新人教A版必修第一册第3章函数的概念与性质测评（含解析）

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第三章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数f(x)=的定义域为(　　)
A.[-1,2)∪(2,+∞) B.(-1,+∞)
C.[-1,2) D.[-1,+∞)
2.函数f(x)=的图象是(　　)
3.若函数f(+1)=x2-2x,则f(3)等于(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
4.函数f(x)=-2x在区间上的最小值为 (　　)
A.1 B. C.- D.-1
5.函数f(x)=|x-2|·(x-4)的单调递减区间是(　　)
A.[2,+∞) B.[3,+∞)
C.[2,4] D.[2,3]
6.若f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=f(x)+g(x)+2在区间(0,+∞)内有最大值8,则在区间(-∞,0)内F(x)有(　　)
A.最小值-8 B.最大值-8
C.最小值-6 D.最小值-4
7.已知实数a≠0,函数f(x)=若
f(1-2a)=f(1+a),则a的值为(　　)
A.-1 B.1 C.3 D.-3
8.已知函数f(x-1)是定义在R上的奇函数,若对于任意两个实数x1≠x2,不等式>0恒成立,则不等式f(x+3)<0的解集为(　　)
A.(-∞,-3) B.(4,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,-4)
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的定义域为[-4,4)
B.函数f(x)的值域为[0,+∞)
C.此函数在定义域内是增函数
D.对于任意的y∈(5,+∞),都有唯一的自变量x与之对应
10.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)内单调递增的有(　　)
A.y=- B.y=
C.y=x2-1 D.y=x3
11.一位骑自行车的旅行者和一位骑摩托车的旅行者从甲城到相距80 km的乙城,所行驶的路程与时间之间的函数关系如图所示,有人根据函数的图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息,其中正确的是(　　)
A.骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h
B.骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动
C.骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者
D.骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样
12.已知x∈N,当x能被2整除时,f(x)=0,当x不能被2整除时,f(x)表示x除以2的余数;当x能被4整除时,g(x)=0,当x不能被4整除时,g(x)表示x除以4的余数.则对任意x∈N,下列式子正确的是(　　)
A.f(x)≠g(x) B.g(2x)=2g(x)
C.f(2x)=0 D.f(x)+f(x+3)=1
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),则函数f(x)的解析式为　　　　　　　,f的值为　　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)
14.已知函数f(x)=若f(m)=-5,则实数m的值为　　　　　.
15.已知函数f(x)对一切x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(-3)=a,则用a表示f(12)=　　　　　.
16.已知投资x万元,经销甲商品所获得的利润为P=;经销乙商品所获得的利润为Q=(a>0).若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品,使所获得的利润不少于5万元,则a的最小值为　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知函数f(x)=且f(2)=0.
(1)求f(f(0));
(2)若f(m)=m,求实数m的值.
18.(12分)已知f(x)=是定义在区间(-∞,b-3]∪[b-1,+∞)内的奇函数.
(1)若f(2)=3,求a,b的值;
(2)若x=-1是方程f(x)=0的一个根,求函数f(x)在区间[2,4]上的值域.
19.(12分)已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=+2x+c,若g(x)>2对任意x∈R恒成立,求实数c的取值范围.
20.(12分)设f(x)为定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=-(x-2)2+2.
(1)求函数f(x)在R上的解析式;
(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象;
(3)若方程f(x)-k=0有四个解,求实数k的取值范围.
21.(12分)某公司计划投资A,B两种金融产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资量成正比例,其关系如图①,B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例,其关系如图②(利润与投资量的单位:万元).
图①
图②
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资量的函数;
(2)该公司已有10万元资金,并全部投入A,B两种产品中,怎样分配这10万元投资,才能使公司获得最大利润 其最大利润为多少万元
22.(12分)已知函数f(x)=为奇函数.
(1)求b的值;
(2)证明:函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递减;
(3)解关于x的不等式f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)>0.
第三章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.函数f(x)=的定义域为(　　)
A.[-1,2)∪(2,+∞) B.(-1,+∞)
C.[-1,2) D.[-1,+∞)
解析:由解得x≥-1,且x≠2.
答案:A
2.函数f(x)=的图象是(　　)
解析:由于f(x)=故选C.
答案:C
3.若函数f(+1)=x2-2x,则f(3)等于(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析:因为f(+1)=x2-2x,
所以f(+1)=22-2×2,即f(3)=0.
答案:A
4.函数f(x)=-2x在区间上的最小值为 (　　)
A.1 B. C.- D.-1
解析:因为f(x)在区间上单调递减,
所以f(x)min=f-2×=-1.
答案:D
5.函数f(x)=|x-2|·(x-4)的单调递减区间是(　　)
A.[2,+∞) B.[3,+∞)
C.[2,4] D.[2,3]
解析:由于f(x)=|x-2|·(x-4)=
在平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象(如图),则可得函数f(x)的单调递减区间是[2,3].
答案:D
6.若f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=f(x)+g(x)+2在区间(0,+∞)内有最大值8,则在区间(-∞,0)内F(x)有(　　)
A.最小值-8 B.最大值-8
C.最小值-6 D.最小值-4
解析:设x∈(-∞,0),则-x∈(0,+∞),F(-x)=f(-x)+g(-x)+2≤8,且存在x0∈(0,+∞)使F(x0)=8.
因为f(x),g(x)都是奇函数,所以f(-x)+g(-x)=-[f(x)+g(x)]≤6,f(x)+g(x)≥-6,则F(x)=f(x)+g(x)+2≥-4,且存在x0∈(-∞,0)使F(x0)=-4.
故F(x)在区间(-∞,0)内有最小值-4.
答案:D
7.已知实数a≠0,函数f(x)=若
f(1-2a)=f(1+a),则a的值为(　　)
A.-1 B.1 C.3 D.-3
解析:当a>0时,1-2a<1,1+a>1,
由f(1-2a)=f(1+a),得2(1-2a)+a=-(1+a)-2a,a无解;
当a<0时,1-2a>1,1+a<1,
由f(1-2a)=f(1+a),得-(1-2a)-2a=2(1+a)+a,解得a=-1.
综上可得,a=-1.
答案:A
8.已知函数f(x-1)是定义在R上的奇函数,若对于任意两个实数x1≠x2,不等式>0恒成立,则不等式f(x+3)<0的解集为(　　)
A.(-∞,-3) B.(4,+∞)
C.(-∞,1) D.(-∞,-4)
解析:函数f(x-1)是定义在R上的奇函数,其图象关于原点对称,由函数f(x-1)的图象向左平移一个单位长度得到函数f(x)的图象,则函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称.对于任意的x1≠x2,且x1,x2∈R满足不等式>0,则函数f(x)在R上单调递增,结合图象(图略)可知f(x+3)<0 x+3<-1,则x<-4.
答案:D
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)的定义域为[-4,4)
B.函数f(x)的值域为[0,+∞)
C.此函数在定义域内是增函数
D.对于任意的y∈(5,+∞),都有唯一的自变量x与之对应
解析:由题图可知,函数f(x)的定义域为[-4,0]∪[1,4),故A错误;
函数f(x)的值域为[0,+∞),故B正确;
函数f(x)在定义域内不是单调函数,故C错误;
对于任意的y∈(5,+∞),都有唯一的自变量x与之对应,故D正确.
答案:BD
10.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)内单调递增的有(　　)
A.y=- B.y=
C.y=x2-1 D.y=x3
解析:对于A,y=-是偶函数,但在区间(0,+∞)内单调递减,不符合题意;
对于B,y=是偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增,符合题意;
对于C,y=x2-1是偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增,符合题意;
对于D,y=x3是奇函数,不符合题意.
答案:BC
11.一位骑自行车的旅行者和一位骑摩托车的旅行者从甲城到相距80 km的乙城,所行驶的路程与时间之间的函数关系如图所示,有人根据函数的图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息,其中正确的是(　　)
A.骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h
B.骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动
C.骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者
D.骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样
解析:由时间轴易知A正确;因为骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,即是变速运动,因此B正确;两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故C正确,D错误.
答案:ABC
12.已知x∈N,当x能被2整除时,f(x)=0,当x不能被2整除时,f(x)表示x除以2的余数;当x能被4整除时,g(x)=0,当x不能被4整除时,g(x)表示x除以4的余数.则对任意x∈N,下列式子正确的是(　　)
A.f(x)≠g(x) B.g(2x)=2g(x)
C.f(2x)=0 D.f(x)+f(x+3)=1
解析:当x是4的倍数时,f(x)=g(x)=0,故A错误;
当x=2时,g(2x)=g(4)=0,而2g(x)=2g(2)=4,g(2x)≠2g(x),故B错误;
因为当x∈N时,2x一定是偶数,所以f(2x)=0,
故C正确;
因为当x∈N时,x和x+3中必有一个奇数、一个偶数,所以f(x)和f(x+3)中一个为0、一个为1,所以f(x)+f(x+3)=1,故D正确.
答案:CD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,2),则函数f(x)的解析式为　　　　　　　,f的值为　　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)
解析:设y=f(x)=xα,
因为函数f(x)的图象经过点(4,2),
所以4α=2,解得α=.
故f(x)=,f.
答案:f(x)=
14.已知函数f(x)=若f(m)=-5,则实数m的值为　　　　　.
解析:若m≤-1,则由m+2=-5,得m=-7;
若m>-1,则由-m2+4m=-5,得m=5或m=-1(舍去),故实数m的值为-7或5.
答案:-7或5
15.已知函数f(x)对一切x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(-3)=a,则用a表示f(12)=　　　　　.
解析:令x=y=0,得f(0)=2f(0),于是f(0)=0,
即f(0)=f(3)+f(-3),得f(3)=-a,
于是f(6)=2f(3)=-2a,f(12)=2f(6)=-4a.
答案:-4a
16.已知投资x万元,经销甲商品所获得的利润为P=;经销乙商品所获得的利润为Q=(a>0).若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品,使所获得的利润不少于5万元,则a的最小值为　　　　　.
解析:设投资甲商品(20-x)万元,则投资乙商品x万元(0≤x≤20).
利润分别为P=和Q=.
因为当0≤x≤20时,P+Q=≥5恒成立,所以2a≥x.
因为0≤x≤20,所以a≥,故a的最小值为.
答案:
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知函数f(x)=且f(2)=0.
(1)求f(f(0));
(2)若f(m)=m,求实数m的值.
解:(1)由f(2)=0,得2a-1=0,于是a=.
因此f(x)=
即f(0)=-1,故f(f(0))=f(-1)=-1.
(2)当m≥0时,由f(m)=m,
得m-1=m,解得m=-2(舍去);
当m<0时,由f(m)=m,
得=m,解得m=-1或m=1(舍去),
故实数m的值等于-1.
18.(12分)已知f(x)=是定义在区间(-∞,b-3]∪[b-1,+∞)内的奇函数.
(1)若f(2)=3,求a,b的值;
(2)若x=-1是方程f(x)=0的一个根,求函数f(x)在区间[2,4]上的值域.
解:(1)由f(x)为奇函数,得(b-3)+(b-1)=0,
解得b=2.
由f(2)=3,得=3,解得a=1.
故a,b的值分别为1,2.
(2)由条件知,f(-1)=0,
所以a+2=0,因此a=-2.
则f(x)==-2x+.
因为f(x)在区间[2,4]上单调递减,
所以f(x)的最大值为f(2)=-3,最小值为f(4)=-.
故函数f(x)在区间[2,4]上的值域为.
19.(12分)已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增.
(1)求f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=+2x+c,若g(x)>2对任意x∈R恒成立,求实数c的取值范围.
解:(1)由于幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)内单调递增,则-m2+2m+3为偶数,且-m2+2m+3>0,得-1当m=0与m=2时,-m2+2m+3=3是奇数,不合题意;当m=1时,f(x)=x4,符合题意,即f(x)=x4.
(2)由(1)知g(x)=x2+2x+c=(x+1)2+c-1,若g(x)>2对任意x∈R恒成立,则c-1>2,即c>3.故实数c的取值范围为(3,+∞).
20.(12分)设f(x)为定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=-(x-2)2+2.
(1)求函数f(x)在R上的解析式;
(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象;
(3)若方程f(x)-k=0有四个解,求实数k的取值范围.
解:(1)若x<0,则-x>0,f(x)=f(-x)=-(-x-2)2+2=-(x+2)2+2,
则f(x)=
(2)函数f(x)的图象如图所示.
(3)由于方程f(x)-k=0的解就是函数y=f(x)的图象与直线y=k的交点的横坐标,观察函数y=f(x)的图象与直线y=k的交点情况可知,当-221.(12分)某公司计划投资A,B两种金融产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资量成正比例,其关系如图①,B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例,其关系如图②(利润与投资量的单位:万元).
图①
图②
(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资量的函数;
(2)该公司已有10万元资金,并全部投入A,B两种产品中,怎样分配这10万元投资,才能使公司获得最大利润 其最大利润为多少万元
解:(1)设投资x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品的利润为g(x)万元,
依题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2.
由题图①,得f(1)=0.2,即k1=0.2=.
由题图②,得g(4)=1.6,即k2×=1.6,
得k2=.
故f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0).
(2)设B产品投入x万元,则A产品投入(10-x)万元,企业利润为y万元,
由(1)得y=f(10-x)+g(x)=-x++2(0≤x≤10).
因为y=-x++2=--2)2+,0≤,
所以当=2,即x=4时,ymax==2.8.
因此当A产品投入6万元,B产品投入4万元时,该企业获得最大利润,且最大利润为2.8万元.
22.(12分)已知函数f(x)=为奇函数.
(1)求b的值;
(2)证明:函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递减;
(3)解关于x的不等式f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)>0.
(1)解:因为函数f(x)=为定义在R上的奇函数,所以f(0)=b=0.
(2)证明:由(1)可得f(x)=,下面证明函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递减.
设任意x1,x2∈(1,+∞),且x2>x1,
则有f(x1)-f(x2)=
=
=.
根据x2>x1>1,可得1+>0,1+>0,x1-x2<0,1-x1x2<0,即>0,
即f(x1)>f(x2),故函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递减.
(3)解:由不等式f(1+2x2)+f(-x2+2x-4)>0,
且f(x)为奇函数,
可得f(1+2x2)>-f(-x2+2x-4)=f(x2-2x+4).
由函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递减,可得1+2x2解得-321世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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