新人教A版必修第二册第7章复数测评（含解析）

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第七章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知a,b∈R,则“a=b”是“(a-b)+(a+b)i为纯虚数”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2.若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则a,b的值分别等于(　　)
A.3,-2 B.3,2
C.3,-3 D.-1,4
3.已知复数z=-1,在复平面内z所对应的点在 (　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数是,则等于(　　)
A.-1-2i B.-2+i
C.-1+2i D.1+2i
5.已知在复平面内,向量对应的复数分别为-2+i,3-i,1+5i,则对应的复数是(　　)
A.-6i B.6i
C.5i D.-5i
6.已知复数z1=2+ai(a∈R),z2=1-2i,若为纯虚数,则|z1|等于(　　)
A B
C.2 D
7.若z=cos θ+isin θ(i为虚数单位),则使z2=-1的θ值可能是(　　)
A B C D
8.设△ABC的两个内角A,B所对的边分别为a,b,复数z1=a+bi,z2=cos A+icos B,若复数z1·z2在复平面内对应的点在虚轴上,则△ABC是(　　)
A.等腰三角形或直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知(x+i)(1-i)=y,则下列说法正确的是(　　)
A.若x,y为实数,则x=1,y=2
B.若x,y为实数,则|x+yi|=3
C.若x为实数,y为纯虚数,则x=-1,y=2i
D.若x为实数,y为纯虚数,则复数x+yi为实数
10.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(1-2i)(a+i),则下列说法正确的是(　　)
A.若复数z为实数,则a=
B.若复数z为纯虚数,则a=-2
C.若复数z在复平面内对应的点在第四象限,则a>
D.若复数z的共轭复数为,且z=10,则a=1
11.已知z1=1+2i,z2=m+(m-1)i(m∈R),则下列说法正确的是(　　)
A.复数z2对应的点不可能在第二象限
B.若复数z2的模与复数z1的模相等,则m=2
C.若z1z2的实部和虚部为相等的正数,则m=
D.若z1z2为纯虚数,则m=
12.设z1,z2是复数,则下列说法正确的是(　　)
A.若|z1+z2|=0,则
B.若z1=,则=z2
C.若|z1|=|z2|,则z1=z2
D.若|z1|=|z2|,则
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知复数z=(3+i)2(i为虚数单位),则|z|=　　　　　.
14.i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=　　　　　,=　　　　　.
*15.在复平面内,将复数1+i对应的向量绕点O按逆时针方向旋转,得到的向量为,那么对应的复数是　　　　　(用代数形式表示).
16.若关于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i=0有实数根,则纯虚数m=　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,z1·z2是实数,求z2.
18.(12分)已知复数z1=m+(m2-2m)i,z2=1+(-m2+3m-1)i,其中m∈R.
(1)若复数z1为实数,求m的值;
(2)求|z1+z2|的最小值.
19.(12分)已知复数z=(2+i)m2--2(1-i).求实数m取什么值时,复数z是:(1)零;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数
20.(12分)已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
21.(12分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部是2.
(1)求复数z;
(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积.
22.(12分)已知复数z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,且z1+i,求复数z1,z2的值.
第七章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知a,b∈R,则“a=b”是“(a-b)+(a+b)i为纯虚数”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
解析:(a-b)+(a+b)i为纯虚数的充要条件是实数a,b满足即a=b,且a≠-b,也就是a=b≠0.
结合题意知充分性不成立,必要性成立,故选C.
答案:C
2.若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则a,b的值分别等于(　　)
A.3,-2 B.3,2
C.3,-3 D.-1,4
答案:A
3.已知复数z=-1,在复平面内z所对应的点在 (　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析:z=-1=-1=-1+i.
答案:B
4.设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数是,则等于(　　)
A.-1-2i B.-2+i
C.-1+2i D.1+2i
解析:由题意可得=-1+2i,故选C.
答案:C
5.已知在复平面内,向量对应的复数分别为-2+i,3-i,1+5i,则对应的复数是(　　)
A.-6i B.6i
C.5i D.-5i
解析:=-,
对应的复数为-(3-i)-(-2+i)+1+5i=5i.
答案:C
6.已知复数z1=2+ai(a∈R),z2=1-2i,若为纯虚数,则|z1|等于(　　)
A B
C.2 D
解析:由于为纯虚数,则a=1,即z1=2+i,则|z1|=,故选D.
答案:D
7.若z=cos θ+isin θ(i为虚数单位),则使z2=-1的θ值可能是(　　)
A B C D
解析:∵z2=(cosθ+isinθ)2=cos2θ+isin2θ=-1,
∴2θ=2kπ+π(k∈Z).
∴θ=kπ+(k∈Z),令k=0知选D.
答案:D
8.设△ABC的两个内角A,B所对的边分别为a,b,复数z1=a+bi,z2=cos A+icos B,若复数z1·z2在复平面内对应的点在虚轴上,则△ABC是(　　)
A.等腰三角形或直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等腰三角形
D.直角三角形
解析:z1·z2=(a+bi)(cosA+icosB)
=(acosA-bcosB)+(acosB+bcosA)i,
∵z1·z2在复平面内对应的点在虚轴上,
∴acosA-bcosB=0,
即sinAcosA-sinBcosB=0,
∴sin2A=sin2B,
∴2A=2B或2A+2B=π,
∴A=B或A+B=
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
答案:A
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知(x+i)(1-i)=y,则下列说法正确的是(　　)
A.若x,y为实数,则x=1,y=2
B.若x,y为实数,则|x+yi|=3
C.若x为实数,y为纯虚数,则x=-1,y=2i
D.若x为实数,y为纯虚数,则复数x+yi为实数
解析:A项中,∵(x+i)(1-i)=(x+1)+(1-x)i,
∴(x+1)+(1-x)i=y.
解得故A正确.
B项中,由A项知,x+yi=1+2i,所以|x+yi|=,故B不正确.
C项中,设y=bi(b∈R),∵(x+i)(1-i)=(x+1)+(1-x)i,∴(x+1)+(1-x)i=y=bi.
∴x=-1,y=2i,故C正确.
D项中,由C项知,x+yi=-1+2i×i=-1-2=-3,故D正确.
答案:ACD
10.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(1-2i)(a+i),则下列说法正确的是(　　)
A.若复数z为实数,则a=
B.若复数z为纯虚数,则a=-2
C.若复数z在复平面内对应的点在第四象限,则a>
D.若复数z的共轭复数为,且z=10,则a=1
解析:z=(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i,
A项中,∵z为实数,
∴1-2a=0,a=,故A正确;
B项中,∵z为纯虚数,
∴a+2=0,且1-2a≠0,∴a=-2,故B正确;
C项中,∵z对应的点在第四象限,
∴a+2>0,且1-2a<0,∴a>,故C正确;
D项中,∵z=|z|2=(a+2)2+(1-2a)2=5a2+5=10,∴a=±1,故D不正确.
答案:ABC
11.已知z1=1+2i,z2=m+(m-1)i(m∈R),则下列说法正确的是(　　)
A.复数z2对应的点不可能在第二象限
B.若复数z2的模与复数z1的模相等,则m=2
C.若z1z2的实部和虚部为相等的正数,则m=
D.若z1z2为纯虚数,则m=
解析:A项中,若复数z2对应的点在第二象限,则不等式无解,故A正确;
B项中,∵|z1|=,∴|z2|=,解得m=2或m=-1,故B不正确;
C项中,z1z2=(1+2i)[m+(m-1)i]=(m-2m+2)+(2m+m-1)i=(2-m)+(3m-1)i,则有2-m=3m-1,得m=故C正确;
D项中,由C项知,z1z2=(2-m)+(3m-1)i,则2-m=0,且3m-1≠0,得m=2.故D不正确.
答案:AC
12.设z1,z2是复数,则下列说法正确的是(　　)
A.若|z1+z2|=0,则
B.若z1=,则=z2
C.若|z1|=|z2|,则z1=z2
D.若|z1|=|z2|,则
解析:对于A,若|z1+z2|=0,则z1+z2=0,z1=-z2,故不正确;对于B,若z1=,则z1和z2互为共轭复数,故=z2;对于C,设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2∈R),若|z1|=|z2|,则,z1·,z2·,故z1·=z2·;对于D,若z1=1,z2=i,则|z1|=|z2|,而=1,=-1,故不正确.
答案:BC
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知复数z=(3+i)2(i为虚数单位),则|z|=　　　　　.
解析:(方法一)∵z=(3+i)2,
∴|z|=|(3+i)2|=|3+i|2=10.
(方法二)∵z=(3+i)2=9+6i+i2=8+6i,
∴|z|==10.
答案:10
14.i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=　　　　　,=　　　　　.
解析:∵点(2,-3)关于原点的对称点是(-2,3),
∴z2=-2+3i.
=-1.
答案:-2+3i　-1
*15.在复平面内,将复数1+i对应的向量绕点O按逆时针方向旋转,得到的向量为,那么对应的复数是　　　　　(用代数形式表示).
解析:对应的复数是(1+i)cos+isin=(1+i)2=i.
答案:i
16.若关于x的方程x2+(2-i)x+(2m-4)i=0有实数根,则纯虚数m=　　　　　.
解析:设m=bi(b∈R,且b≠0),
则x2+(2-i)x+(2bi-4)i=0,
化简得(x2+2x-2b)+(-x-4)i=0,
即
解得
故m=4i.
答案:4i
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,z1·z2是实数,求z2.
解:(z1-2)(1+i)=1-i z1=2-i.
设z2=a+2i(a∈R),
则z1z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i.
∵z1z2∈R,
∴a=4,
∴z2=4+2i.
18.(12分)已知复数z1=m+(m2-2m)i,z2=1+(-m2+3m-1)i,其中m∈R.
(1)若复数z1为实数,求m的值;
(2)求|z1+z2|的最小值.
解:(1)由复数z1为实数,
则m2-2m=0,
解得m=2或m=0.
(2)因为z1+z2=(m+1)+(m-1)i,
所以|z1+z2|=,
故当m=0时,|z1+z2|的最小值为
19.(12分)已知复数z=(2+i)m2--2(1-i).求实数m取什么值时,复数z是:(1)零;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数
解:因为m∈R,
所以复数z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.
(1)当即m=2时,z为零.
(2)当m2-3m+2≠0,即m≠2,且m≠1时,z为虚数.
(3)当即m=-时,z为纯虚数.
(4)当2m2-3m-2=-(m2-3m+2),
即m=0或m=2时,z是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数.
20.(12分)已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
解:设z=x+yi(x,y∈R),
∵z+2i=x+(y+2)i是实数,
∴y=-2.
(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i是实数,
∴x=4,
∴z=4-2i.
∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,
根据条件,可知
解得2∴实数a的取值范围是(2,6).
21.(12分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部是2.
(1)求复数z;
(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积.
解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),
由已知条件得,a2+b2=2,①
∵z2=a2-b2+2abi,∴2ab=2.②
由①②解得a=b=1或a=b=-1,
即z=1+i或z=-1-i.
(2)当z=1+i时,z2=(1+i)2=2i,z-z2=1-i,
即点A(1,1),B(0,2),C(1,-1),
得S△ABC=|AC|·1=2×1=1;
当z=-1-i时,z2=(-1-i)2=2i,z-z2=-1-3i.
即点A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),
得S△ABC=|AC|·1=2×1=1.
故△ABC的面积为1.
22.(12分)已知复数z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,且z1+i,求复数z1,z2的值.
解:由z1+i,得cosα+isinα+i,
则cosα+isinα+cosβ+isinβ=i,
即(cosα+cosβ)+i(sinα+sinβ)=i.
得
即cos2α+sin2α==1,
整理,得cosβ=1-sinβ,代入sin2β+cos2β=1,
可解得sinβ=0或sinβ=
当sinβ=0时,cosβ=1,cosα=-,sinα=;
当sinβ=时,cosβ=-,cosα=1,sinα=0.
故z1=-i,z2=1或z1=1,z2=-i.
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