1
n1 (x, y, z) ，则 即
n AD 0, 3 1 t x 3ty 0, 1
5 1 1
取 n1 (t,t 1,1 t) ( , , ) .
6 6 6
又平面 ADC 的一个法向量为 n2 (0,0,1) ，
3
得 cos n1,n2 ，观察得二面角C1 AD C 为锐角，
9
3
所以二面角C1 AD C 的余弦值为 . ····································································· 12 分
9
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21.【答案】(1) 填写 2×2 列联表如下：
评价结果
性别 合计
点赞 一般
男 80 40 120
女 15 45 60
合计 95 85 180
假设 H ：对该影片的评价与性别无关. 0
根据列联表中的数据可以求得
2 2
2 n(ad bc) 180(80 45 40 15) 180 (40 75)
2
(a b)(c d)(a c)(b d) 95 85 120 60 95 85 120 60
600 15 9000
27.86，
19 17 323
2 600 15 600 15 45（也可以 22.5 10.828 ，即通过适当放缩，说明大于 10.828 即可）
19 17 20 20 2
由于 2 27.86 10.828，且当 2H 成立时，P( 10.828) 0.001，所以有0 99.9% 的把握认为对该影片
的评价与性别有关. ······································································································· 4 分
(2) ① 由分层抽样知，随机抽取的 6 名参评观众中，男性有 4 人，女性有 2 人. 根据频率估计概率知，
2 1 1
男性观众给出“点赞”评价的概率为 ，给出“一般”评价的概率为 ；女性观众给出“点赞”评价的概率为 ，
3 3 4
3
给出“一般”评价的概率为 .
4
从这 6 名参评观众中随机抽取 1 人进行访谈，记“这名学生给出‘点赞’评价”为事件B ，“这名观众是男
性观众”为事件 A ，“这名观众是女性观众”为事件 A . 1 2
2 1 2 1
则 P(A1) ， P(A ，2 ) P(B | A1) ， P(B | A ) ， 2
3 3 3 4
所以 P(B) P(BA1 BA2 ) P(BA1) P(BA2 ) P(A1)P(B | A1) P(A 2 )P(B | A2)
2 2 1 1 4 1 16 3 19
. ······························································ 8 分
3 3 3 4 9 12 36 36
② 从这 6 名参评观众中随机抽取 2 人进行访谈，记“抽取的 2 人均给出‘点赞’的评价”为事件D ，“这
两名观众均是男性”为事件C ，“这两名观众均是女性”为事件C ，“这两名观众是 1 名男性和 1 名女性”为1 2
事件C . 3
C 24 2 C
2
2 1 C
1C1 8 2 4
则 P(C1) ， P(C2 ) ， P(C3 )
4 2 ， P(D | C1) ( )
2 ，
C 2 26 5 C6 15 C
2
6 15 3 9
1 1 2 1 1
P(D | C2 ) ( )
2 ， P(D | C . 3)
4 16 3 4 6
所以 P(D) P(C1)P(D | C1) P(C2 )P(D | C2 ) P(C3)P(D | C3)
2 4 1 1 8 1 13
， ··································································· 10 分
5 9 15 16 15 6 48
8 1
P(C3D) P(C3 )P(D | C3 )所以 P(C | D) 15 6
64
3 . ················································ 12 分
P(D) P(D) 13 195
48
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{#{QQABAYCQogCgAhBAAABCUwUSCgGQkgECAAgGBAAQMEAByBFABAA=}#}
a
22.【答案】(1) 由题可知， f (x) ex 1 (x 0) .
x
①当 a 0时， f (x) 0， f (x) 在 (0, )上单调递增，无极值，不成立；
②当 a 0时， f (x)在 (0, )上单调递增.
由题可知， x0 (1,2) ，使得 f (x0 ) 0 ，且 x (1, x0 ) 时， f (x) 0， f (x) 单调递减；当 x (x0 ,2) 时，
f (x) 0， f (x) 单调递增，即 x 是极小值点， 0
f (1) 1 a 0,
所以 a 解之得 2e a 1 .
f (2) e 0,
2
综上， 2e a 1，且该极值点为极小值点. ······························································· 5 分
(2) 方法一：由题得， ex 1 a ln x (a 1)x a 0 对 x 1恒成立.
记 g(x) ex 1 a ln x (a 1)x a ，
a xex 1x 1 (a 1)x a则 g (x) e (a 1) ，
x x
令 (x) xex 1 (a 1)x a ，则 (x) (x 1)ex 1 (a 1)，
令u(x) (x 1)ex 1 (a 1) ，则u (x) (x 2)ex 1 0 ，u(x)在 (1, )上单调递增，
又u(1) 1 a .
①当1 a 0，即 a 1时，u(x) 0 ，即 (x) 0， (x) 在 (1, )上单调递增，
又 (1) 1 (a 1) a 0，所以 (x) 0 ，即 g (x) 0， g(x)在 (1, )上单调递增，
又 g(1) 0 ，所以当 x (1, )时， g(x) 0 恒成立.
②当1 a 0，即 a 1时，u(1 ln a) (2 ln a)a a 1 a 1 a ln a 0，1 ln a 1，
所以由零点存在性定理可知， x0 (1,1 ln a) ，使得u(x0 ) 0 ，
则当 x (1, x ) 时，u(x) 0 ，即 (x) 0， (x)在 (1, x )上单调递减， 0 0
又 (1) 0 ，所以当 x (1, x ) 时，0 (x) 0，即 g (x) 0，
所以当 x (1, x0 ) 时， g(x)单调递减，又 g(1) 0 ，所以当 x (1, x ) 时，0 g(x) 0 ，矛盾，不成立.
综上所述， a的取值范围为 ( ,1] . ············································································ 12 分
方法二：由题得， ex 1 x a(x 1 ln x) 0 对 x 1x 1恒成立. 记 F(x) e x a(x 1 ln x) ，
x 1
①当 a 1时，记 g(x) x 1 ln x (x 1)，所以 g (x) 0 ，
x
所以 g(x)在 (1, )上单调递增，所以 g(x) g(1) 0 ，
所以 F(x) ex 1 x (x 1 ln x) ，记G(x) ex 1 x (x 1 ln x) ex 1 2x 1 ln x，
1 1
所以G (x) ex 1 2 ，所以G (x) ex 1 在 (1, )上单调递增，且G (x) G (1) 0 ，
x x2
所以G (x) 在 (1, )上单调递增，则G (x) G (1) 0 ，
所以G(x)在 (1, )上单调递增，则G(x) G(1) 0 ，
所以 F(x) G(x) 0对 x 1恒成立；
1 a
②当 a 1时， F (x) ex 1 1 a(1 ) ， F (x) ex 1 在 (1, )上单调递增，
x x2
1 1
因为 F a 1(1) 1 a 0， F (a) e a 0，
a a
所以 x0 (1,a)，使得 F (x0 ) 0 ，且 x (1, x ) 时， F (x) 0， F (x) 单调递减. 0
所以当 x (1, x ) 时， F (x) F (1) 0， F(x)单调递减， 0
所以当 x (1, x ) 时，0 F(x) F(1) 0，与 F(x) 0对 x 1恒成立矛盾.
综上， a 1 . ········································································································· 12 分
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{#{QQABAYCQogCgAhBAAABCUwUSCgGQkgECAAgGBAAQMEAByBFABAA=}#}20.(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱ABC-A,B,C中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，AA=AB=3
D,E分别为BC,B,C上的点，且BD_G
BC CB
=t(0(①若t=,求证：ADM平面4BE:
②)若1>)，直线4C与平面ABE所成角的正弦值为6，求二面角C-AD-C的余弦值
3
B
21.(本小题满分12分)
某电影平台为了解观众对某影片的感受，已知所有参评的观众中男、女之比为2：1，现从中
随机抽取120名男性和60名女性进行调查，抽取的男观众中有80人给了“点赞”的评价，女观众
中有45人给了“一般”的评价.
(1)把下面2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为对该影片的评价与性别有关？
评价结果
性别
合计
点赞
一般
男
80
女
45
合计
180
(2)用频率估计概率，在所有参评的观众中按“男”和“女”进行分层抽样，随机抽取6名参评观众.
①若再从这6名参评观众中随机抽取1人进行访谈，求这名观众给出“点赞”评价的概率；
②若再从这6名参评观众中随机抽取2人进行访谈，求在抽取的2人均给出“点赞”的条件
下，这2人是1名男性和1名女性的概率
参考公式：X2=
n(ad-be)2
其中n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
参考数据：
P(x≥x)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
22.(本小题满分12分)
已知a为实数，函数f(x)=ex-1+alnx。
(I)若函数f(x)在区间(1,2)上存在极值点，求α的取值范围，并说明是极大值点还是极小值点；
(2)若f(x)>(a+1)x-a对x>1恒成立，求a的取值范围.
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2022一2023学年度第二学期期末调研测试
高二数学
2023.6
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合要求)
1.已知集合A={xx2-2x-15<0，B={xx=3k-2,k∈Z}，则集合A∩B中元素的个数为
(
A.1
B.2
C.3
D.4
2.若命题“3x∈R,x2+1≤m”是假命题，则实数m的取值范围是(
)）
A.(-o,1]
B.(-o0,1)
C.[1,+oo)
D.(1,+0)
3.已知直线1的方向向量为e=(2,-1,2),平面a的法向量为i=(-2,a-b,a+b)(a,b∈R).若
l⊥a,则a+3b的值为().
A.-5
B.-2
C.1
D.4
x+1,x≥0，
4.已知函数f(x)=
若f(2a)A.(-2,+0∞)
B.(-00,-2)
C.(2,+0)
D.(-00,2)
5.某小吃店的日盈利y(单位：百元)与当天平均气温x(单位：℃)之间有如下数据：
x/℃
-2
-1
0
1
2
y/百元
5
4
a
2
1
经分析知，y与x之间有较强的线性关系，其线性回归直线方程为)=-x+2.8,则a=(
A.3
B.2.8
C.2
D.1
6.函数f=x-sn在x∈[-元，0)U(0,]上的图像大致为(
B
7.已知(2x-1)°=a。+a,x+a2x2+…+aox0，则a,+2a2+3a3+…+10a0=(
)
A.0
B.1
C.10
D.20
8.己知偶函数fx)满足f4+x)=f4-x),f0)=-1,且当x∈(0,41时，f(x)=血
.若关于x
的不等式f(x)>a在[-48,48]上有且只有60个整数解，则实数a的取值范围是(
A.(-1,0]
B.0,2
In 2
C.
2,n3
D.
2,3
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