2023年山东省泰安市泰山学院附中中考数学押题试卷（含解析）

2023年山东省泰安市泰山学院附中中考数学押题试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的绝对值是( )
A. B. C. D.
2. 下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 是第五代移动通信技术，网络理论下载速度可以达到每秒以上，这意味着下载一部高清电影只需要秒．将用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
4. 下面计算错误的是( )
A. B.
C. D.
5. 如图，，，平分，则的度数等于( )
A.
B.
C.
D.
6. 小明收集整理了本校八年级班名同学的定点投篮比赛成绩每人投篮次，并绘制了折线统计图，如图所示那么这次比赛成绩的中位数、众数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
7. 如图，，点在边上，与边相切于点，交边于点，，连接，则等于( )
A. B. C. D.
8. 关于的方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. 且 C. D. 且
9. 如图，矩形中，，以顶点为圆心，的长为半径作弧交于点，以为直径作半圆恰好与相切，则图中阴影部分的面积为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图，在菱形纸片中，，是边的中点，将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，折痕为，与交于点有如下结论：
；
；
；
：：．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. B. C. D.
11. 如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的处，为折痕．若，则的值为( )
A. B. C. D.
12. 如图，、分别是平面直角坐标系坐标轴上的点，经过点且与相切的动圆与轴、轴分别相交与点、，则线段长度的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 已知，则的取值范围是______ ．
14. 中国清代算书御制数理精蕴中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为______．
15. 数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为米，当无人机与旗杆的水平距离是米时，观测旗杆顶部的俯角为，则旗杆的高度约为______ 米
结果精确到米，参考数据：，
16. 如图，中，，，，将绕点顺时针旋转得到，为线段上的动点，以点为圆心，长为半径作，当与的边相切时，的半径为______．
17. 已知二次函数是常数，的与的部分对应值如下表：
下列结论：
；
当时，的值随的增大而减小；
方程有两个不相等的实数根．
当时，函数有最小值．
其中，正确结论的序号是______把所有正确结论的序号都填上．
18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点作，交轴于点；作，交反比例函数图象于点；过点作交轴于点；再作，交反比例函数图象于点，依次进行下去，则点的横坐标为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
20. 本小题分
如图所示，直线与双曲线交于、两点，已知点的纵坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，，．
求直线的解析式；
若点是第二象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的倍，求点的坐标；
直接写出不等式的解集．
21. 本小题分
某校为组织代表队参加市“拜炎帝、诵经典”吟诵大赛，初赛后对选手成绩进行了整理，分成个小组表示成绩，单位：分，组：；组：；组：；组：；组：并绘制出如图两幅不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
参加初赛的选手共有______ 名，请补全频数分布直方图；
扇形统计图中，组对应的圆心角是多少度？组人数占参赛选手的百分比是多少？
学校准备组成人的代表队参加市级决赛，组名选手直接进入代表队，现要从组中的两名男生和两名女生中，随机选取两名选手进入代表队，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中一名男生和一名女生的概率．
22. 本小题分
由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销，某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：
甲 乙
原料成本
销售单价
生产提成
若该公司五月份的销售收入为万元，求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只？
公司实行计件工资制，即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成，如果公司六月份投入总成本原料总成本生产提成总额不超过万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润利润销售收入投入总成本
23. 本小题分
如图，四边形内接于，对角线为的直径，过点作的垂线交的延长线于点，点为的中点，连接，，．
求的度数；
求证：是的切线；
若，求的值．
24. 本小题分
如图，在正方形内作，交于点，交于点，连接，过点作，垂足为．
如图，将绕点顺时针旋转得到．
求证：≌；
若，，求的长．
如图，连接交于点，交于点请探究并猜想：线段，，之间有什么数量关系？并说明理由．
25. 本小题分
已知抛物线与轴交于，两点，且经过点，顶点坐标为
求抛物线的解析式；
如图，点为第四象限抛物线上一点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，当最大时，求点坐标；
如图，连接，，过点作直线，点，分别为直线和抛物线上的点．试探究：在轴右侧是否存在这样的点，，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
的绝对值是．
故选：．
首先得出，再结合绝对值的定义得出答案．
此题主要考查了实数的性质，正确得出的取值范围是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意
B.既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的定义即可求出答案．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
3.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查科学记数法的表示方法．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，当原数绝对值时，是正整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动的位数相同．
【解答】
解：将用科学记数法表示为：．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：，因此选项A不符合题意；
B.，因此选项B符合题意；
C.，因此选项C不符合题意；
D.，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式、平方差公式逐项进行判断即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式、平方差公式，掌握幂的乘方与积的乘方以及同底数幂乘法的计算方法，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
5.【答案】
【解析】解：，，
，
平分，
，
，
．
故选：．
根据两直线平行，同位角相等求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记性质是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：八年级班名同学的定点投篮比赛成绩按照从小到大的顺序排列如下：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
这次比赛成绩的中位数是，众数是，
故选：．
将八年级班名同学的定点投篮比赛成绩按照从小到大的顺序排列，根据众数、中位数的定义求解即可．
此题考查了折线统计图、中位数以及众数，根据折线统计图得出解题所需数据并熟练掌握众数、中位数定义是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：连接，
与边相切于点，
，
，
，
，
故选：．
连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，根据圆周角定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：当时，原方程可化为，
，
方程有两个实数根，
，
解得：，
的取值范围为：．
故选：．
由方程有实数根，可得且，即可求得的取值范围．
此题考查了根的判别式．注意当时，方程有两个实数根．
9.【答案】
【解析】
【分析】
如图，连接、、由题意易知是等边三角形，根据计算即可解决问题．
本题考查切线的性质、等边三角形的判定和性质、扇形的面积，解题的关键是学会利用分割法求阴影部分的面积，属于中考常考题型．
【解答】
解：如图，连接、．
由题意易知是等边三角形，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：连接，
四边形是菱形，
，，
和是等边三角形，
是边的中点，
，
将菱形纸片沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，
，
，
，
，故正确；
，，
，故正确；
设与交于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，故正确；
过作于，
，
，，
≌，
，
，
，
，，
：，：，
，，
：故错误，
故选：．
连接，根据菱形的性质得到，，推出和是等边三角形，根据等腰三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，求得，根据三角形的内角和定理得到，故正确；根据三角函数的定义得到，故正确；设与交于，得到，根据全等三角形的性质得到，故正确；过作于，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题全等三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：在中，，，
，
由折叠的性质得到：≌，
，
，
，
，
又，
，
在直角中，，
，
故选：．
由折叠性质得出≌，则；由三角形内角和定理及平角的知识即可得出结果．
本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质、三角函数等知识；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识来解决问题．
12.【答案】
【解析】解：如图，设的中点为，圆与的切点为，连接、、，则．
、，
，，
，
，，
，
当点、、共线时，有最小值，此时，
．
故选：．
设的中点为，圆与的切点为，连接，连接，，则有；由勾股定理的逆定理知，是直角三角形，，由三角形的三边关系知，；只有当点、、共线时，有最小值，最小值为的长，即当点在直角三角形的斜边的高上时，有最小值，由直角三角形的面积公式知，此时．
本题利用了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解．
13.【答案】
【解析】解：由题意可知：，
，
，
故答案为：．
根据二次根式的性质即可求出答案．
本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
14.【答案】
【解析】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为：．
故答案是：．
直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马二匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：过点作于，
当无人机与旗杆的水平距离是米时，观测旗杆顶部的俯角为，
米，，
米，
旗杆的高度米，
故答案为：．
过点作的延长线于点，垂足为，利用直角三角形的解法得出，进而解答即可．
本题考查解直角三角形的应用仰角、俯角的问题，以及解直角三角形方法，解题的关键是从实际问题中构造出直角三角形，难度不大．
16.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
分两种情形分别求解：如图中，当与直线相切于点时；如图中，当与相切于点时．
【解答】
解：如图中，当与直线相切于点时，连接．
设，
，
，
，
．
如图中，当与相切于点时，易证、、共线，
∽，
，
，
，
．
综上所述，的半径为或，
故答案为或．
17.【答案】
【解析】解：将、、代入二次函数中，得：
，
解得：，
故此二次函数解析式为，
，正确；
对称轴为，当函数值最小，错误；
当时，随的增大而减小，故时，的值随的增大而减小，
正确；
令，整理得：，
，
故方程有两个不相等的实数根，正确．
故正确序号有：，
故答案为：．
任取表格中三组对应值即可求出二次函数的表达式，再根据二次函数的图象与系数之间的关键进行判断即可．
本题考查了二次函数的图象与性质、理解和掌握二次函数的图象与系数的关系是正确判断的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，过点、、、分别作轴，轴，轴，轴，垂足分别为、、、
直线的关系式为，，
是等腰直角三角形，
，
同理可得、、都是等腰直角三角形，
设，
则点，点在反比例函数的图象上，
，
解得：负值舍去，
点的横坐标为，
设，
则点，点在反比例函数的图象上，
，
解得：，
点的横坐标为；
设，
则点，点在反比例函数的图象上，
，
解得：，
点的横坐标为；
同理可得：点的横坐标为；
点的横坐标为；
点的横坐标为；
点的横坐标为：；
故答案为：．
根据直的关系式为，以及，可得到是等腰直角三角形，进而得到、都是等腰直角三角形，设，则点，点在反比例函数的图象上，可求出，进而得到点的横坐标为，同理，则点，求出点的横坐标为，同理得出点的横坐标为；点的横坐标为；点的横坐标为；点的横坐标为；根据规律可得答案．
本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的关键．
19.【答案】解：
，
，
，
当时，原分式无意义，
，
当时，原式；
解不等式组，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集为，
其解集在数轴上表示如下：
．
【解析】先算括号内的式子，然后计算括号外的式子，再根据，求出的值，然后将使得原分式有意义的的值代入化简后的式子计算即可；
先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出其解集即可．
本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．
20.【答案】解：如图，
过点作轴于，
，
在中，，
设，则，
根据勾股定理得，，
，
或舍，
，，
，
点在双曲线上，
，
双曲线的解析式为，
点在双曲线上，且纵坐标为，
，
，
，
将点，代入直线中得，，
，
直线的解析式为；
如图，连接，，；
由知，直线的解析式为，
，
，
由知，，
，
的面积是的面积的倍，
，
由知，直线的解析式为，
令，则，
，
，
设点的纵坐标为，
，
，
由知，双曲线的解析式为，
点在双曲线上，
，
，
；
由知，，，
由图象知，不等式的解集为或．
【解析】过点作轴于，根据锐角三角函数和勾股定理求出点，进而求出双曲线的解析式，进而求出点的坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；
连接，，，先求出，进而求出，进而得出，再求出，设点的纵坐标为，再用，求出点的纵坐标，即可得出结论；
直接利用图象即可得出结论．
此题是反比例函数综合题，主要考查了锐角三角函数，勾股定理，待定系数法，坐标系中求三角形面积的方法，求出点的坐标是解本题的关键．
21.【答案】；
；
组对应的圆心角度数是：，
组人数占参赛选手的百分比是：；
画树状图得：
共有种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男生和一女生的有种结果，
抽取的两人恰好是一男生和一女生的概率为．
【解析】
【分析】
此题考查了树状图法与列表法求概率以及频率分布直方图．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
用组人数除以组所占百分比得到参加初赛的选手总人数，用总人数乘以组所占百分比得到组人数，从而补全频数分布直方图；
用度乘以组所占百分比得到组对应的圆心角度数，用组人数除以总人数得到组人数占参赛选手的百分比；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到一男生和一女生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】
解：参加初赛的选手共有：人，
组有：人．
频数分布直方图见答案；
故答案为；
见答案．
22.【答案】解：设甲型号的产品有万只，则乙型号的产品有万只，
根据题意得：，
解得：，
则，
则甲、乙两种型号的产品分别为万只，万只；
设安排甲型号产品生产万只，则乙型号产品生产万只，
根据题意得：，
解得：，
根据题意得：利润，
当时，最大，最大值为万元．
【解析】此题考查了一元一次方程的应用，以及一次函数的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．设甲型号的产品有万只，则乙型号的产品有万只，根据销售收入为万元列出方程，求出方程的解即可得到结果；
设安排甲型号产品生产万只，则乙型号产品生产万只，根据公司六月份投入总成本原料总成本生产提成总额不超过万元列出不等式，求出不等式的解集确定出的范围，再根据利润售价成本列出与的一次函数，根据的范围确定出的最大值即可．
23.【答案】解：对角线为的直径，
，
；
证明：连接，
，是的中点，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
解：方法一：设，则，
由
或舍去
，
；
方法二：如图所示：可得，
，，
，
又，
∽，
，
，
设，则，
则，
即，
整理得：，
解得：或负数舍去，
则，
故．
【解析】直接利用圆周角定理得出的度数；
直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出，进而得出答案；
利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出，的长，再利用圆周角定理得出的值．
此题主要考查了圆的综合以及切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意表示出，的长是解题关键．
24.【答案】解：由旋转的性质可知：，．
四边形为正方形，
．
又，
．
．
．
在和中，
，
≌．
≌，，，
，．
设正方形的边长为，则，．
在中，由勾股定理得：，即．
解得：．
．
．
如图所示：将逆时针旋转得．
四边形为正方形，
．
由旋转的性质可知：，．
．
．
，，
．
在和中，
，
≌．
．
又，
．
【解析】由旋转的性质可知：，，接下来在证明，然后依据证明≌即可；由全等三角形的性质可知：，设正方形的边长为，接下来，在中，依据勾股定理列方程求解即可；
将逆时针旋转得在中依据勾股定理可证明，接下来证明≌，于的得到，最后再由证明即可．
本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
25.【答案】解：设抛物线的解析式为，
将代入得：，解得，
抛物线的解析式为，即；
过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，
，
∽，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
．
．
当时，有最大值，最大值是；
存在．理由如下：
，
直线的解析式为，
设，
当为边时，则，，
若点在点左侧时，
点，
，
或舍去，
点，
若点在点右侧时，
点，
，
或舍去，
点，
当为对角线时，
与互相平分，
点
，
或，
点或，
此时点的坐标为或或或，
综上所述，点的坐标为或或或
【解析】设抛物线的解析式为，将点的坐标代入可求得的值，从而得到抛物线的解析式；
过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，证明∽，得出，则，求出直线的解析式为，设，则，可得出的关系式，由二次函数的性质可得出结论；
分为边和对角线两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，二次函数的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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