6.3.1平面向量基本定理课后习题新人教A版必修第二册（含解析）

6.3.1　平面向量基本定理
课后训练巩固提升
一、A组
1.如图所示,在矩形ABCD中,若=6e1,=4e2,则等于(　　)
A.3e1+2e2
B.3e1-2e2
C.2e1+3e2
D.2e1-3e2
2.若=a,=b,=(λ≠-1),则等于 (　　)
A.a+λb B.λa+(1-λ)b
C.λa+b Da+b
3.在△ABC中,D,E,F依次是BC的四等分点,以=e1,=e2为基底,则等于(　　)
Ae1+e2 Be1+e2
Ce1-e2 De1+e2
4.如图,在△ABC中,AH⊥BC于点H,M为AH的中点,若=+,则λ+μ的值为 (　　)
A.-1 B C.1 D.2
5.(多选题)设{e1,e2}是平面内所有向量的一个基底,则下面四组向量中,能作为基底的是(　　)
A.e1与e1-e2 B.e1+e2与e1-3e2
C.e1-2e2与-3e1+6e2 D.2e1+3e2与e1-2e2
6.如图,C,D是△AOB中边AB的三等分点,设=e1,=e2,以e1,e2为基底来表示=　　　　, =　　　　　　　.
7.设向量m=2a-3b,n=4a-2b,p=3a+2b,用m,n表示p的结果是　　　　　　　　　　　　　　　.
8.已知正三角形ABC的边长为2,设=2=3,则=　　　　　.
9.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)证明:{a,b}可以作为一个基底;
(2)以{a,b}为基底,求向量c=3e1-e2的分解式;
(3)若4e1-3e2=λa+ub,求λ,u的值.
二、B组
1.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设=m+n,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足(　　)
A.m>0,n>0 B.m>0,n<0
C.m<0,n>0 D.m<0,n<0
2.在△ABC中,()·()=0,,则△ABC的形状是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
3.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为　　　　.
4.如图,在平行四边形ABCD中,点O为AC的中点,点N为OB的中点,设=a,=b,若用a,b来表示向量, 则=　　　　　.
5.如图,平面内有三个向量,其中的夹角为120°,的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=+(λ,μ∈R),则λ+μ的值等于　　　.
6.如图,在△OAB中,=a,=b,M,N分别是边OA,OB上的点,且a,b.设AN与BM相交于点P,用向量a,b表示
7.在边长为1的菱形ABCD中,∠A=60°,E是线段CD上一点,满足||=2||,如图所示,设=a,=b.
(1)用a,b表示
(2)在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE 若存在,确定点F的位置,并求||;若不存在,请说明理由.
6.3.1　平面向量基本定理
课后训练巩固提升
一、A组
1.如图所示,在矩形ABCD中,若=6e1,=4e2,则等于(　　)
A.3e1+2e2
B.3e1-2e2
C.2e1+3e2
D.2e1-3e2
解析:)=)=3e1+2e2.
答案:A
2.若=a,=b,=(λ≠-1),则等于 (　　)
A.a+λb B.λa+(1-λ)b
C.λa+b Da+b
解析:=a+=a+λ()=a+λ(b-),a+b.
答案:D
3.在△ABC中,D,E,F依次是BC的四等分点,以=e1,=e2为基底,则等于(　　)
Ae1+e2 Be1+e2
Ce1-e2 De1+e2
解析:∵D,E,F依次是BC的四等分点,
)=(e1+e2),=e2-e1,
(e1+e2)+(e1+e2)+(e2-e1)=e1+e2.
答案:A
4.如图,在△ABC中,AH⊥BC于点H,M为AH的中点,若=+,则λ+μ的值为 (　　)
A.-1 B C.1 D.2
解析:∵B,H,C三点共线,=(1-t)+t
∴2=(1-t)+t
,
∴λ=,μ=,∴λ+μ=
答案:B
5.(多选题)设{e1,e2}是平面内所有向量的一个基底,则下面四组向量中,能作为基底的是(　　)
A.e1与e1-e2 B.e1+e2与e1-3e2
C.e1-2e2与-3e1+6e2 D.2e1+3e2与e1-2e2
解析:对于选项A,B,D,所给的两个向量不共线,故可以作为基底;对于选项C,
∵-3e1+6e2=-3(e1-2e2),
∴e1-2e2与-3e1+6e2共线,故不能作为基底.
答案:ABD
6.如图,C,D是△AOB中边AB的三等分点,设=e1,=e2,以e1,e2为基底来表示=　　　　, =　　　　　　　.
解析:=e1+(e2-e1)=e1+e2,
=(e1+e2)+(e2-e1)=e1+e2.
答案:e1+e2　e1+e2
7.设向量m=2a-3b,n=4a-2b,p=3a+2b,用m,n表示p的结果是　　　　　　　　　　　　　　　.
解析:设p=xm+yn,则3a+2b=x(2a-3b)+y(4a-2b)=(2x+4y)a+(-3x-2y)b,
得解得
故p=-m+n.
答案:p=-m+n
8.已知正三角形ABC的边长为2,设=2=3,则=　　　　　.
解析:)·()
=)
=
=2-4+4-2=-2.
答案:-2
9.设e1,e2是不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)证明:{a,b}可以作为一个基底;
(2)以{a,b}为基底,求向量c=3e1-e2的分解式;
(3)若4e1-3e2=λa+ub,求λ,u的值.
(1)证明:假设a=λb(λ∈R),则e1-2e2=λ(e1+3e2).
由e1,e2不共线,得
故λ不存在,即a与b不共线,可以作为一个基底.
(2)解:设c=ma+nb(m,n∈R),则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.
因为e1,e2不共线,
所以解得
故c=2a+b.
(3)解:由4e1-3e2=λa+ub,得4e1-3e2=λ(e1-2e2)+u(e1+3e2)=(λ+u)e1+(-2λ+3u)e2,
得解得
二、B组
1.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设=m+n,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足(　　)
A.m>0,n>0 B.m>0,n<0
C.m<0,n>0 D.m<0,n<0
解析:如图所示,利用平行四边形法则,将分解到上,有,则=m=n,
很明显方向相同,则m>0;
方向相反,则n<0.
答案:B
2.在△ABC中,()·()=0,,则△ABC的形状是(　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
解析:∵()·()=0,
=0,∴||=||.
,=0.
()=0.
=0.
∴△ABC是等腰直角三角形.
答案:D
3.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为　　　　.
解析:如图,由题意知,D为AB的中点,,
则)=-
即λ1=-,λ2=
故λ1+λ2=-
答案:
4.如图,在平行四边形ABCD中,点O为AC的中点,点N为OB的中点,设=a,=b,若用a,b来表示向量, 则=　　　　　.
解析:以=a,=b作为以点A为公共起点的一组基底,则)=a+b.
答案:a+b
5.如图,平面内有三个向量,其中的夹角为120°,的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=+(λ,μ∈R),则λ+μ的值等于　　　.
解析:如图,以OA,OB所在射线为邻边,OC为对角线作平行四边形ODCE,则
在Rt△OCD中,因为||=2,∠COD=30°,∠OCD=90°,所以||=4,||=2,故=4=2,即λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.
答案:6
6.如图,在△OAB中,=a,=b,M,N分别是边OA,OB上的点,且a,b.设AN与BM相交于点P,用向量a,b表示
解:
设=m=n(m,n为实数),
则+ma+m(1-m)a+mb,+nb+n(a-b)=(1-n)b+na.
由a,b不共线,得解得
故a+b.
7.在边长为1的菱形ABCD中,∠A=60°,E是线段CD上一点,满足||=2||,如图所示,设=a,=b.
(1)用a,b表示
(2)在线段BC上是否存在一点F满足AF⊥BE 若存在,确定点F的位置,并求||;若不存在,请说明理由.
解:(1)根据题意得=b,=-=-a,即=b-a.
(2)如图,在线段BC上存在使得4||=||的一点F满足AF⊥BE,此时||=
理由如下:
设=t=tb,
因为点F在线段BC上,所以0≤t≤1,
所以=a+tb,
因为在边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60°,|a|=|b|=1,
所以a·b=|a||b|cos60°=
因为AF⊥BE,
所以=(a+tb)=1-ta·b-a2+tb2=+t=0,
解得t=,从而=a+b,
故||==
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