新人教A版必修第二册第6章平面向量及其应用测评（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
第六章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知=(2,8),=(-7,2),则等于(　　)
A.(3,2) B
C.(-3,-2) D
2.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于(　　)
A.4 B.3 C.2 D.0
3.设D为△ABC所在平面内一点,=-,若=(λ∈R),则λ等于(　　)
A.2 B.3 C.-2 D.-3
4.在△ABC中,点M是BC的中点,AM=1,点P在AM上,且满足AP=2PM,则()等于(　　)
A.- B.- C D
5.在△ABC中,a=1,B=45°,△ABC的面积为2,则该三角形外接圆的半径为(　　)
A.2 B.4 C D.3
6.设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
7.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
8.已知甲船在湖中B岛的正南方向A处,AB=3 km,甲船以8 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从B岛出发,以12 km/h的速度向北偏东60°方向驶去,当行驶15 min时,两船的距离是(　　)
A km B km
C km D km
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.设向量a=(1,0),b=,则下列结论正确的是(　　)
A.|a|=|b| B.|a-b|=
C.a-b与b垂直 D.a∥(a-2b)
10.在△ABC中,下列说法正确的是(　　)
A.>0”是“△ABC是锐角三角形”的充分不必要条件
B.<0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件
C.“||=||”是“A为直角”的充要条件
D.“||>||”是“A为锐角”的充要条件
11.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(　　)
A.若,则点M是边BC的中点
B.若=2,则点M在边BC的延长线上
C.若=-,则点M是△ABC的重心
D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,bsin A=acos B,sin C=2sin A,则(　　)
A.B=
B.a=
C.△ABC的面积S=3
D.△ABC的外接圆半径R=
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.设向量a=(1,0),b=(-1,m),若a⊥(ma-b),则m=　　　　　.
14.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边.若2asin B=b,b+c=5,bc=6,则a=　　　　　.
15.已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,设a,c的夹角为θ,则cos θ=　　　　　.
16.在△ABC中,∠ABC=,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=,则BD=　　　　,cos∠ABD=　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<α<β<π.
(1)求|a|的值;
(2)求证:a+b与a-b互相垂直.
18.(12分)设=(2,-1),=(3,0),=(m,3).
(1)当m=8时,将表示;
(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.
19.(12分)已知向量a=3e1-2e2,b=4e1+e2,其中e1=(1,0),e2=(0,1).求:
(1)a·b,|a+b|;
(2)a与b的夹角的余弦值.
20.(12分)在①3c2=16S+3(b2-a2);②5bcos C+4c=5a这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,然后解答补充完整的题目.
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,已知　　　　　　　　　　　　.
(1)求tan B的值;
(2)若S=42,a=10,求b的值.
注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分.
21.(12分)如图,A,B两个小岛相距21海里,B岛在A岛的正南方,现甲船从A岛出发,以9海里/时的速度向B岛方向行驶,而乙船同时以6海里/时的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶,行驶多少时间时,两船相距最近 求出两船的最近距离.
22.(12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.
(1)求角A的大小;
(2)若sin B+sin C=,试判断△ABC的形状.
第六章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知=(2,8),=(-7,2),则等于(　　)
A.(3,2) B
C.(-3,-2) D
解析:=(-7,2)-(2,8)=(-9,-6),
(-9,-6)=(-3,-2).
答案:C
2.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)等于(　　)
A.4 B.3 C.2 D.0
解析:a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-(-1)=2+1=3,故选B.
答案:B
3.设D为△ABC所在平面内一点,=-,若=(λ∈R),则λ等于(　　)
A.2 B.3 C.-2 D.-3
解析:因为=-,
所以3=-+4,
则3-3=-,即3,
故=-3,则λ=-3.
答案:D
4.在△ABC中,点M是BC的中点,AM=1,点P在AM上,且满足AP=2PM,则()等于(　　)
A.- B.- C D
解析:由题意可知点P是△ABC的重心,则=0,故()=-=-=-
答案:A
5.在△ABC中,a=1,B=45°,△ABC的面积为2,则该三角形外接圆的半径为(　　)
A.2 B.4 C D.3
解析:由三角形的面积公式,得2=acsinB=c,得c=4
∵b2=a2+c2-2accosB=1+32-2×1×4=25,
∴b=5.
=2R(R为△ABC外接圆的半径),
∴R=
答案:C
6.设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:|a-3b|=|3a+b| |a-3b|2=|3a+b|2 a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2,因为a,b均为单位向量,所以a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2 a·b=0 a⊥b,即“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的充分必要条件.故选C.
答案:C
7.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
解析:由bcosC+ccosB=asinA及正弦定理,得sinBcosC+sinCcosB=sin2A.
∵B+C=π-A,
∴sinA=sin2A.
又A为△ABC的内角,
∴sinA=1,A=90°,
∴△ABC为直角三角形.
答案:A
8.已知甲船在湖中B岛的正南方向A处,AB=3 km,甲船以8 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从B岛出发,以12 km/h的速度向北偏东60°方向驶去,当行驶15 min时,两船的距离是(　　)
A km B km
C km D km
解析:如图,由题意知AM=8=2,BN=12=3,MB=AB-AM=3-2=1,
由余弦定理得MN2=MB2+BN2-2MB·BNcos120°=1+9-2×1×3=13,故MN=km.
答案:B
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.设向量a=(1,0),b=,则下列结论正确的是(　　)
A.|a|=|b| B.|a-b|=
C.a-b与b垂直 D.a∥(a-2b)
解析:|a|=1,|b|=,故A不正确;
∵a-b=,
∴|a-b|=,故B正确;
∴(a-b)·b==0,
∴(a-b)⊥b,故C正确;
∵a-2b=(0,-1),
∴a·(a-2b)=0,
∴a⊥(a-2b),故D不正确.
答案:BC
10.在△ABC中,下列说法正确的是(　　)
A.>0”是“△ABC是锐角三角形”的充分不必要条件
B.<0”是“△ABC是钝角三角形”的充分不必要条件
C.“||=||”是“A为直角”的充要条件
D.“||>||”是“A为锐角”的充要条件
解析:>0,∴||||cosA>0,
∴cosA>0,∴A为锐角,但是并不能判定△ABC是锐角三角形,故A不正确.
由<0,可得A为钝角,即△ABC是钝角三角形.
反之,△ABC是钝角三角形不一定能得出A为钝角,故B正确.
||=|| ||=|| ||2=||2=0 A为直角,
故C正确.
同样地,||>||>0 A为锐角,故D正确.
答案:BCD
11.设点M是△ABC所在平面内一点,则下列说法正确的是(　　)
A.若,则点M是边BC的中点
B.若=2,则点M在边BC的延长线上
C.若=-,则点M是△ABC的重心
D.若=x+y,且x+y=,则△MBC的面积是△ABC面积的
解析:A项,,即,则点M是边BC的中点,所以A正确;
B项,=2,即,则点M在边CB的延长线上,所以B错误;
C项,如图,设BC的中点为D,则=-=2,由重心性质可知C正确;
D项,=x+y,且x+y=2=2x+2y,2x+2y=1,
设=2,因为=2x+2y,2x+2y=1,可知B,C,D三点共线,
所以△MBC的面积是△ABC面积的,所以D正确.
答案:ACD
12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=3,bsin A=acos B,sin C=2sin A,则(　　)
A.B=
B.a=
C.△ABC的面积S=3
D.△ABC的外接圆半径R=
解析:A项中,∵bsinA=acosB,
∴sinBsinA=sinAcosB,
∵A为△ABC的内角,
∴sinA>0,∴tanB=
∵0故A正确.
B项中,∵sinC=2sinA,∴c=2a.
由选项A知B=,又b2=a2+c2-2accosB,
∴a2+(2a)2-2a·2a=9,
∴a=,c=2
故B正确.
C项中,S△ABC=acsinB=2故C不正确.
D项中,2R==2,则R=故D正确.
答案:ABD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.设向量a=(1,0),b=(-1,m),若a⊥(ma-b),则m=　　　　　.
解析:∵a=(1,0),b=(-1,m),
∴ma-b=(m,0)-(-1,m)=(m+1,-m).
由a⊥(ma-b),得a·(ma-b)=0,
则a·(ma-b)=m+1=0,即m=-1.
答案:-1
14.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边.若2asin B=b,b+c=5,bc=6,则a=　　　　　.
解析:因为2asinB=b,所以2sinAsinB=sinB,
所以sinA=
因为△ABC为锐角三角形,所以cosA=
因为bc=6,b+c=5,所以b=2,c=3或b=3,c=2.
所以a2=b2+c2-2bccosA=7,所以a=(负值舍去).
答案:
15.已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,设a,c的夹角为θ,则cos θ=　　　　　.
解析:∵a,b为单位向量,
∴|a|=|b|=1.
又a·b=0,c=2a-b,
∴|c|2=4|a|2+5|b|2-4a·b=9,
∴|c|=3.
又a·c=2|a|2-a·b=2,
∴cosθ=
答案:
16.在△ABC中,∠ABC=,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=,则BD=　　　　,cos∠ABD=　　　　.
解析:在△ABD中,由正弦定理,得
因为AB=4,∠ADB=,AC==5,
所以sin∠BAC=,cos∠BAC=,
所以BD=
cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=coscos∠BAC+sinsin∠BAC=
答案:
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<α<β<π.
(1)求|a|的值;
(2)求证:a+b与a-b互相垂直.
(1)解:∵|a|==1,
∴|a|=1.
(2)证明:∵|a|2=cos2α+sin2α=1,|b|2=sin2β+cos2β=1,
∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0,
∴a+b与a-b互相垂直.
18.(12分)设=(2,-1),=(3,0),=(m,3).
(1)当m=8时,将表示;
(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.
解:(1)当m=8时,=(8,3),
设=λ1+λ2,
则(8,3)=λ1(2,-1)+λ2(3,0)=(2λ1+3λ2,-λ1),
得
解得
故=-3
(2)若A,B,C三点能构成三角形,则有不共线,又=(3,0)-(2,-1)=(1,1),
=(m,3)-(2,-1)=(m-2,4),
则有1×4-(m-2)×1≠0,得m≠6.
19.(12分)已知向量a=3e1-2e2,b=4e1+e2,其中e1=(1,0),e2=(0,1).求:
(1)a·b,|a+b|;
(2)a与b的夹角的余弦值.
解:(1)∵a=3e1-2e2=3(1,0)-2(0,1)=(3,0)-(0,2)=(3,-2),b=4e1+e2=4(1,0)+(0,1)=(4,0)+(0,1)=(4,1),
∴a·b=4×3+(-2)×1=10.
∵a+b=(7,-1),
∴|a+b|==5
(2)设a与b的夹角为θ,则cosθ=
20.(12分)在①3c2=16S+3(b2-a2);②5bcos C+4c=5a这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,然后解答补充完整的题目.
在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,已知　　　　　　　　　　　　.
(1)求tan B的值;
(2)若S=42,a=10,求b的值.
注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分.
解:选择条件①:
(1)由题意得8acsinB=3(a2+c2-b2),
即4sinB=3·,
整理可得3cosB-4sinB=0,
因为cosB≠0,
所以tanB=.
(2)由tanB=,
得sinB=,
因为S=42,a=10,
所以S=acsinB=×10c×=42,
解得c=14.
将S=42,a=10,c=14代入3c2=16S+3(b2-a2)中,得3×142=16×42+3(b2-102),
解得b=6.
选择条件②:
(1)因为5bcosC+4c=5a,
由正弦定理,得5sinBcosC+4sinC=5sinA,5sinBcosC+4sinC=5sin(B+C),即sinC(4-5cosB)=0.
因为在△ABC中,sinC≠0,所以cosB=,
又0所以tanB=
(2)由S=acsinB=10c=42,
解得c=14.
又a=10,由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB,
即b2=100+196-2×140=72,得b=6
21.(12分)如图,A,B两个小岛相距21海里,B岛在A岛的正南方,现甲船从A岛出发,以9海里/时的速度向B岛方向行驶,而乙船同时以6海里/时的速度离开B岛向南偏东60°方向行驶,行驶多少时间时,两船相距最近 求出两船的最近距离.
解:设行驶t时后,甲船行驶了9t海里到达C处,乙船行驶了6t海里到达D处.
①当9t<21,即t<时,C在线段AB上,此时BC=21-9t.
BD=6t,∠CBD=180°-60°=120°,
由余弦定理知CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos120°=(21-9t)2+(6t)2-2×(21-9t)·6t=63t2-252t+441=63(t-2)2+189.
当t=2时,CD取得最小值3
②当t=时,C与B重合,
则CD=6=14>3
③当t>时,BC=9t-21,
则CD2=(9t-21)2+(6t)2-2·(9t-21)·6t·cos60°=63t2-252t+441=63(t-2)2+189>189.
综上可知,当t=2时,CD取最小值3
故行驶2时时,甲、乙两船相距最近,为3海里.
22.(12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.
(1)求角A的大小;
(2)若sin B+sin C=,试判断△ABC的形状.
解:(1)由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,
得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,
则cosA=,
∵0°(2)∵A+B+C=180°,
∴B+C=180°-60°=120°.
∵sinB+sinC=,即sinB+sin(120°-B)=,
∴sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=,
sinB+cosB=,即sin(B+30°)=1.
∵0°∴B+30°=90°,B=60°.
∴A=B=C=60°,△ABC为正三角形.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)