新人教A版必修第二册第9章统计测评（含解析）

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第九章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.某高级中学高一年级有十六个班,共812人,高二年级有十二个班,共605人,高三年级有十个班,共497人.学校为加强民主化管理,现欲成立由76人组成的学生代表会,你认为下列代表产生的办法中,最符合统计抽样原则的是 (　　)
A.指定各班团支部书记、班长为代表
B.全校选举出76人
C.高三选举出20人,高二选举出24人,高一选举出32人
D.高三20人,高二24人,高一32人,均在各年级随机抽取
2.一个容量为100的样本,其数据的分组与各组的频数如下:
组别 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
频数 12 13 24 15 16 13 7
则样本数据在区间[10,40)内的频率为(　　)
A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.64
3.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做比例分配的分层随机抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　)
A.101 B.808 C.1 212 D.2 012
4.2020年学期末,某学校对100间学生公寓进行综合评比,依考核分数分为A,B,C,D四个等级,其中分数在区间[60,70)内的为D等级,有15间;分数在区间[70,80)内的为C等级,有40间;分数在区间[80,90)内的为B等级,有20间;分数在区间[90,100]上的为A等级,有25间.考核评估后,得其频率分布直方图如图所示,估计这100间学生公寓评比得分的80%分位数是(　　)
A.90 B.92 C.95 D.80
5.已知由小到大排列的一组数据x1,x2,x3,x4,x5,其中每个数据都小于-1,则数据1,x1,-x2,x3,-x4,x5的中位数可以表示为(　　)
A.(1+x2) B.(x2-x1)
C.(1+x5) D.(x3-x4)
6.某高中在校学生有2 000人,高一与高二学生人数相同并都比高三多1人.为了响应“阳光体育运动”号召,学校举行了跑步和登山比赛活动.每名学生都参加而且只参加其中一项比赛,各年级参与比赛人数情况如下表:
比赛活动 高一 高二 高三
跑步 a b c
登山 x y z
其中a∶b∶c=2∶3∶5,全校参与登山的人数占总人数的.为了解学生对本次活动的满意程度,从中采用比例分配的分层随机抽样抽取一个200人的样本进行调查,则从高二参与跑步的学生中应抽取(　　)
A.36人 B.60人 C.24人 D.30人
7.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如下:
甲 9　14　15　15　16　21
乙 8　13　15　15　17　22
分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数,分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差,则有(　　)
A. B.
C. D.
8.对“小康县”的经济评价标准:
①年人均收入不低于7 000元;
②年人均食品支出不大于收入的35%.
某县有40万人,调查数据如下:
年人均收入/元 0 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 16 000
人数/万人 6 3 5 5 6 7 5 3
则该县(　　)
A.是“小康县”
B.达到标准①,未达到标准②,不是“小康县”
C.达到标准②,未达到标准①,不是“小康县”
D.两个标准都未达到,不是“小康县”
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则(　　)
A.该校女教师的人数为137
B.该校男教师的人数为123
C.该校女教师约占55%
D.该校男教师约占47.3%
10.某学校为调查学生在一周生活方面的支出(单位:元)情况,随机抽取了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在区间[50,60]上的学生有60人,则下列说法正确的是(　　)
A.样本中支出在区间[50,60]上的频率为0.03
B.样本中支出不少于40元的人数有132
C.n的值为200
D.若该校有2 000名学生,则一定有600名学生的支出在区间[50,60]上
11.某班级有50名学生,其中30名男生、20名女生.随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩,5名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,5名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.则下列说法不正确的是 (　　)
A.这种抽样方法是一种比例分配的分层随机抽样
B.这种抽样方法是一种简单随机抽样
C.这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差
D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
12.某地区某种传染性病毒流行期间,为了建立指标来显示疫情已受控制,以便向该地区居民传达可以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5”,根据连续7天的新增病例数计算,下列选项中,一定符合上述指标的是(　　)
A.平均数≤3
B.平均数≤3且标准差s≤2
C.平均数≤3且极差小于或等于2
D.众数等于1且极差小于或等于4
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.某校高一、高二、高三分别有学生1 600名、1 200名、800名.为了解该校高中学生的牙齿健康情况,按年级进行分层,采用比例分配的分层随机抽样.若从高三抽取20名学生,则从高一、高二共需抽取的学生人数为　　　　　.
14.某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:
7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
则(1)平均命中环数为　　　　　;
(2)命中环数的标准差为　　　　　.
15.高校毕业生就业季,某社会调研机构对即将毕业的大学生就业所期望的月薪(单位:元)进行调查,共调查了3 000名大学生,并根据所得数据绘制了频率分布直方图(如图),则期望月薪在区间[4 500,5 500)内的大学生有　　　名.
16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)某市高一年级课外兴趣小组就“今年我市究竟能有多少天空气质量达到优良”的问题展开了统计调查,他们根据市环保监测站提供的资料(见下表),从中随机抽查了本市今年1~4月份中30天空气质量指数.
空气质量指数表
空气质量指数 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 >300
空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
本市今年1~4月份30天空气质量指数如下:
30,32,40,42,45,45,77,83,85,87,90,113,127,53,67,38,45,48,53,57,64,66,77,92,98,130,84,101,135,43
请根据空气质量指数表和抽查的空气质量指数,解答以下问题:
(1)写出统计数据中的中位数、众数;
(2)请根据抽样数据,估计该市今年(按365天计算)空气质量等级是优或良的天数.
18.(12分)随着互联网的发展,移动支付(又称手机支付)越来越普遍,某学校兴趣小组为了解移动支付在大众中的熟知度,对年龄在15~65岁之间的人群进行随机抽样调查,调查的问题是“你会使用移动支付吗 ”其中,回答“会”的共有n个人,把这n个人按照年龄分成5组:第1组[15,25),第2组[25,35),第3组[35,45),第4组[45,55),第5组[55,65],然后绘制成的频率分布直方图如图所示,其中第1组的频数为20.
(1)求n和x的值,并根据频率分布直方图估计这组数据的众数;
(2)从第1,3,4组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人,求从第1,3,4组抽取的人数.
19.(12分)某中学共有1 000名学生参加了该地区高三第一次质量检测数学考试,数学成绩如下表所示.
数学成绩分组 [0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150]
人数 60 90 300 x 160
(1)已知本次数学成绩的优秀线为110分,试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数;
(2)作出频率分布直方图,并估计该学校本次数学考试成绩的中位数和80%分位数.
20.(12分)某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w的部分按4元/t收费,超出w t的部分按10元/t收费.从该市随机调查了10 000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到频率分布直方图如图所示.
(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/t,w至少定为多少
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.
21.(12分)某工厂36名工人的年龄数据如下表:
工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄
1 40 10 36 19 27 28 34
2 44 11 31 20 43 29 39
3 40 12 38 21 41 30 43
4 41 13 39 22 37 31 38
5 33 14 43 23 34 32 42
6 40 15 45 24 42 33 53
7 45 16 39 25 37 34 37
8 42 17 38 26 44 35 49
9 43 18 36 27 42 36 39
(1)用简单随机抽样方法从36名工人中抽取一个容量为9的样本,样本中工人编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,列出样本的年龄数据;
(2)计算(1)中样本平均数和方差s2;
(3)36名工人中年龄在-s与+s之间有多少人 所占的百分比是多少 (精确到0.01%)
22.(12分)已知某池塘养殖着鲤鱼和鲫鱼,为估计这两种鱼的数量,养殖者从池塘中捕出这两种鱼共2 000条,给每条鱼做上不影响其存活的标记,然后放回池塘,待完全混合后,再每次从池塘中随机地捕出1 000条鱼,记录下其中有记号的鱼的数目后,立即放回池塘中.这样的记录做了10次,记录获取的数据如下:
鲤鱼:60,72,72,76,80,80,88,88,92,92;
鲫鱼:16,17,19,20,20,20,21,21,23,23.
(1)根据上述数据计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数,并估计池塘中的鲤鱼和鲫鱼的数量;
(2)为了估计池塘中鱼的总质量,现按照(1)中的比例对100条鱼进行称重,根据称重,鱼的质量位于区间[0,4.5](单位:kg)上,将测量结果按如下方式分成九组:第一组[0,0.5),第二组[0.5,1),…,第九组[4,4.5].按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示.
①估计池塘中鱼的质量在3 kg及以上的条数;
②若第三组鱼的条数比第二组多7条、第四组鱼的条数比第三组多7条,请将频率分布直方图补充完整;
③在②的条件下估计池塘中鱼的质量的众数及池塘中鱼的总质量.
第九章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.某高级中学高一年级有十六个班,共812人,高二年级有十二个班,共605人,高三年级有十个班,共497人.学校为加强民主化管理,现欲成立由76人组成的学生代表会,你认为下列代表产生的办法中,最符合统计抽样原则的是 (　　)
A.指定各班团支部书记、班长为代表
B.全校选举出76人
C.高三选举出20人,高二选举出24人,高一选举出32人
D.高三20人,高二24人,高一32人,均在各年级随机抽取
解析:以年级为层,按各年级所占的比例进行抽样,为了使抽取的学生具有代表性,应在各年级中进行随机抽样.
答案:D
2.一个容量为100的样本,其数据的分组与各组的频数如下:
组别 [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70]
频数 12 13 24 15 16 13 7
则样本数据在区间[10,40)内的频率为(　　)
A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.64
解析:频率为=0.52.
答案:C
3.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲、乙、丙、丁四个社区做比例分配的分层随机抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　)
A.101 B.808 C.1 212 D.2 012
解析:由题意得,解得N=808.
答案:B
4.2020年学期末,某学校对100间学生公寓进行综合评比,依考核分数分为A,B,C,D四个等级,其中分数在区间[60,70)内的为D等级,有15间;分数在区间[70,80)内的为C等级,有40间;分数在区间[80,90)内的为B等级,有20间;分数在区间[90,100]上的为A等级,有25间.考核评估后,得其频率分布直方图如图所示,估计这100间学生公寓评比得分的80%分位数是(　　)
A.90 B.92 C.95 D.80
解析:根据题意,由直方图可知,分数在区间[60,70)内的频率为0.15,在区间[70,80)内的频率为0.40,在区间[80,90)内的频率为0.20,其和为0.75,故可知80%分位数在区间[90,100]上,由90+10×=92,估计这100间学生公寓评比得分的80%分位数为92.
答案:B
5.已知由小到大排列的一组数据x1,x2,x3,x4,x5,其中每个数据都小于-1,则数据1,x1,-x2,x3,-x4,x5的中位数可以表示为(　　)
A.(1+x2) B.(x2-x1)
C.(1+x5) D.(x3-x4)
解析:把数据按从小到大排序为x1,x3,x5,1,-x4,-x2,因此,可得中位数为(1+x5).
答案:C
6.某高中在校学生有2 000人,高一与高二学生人数相同并都比高三多1人.为了响应“阳光体育运动”号召,学校举行了跑步和登山比赛活动.每名学生都参加而且只参加其中一项比赛,各年级参与比赛人数情况如下表:
比赛活动 高一 高二 高三
跑步 a b c
登山 x y z
其中a∶b∶c=2∶3∶5,全校参与登山的人数占总人数的.为了解学生对本次活动的满意程度,从中采用比例分配的分层随机抽样抽取一个200人的样本进行调查,则从高二参与跑步的学生中应抽取(　　)
A.36人 B.60人 C.24人 D.30人
解析:由题意知高一、高二、高三的学生人数分别为667,667,666.
设a=2k,b=3k,c=5k,
则a+b+c=×2000,得k=120.
则b=3×120=360.
已知从2000人中抽取200人,即每10人中抽取1人,则从360人中应抽取36人,故选A.
答案:A
7.甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如下:
甲 9　14　15　15　16　21
乙 8　13　15　15　17　22
分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数,分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差,则有(　　)
A. B.
C. D.
解析:根据题意,得=15,=15,
×[(-6)2+(-1)2+02+02+12+62]=×[(-7)2+(-2)2+02+02+22+72]=,
所以,故选D.
答案:D
8.对“小康县”的经济评价标准:
①年人均收入不低于7 000元;
②年人均食品支出不大于收入的35%.
某县有40万人,调查数据如下:
年人均收入/元 0 2 000 4 000 6 000 8 000 10 000 12 000 16 000
人数/万人 6 3 5 5 6 7 5 3
则该县(　　)
A.是“小康县”
B.达到标准①,未达到标准②,不是“小康县”
C.达到标准②,未达到标准①,不是“小康县”
D.两个标准都未达到,不是“小康县”
解析:通过计算可得,年人均收入为7050>7000,达到了标准①;年人均食品支出为2695,而年人均食品支出占收入的×100%≈38.2%>35%,未达到标准②,所以不是“小康县”.
答案:B
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.某中学初中部共有110名教师,高中部共有150名教师,其性别比例如图所示,则(　　)
A.该校女教师的人数为137
B.该校男教师的人数为123
C.该校女教师约占55%
D.该校男教师约占47.3%
解析:A项中,由题图可知该校女教师的人数为110×70%+150×(1-60%)=77+60=137,故A正确;B项中,该校男教师的人数为110×30%+150×60%=33+90=123,故B正确;C项中,该校女教师所占比例为×100%≈52.7%,故C不正确;D项中,该校男教师所占比例为×100%≈47.3%,故D正确.
答案:ABD
10.某学校为调查学生在一周生活方面的支出(单位:元)情况,随机抽取了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在区间[50,60]上的学生有60人,则下列说法正确的是(　　)
A.样本中支出在区间[50,60]上的频率为0.03
B.样本中支出不少于40元的人数有132
C.n的值为200
D.若该校有2 000名学生,则一定有600名学生的支出在区间[50,60]上
解析:由频率分布直方图得,A中,样本中支出在区间[50,60]上的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3,故A错误;
B中,样本中支出不少于40元的人数有×0.36+60=132,故B正确;
C中,n==200,则n的值为200,故C正确;
D中,若该校有2000名学生,则约有600名学生的支出在区间[50,60]上,故D错误.
答案:BC
11.某班级有50名学生,其中30名男生、20名女生.随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩,5名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,5名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.则下列说法不正确的是 (　　)
A.这种抽样方法是一种比例分配的分层随机抽样
B.这种抽样方法是一种简单随机抽样
C.这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差
D.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
解析:若抽样方法是比例分配的分层随机抽样,则男生、女生应分别抽取6人、4人,所以A不正确;由题目看不出是简单随机抽样,所以B不正确;这5名男生成绩的平均数=90,这5名女生成绩的平均数=91,故这5名男生成绩的方差为×[(86-90)2+(94-90)2+(88-90)2+(92-90)2+(90-90)2]=8,这5名女生成绩的方差为×[(88-91)2×2+(93-91)2×3]=6,所以这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差,但该班男生成绩的平均数不一定小于女生成绩的平均数,所以C正确,D不正确.
答案:ABD
12.某地区某种传染性病毒流行期间,为了建立指标来显示疫情已受控制,以便向该地区居民传达可以过正常生活,有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5”,根据连续7天的新增病例数计算,下列选项中,一定符合上述指标的是(　　)
A.平均数≤3
B.平均数≤3且标准差s≤2
C.平均数≤3且极差小于或等于2
D.众数等于1且极差小于或等于4
解析:假设连续7天新增病例数为0,3,3,3,3,3,6,易知满足平均数≤3且标准差s≤2,但是不符合指标,所以AB错误.若极差等于0或1,在平均数≤3的条件下显然符合指标;若极差等于2,在平均数≤3的条件下,则每天新增感染人数的最小值与最大值的组合可能有:①0,2;②1,3;③2,4,显然符合指标,所以C正确.
又易知D正确,故选CD.
答案:CD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.某校高一、高二、高三分别有学生1 600名、1 200名、800名.为了解该校高中学生的牙齿健康情况,按年级进行分层,采用比例分配的分层随机抽样.若从高三抽取20名学生,则从高一、高二共需抽取的学生人数为　　　　　.
解析:三个年级的学生人数之比为4∶3∶2,若从高三抽取20人,则从高一、高二应分别抽取40人、30人,故从高一、高二共抽取70人.
答案:70
14.某学员在一次射击测试中射靶10次,命中环数如下:
7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
则(1)平均命中环数为　　　　　;
(2)命中环数的标准差为　　　　　.
解析:平均命中环数为×(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7,
方差s2=×[(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+(4-7)2]=4,标准差s=2.
答案:(1)7　(2)2
15.高校毕业生就业季,某社会调研机构对即将毕业的大学生就业所期望的月薪(单位:元)进行调查,共调查了3 000名大学生,并根据所得数据绘制了频率分布直方图(如图),则期望月薪在区间[4 500,5 500)内的大学生有　　　名.
解析:期望月薪在区间[4500,5500)内的频率为0.0005×500+0.0004×500=0.45,则在此区间的频数为3000×0.45=1350.
答案:1 350
16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互不相同,则样本数据中的最大值为　　　　　.
解析:设5个班级中参加的人数分别为x1,x2,x3,x4,x5.
由题意知=7,(x1-7)2+(x2-7)2+(x3-7)2+(x4-7)2+(x5-7)2=5×4=20,即五个整数的平方和为20,又样本数据互不相同,则有0+1+1+9+9=20.
由|x-7|=3,得x=10或x=4;
由|x-7|=1,得x=8或x=6,则参加的人数为4,6,7,8,10,故最大值为10.
答案:10
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)某市高一年级课外兴趣小组就“今年我市究竟能有多少天空气质量达到优良”的问题展开了统计调查,他们根据市环保监测站提供的资料(见下表),从中随机抽查了本市今年1~4月份中30天空气质量指数.
空气质量指数表
空气质量指数 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 >300
空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
本市今年1~4月份30天空气质量指数如下:
30,32,40,42,45,45,77,83,85,87,90,113,127,53,67,38,45,48,53,57,64,66,77,92,98,130,84,101,135,43
请根据空气质量指数表和抽查的空气质量指数,解答以下问题:
(1)写出统计数据中的中位数、众数;
(2)请根据抽样数据,估计该市今年(按365天计算)空气质量等级是优或良的天数.
解:(1)将30个数据按从小到大的顺序排列为30,32,38,40,42,43,45,45,45,48,53,53,57,64,66,67,77,77,83,84,85,87,90,92,98,101,113,127,130,135.
这组数据的中位数是第15项和第16项数据的平均数,为×(66+67)=66.5.
45出现次数最多,为3次,所以众数为45.
(2)数据在0~50之间的个数是10,频率约是0.33;在51~100之间的个数是15,频率是0.50.
由365×(0.33+0.50)≈303(天),
估计该市今年(按365天计算)空气质量等级是优或良的天数为303.
18.(12分)随着互联网的发展,移动支付(又称手机支付)越来越普遍,某学校兴趣小组为了解移动支付在大众中的熟知度,对年龄在15~65岁之间的人群进行随机抽样调查,调查的问题是“你会使用移动支付吗 ”其中,回答“会”的共有n个人,把这n个人按照年龄分成5组:第1组[15,25),第2组[25,35),第3组[35,45),第4组[45,55),第5组[55,65],然后绘制成的频率分布直方图如图所示,其中第1组的频数为20.
(1)求n和x的值,并根据频率分布直方图估计这组数据的众数;
(2)从第1,3,4组中用比例分配的分层随机抽样方法抽取6人,求从第1,3,4组抽取的人数.
解:(1)由题意可知,n==100.
由10×(0.020+0.036+x+0.010+0.004)=1,得x=0.030.
由频率分布直方图,估计这组数据的众数为30.
(2)第1,3,4组的频率之比为0.020∶0.030∶0.010=2∶3∶1,
则从第1组抽取的人数为6×=2,
从第3组抽取的人数为6×=3,
从第4组抽取的人数为6×=1.
19.(12分)某中学共有1 000名学生参加了该地区高三第一次质量检测数学考试,数学成绩如下表所示.
数学成绩分组 [0,30) [30,60) [60,90) [90,120) [120,150]
人数 60 90 300 x 160
(1)已知本次数学成绩的优秀线为110分,试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数;
(2)作出频率分布直方图,并估计该学校本次数学考试成绩的中位数和80%分位数.
解:(1)由题意,x=1000-(60+90+300+160)=390,故估计该中学达到优秀线的人数m=160+390×=290.
(2)频率分布直方图如图所示.
由频数分布表,知第1组[0,30)的频率为0.06,第2组[30,60)的频率为0.09,第3组[60,90)的频率为0.30,第4组[90,120)的频率为0.39,所以前3组的频率之和为0.45,前4组的频率之和为0.84.
所以中位数和80%分位数都在第4组[90,120)内.
由90+30×≈93.85,
90+30×≈116.92,
估计该学校本次数学考试成绩的中位数为93.85,80%分位数为116.92.
20.(12分)某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w的部分按4元/t收费,超出w t的部分按10元/t收费.从该市随机调查了10 000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到频率分布直方图如图所示.
(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/t,w至少定为多少
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.
解:(1)由用水量的频率分布直方图知,
该市居民该月用水量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]上的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.
所以该月用水量不超过3t的居民占85%,用水量不超过2t的居民占45%.
依题意,w至少定为3.
(2)由用水量的频率分布直方图及题意(注意:实行阶梯水价),得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下:
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
分组 [2,4] (4,6] (6,8] (8,10] (10,12] (12,17] (17,22] (22,27]
频率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05
根据题意,估计该市居民该月的人均水费为4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5(元).
21.(12分)某工厂36名工人的年龄数据如下表:
工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄
1 40 10 36 19 27 28 34
2 44 11 31 20 43 29 39
3 40 12 38 21 41 30 43
4 41 13 39 22 37 31 38
5 33 14 43 23 34 32 42
6 40 15 45 24 42 33 53
7 45 16 39 25 37 34 37
8 42 17 38 26 44 35 49
9 43 18 36 27 42 36 39
(1)用简单随机抽样方法从36名工人中抽取一个容量为9的样本,样本中工人编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34,列出样本的年龄数据;
(2)计算(1)中样本平均数和方差s2;
(3)36名工人中年龄在-s与+s之间有多少人 所占的百分比是多少 (精确到0.01%)
解:(1)由表中数据可知,样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37.
(2)由(1)可得其样本平均数为=40,
方差为s2=×[(44-40)2+(40-40)2+(36-40)2+(43-40)2+(36-40)2+(37-40)2+(44-40)2+(43-40)2+(37-40)2]
=×[42+02+(-4)2+32+(-4)2+(-3)2+42+32+(-3)2]=.
(3)由(2)知s=,则-s=+s=,所以36名工人中年龄在-s与+s之间的有23人,所占百分比为≈63.89%.
22.(12分)已知某池塘养殖着鲤鱼和鲫鱼,为估计这两种鱼的数量,养殖者从池塘中捕出这两种鱼共2 000条,给每条鱼做上不影响其存活的标记,然后放回池塘,待完全混合后,再每次从池塘中随机地捕出1 000条鱼,记录下其中有记号的鱼的数目后,立即放回池塘中.这样的记录做了10次,记录获取的数据如下:
鲤鱼:60,72,72,76,80,80,88,88,92,92;
鲫鱼:16,17,19,20,20,20,21,21,23,23.
(1)根据上述数据计算有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数,并估计池塘中的鲤鱼和鲫鱼的数量;
(2)为了估计池塘中鱼的总质量,现按照(1)中的比例对100条鱼进行称重,根据称重,鱼的质量位于区间[0,4.5](单位:kg)上,将测量结果按如下方式分成九组:第一组[0,0.5),第二组[0.5,1),…,第九组[4,4.5].按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示.
①估计池塘中鱼的质量在3 kg及以上的条数;
②若第三组鱼的条数比第二组多7条、第四组鱼的条数比第三组多7条,请将频率分布直方图补充完整;
③在②的条件下估计池塘中鱼的质量的众数及池塘中鱼的总质量.
解:(1)根据数据计算可知,有记号的鲤鱼和鲫鱼数目的平均数分别为80,20.
由题意,估计池塘中鱼的总数目为1000÷=20000,
则估计鲤鱼的数量为20000×=16000,鲫鱼的数量为20000-16000=4000.
(2)①根据题意,结合直方图可知,池塘中鱼的质量在3kg及以上的条数约为20000×[(0.12+0.08+0.04)×0.5]=2400.
②设第二组鱼的条数为x,则第三、四组鱼的条数分别为x+7,x+14,则有x+x+7+x+14=100×(1-0.55),解得x=8.
故第二、三、四组的频率分别为0.08,0.15,0.22,它们在频率分布直方图中对应的小矩形的高度分别为0.16,0.30,0.44,据此可将频率分布直方图补充完整(如图).
③最高小矩形对应的区间为[2,2.5),这个区间的中点为2.25.
样本平均数的近似值为0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+…+4.25×0.02=2.02(kg).
所以估计池塘中鱼的质量的众数为2.25,鱼的总质量为2.02×20000=40400(kg).
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