新教材必修二第六章《平面向量及其应用》必备知识与能力盘点
一：平面向量的有关概念
1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；
3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；
4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有)
④三点共线共线；
6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。
练习1：（多选）下列说法不正确的是( )
A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行 B.若|a|>|b|，则a>b
C．共线向量一定在同一直线上 D．单位向量的长度为1
答案：ABC.
练习2.下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_______（答：（4）（5））
二：两个定理
1.两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=
推论：若O是平面中异于A、B、C的三点。则A、B、C共线
存在实数ｔ，使得
2.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。
练习：（1）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）
A. B.
C. D. （答：B）；
练习（2） 我国东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则＝( )
A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b
【答案】B
【解析】 ＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＝－＋， 解得＝＋，即＝a＋b，故选B.
（3）在平行四边形ABCD中，点E，F分别为线段BC，AB的中点，直线AE与直线DF交于点P，则
【答案】
【解析】 如图，因为P，D，F三点共线，所以．
因为点E为线段BC的中点，所以，
则．因为A，P，E三点共线，所以，
所以，解得，故．
（4）如图，原点O是△ABC内一点，顶点A在x轴上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，||＝2，||＝1，||＝3，若＝λ＋μ，则＝
答案：
（5）在△ABC中，M，N分别是边AB，AC的中点，点O是线段MN上异于端点的一点，且满足λ＋3＋4＝0(λ≠0)，则λ＝________.
【答案】7
【解析】 法一 由已知得＝－－，①
由M，O，N三点共线，知 t∈R，使＝t，故2＝2t，故＋＝t(＋)，
整理得＝＋，②
对比①②两式的系数，得解得
法二 因为M是AB的中点，所以＝(＋)，于是＝2－，同理＝2－，将两式代入λ＋3＋4＝0，整理得(λ－7)＋6＋8＝0，
因为M，O，N三点共线，故 p∈R，使得＝p，于是(λ－7)＋(6p＋8)＝0，
显然，不共线，故λ－7＝6p＋8＝0，故λ＝7.
三：平面向量的运算
(一)几何运算：
1.向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；
2.向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
练习1.化简：①___；②=____；③_____（答：①；②；③）；
练习2.若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为____（答：直角三角形）；
3、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。
练习3.若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为___（答：2）；
4. 向量的运算律：（1）交换律：，，；(2)结合律：，；（3）分配律：，
5、平面向量的数量积：
5.1两个向量的夹角：对于非零向量，，作，
称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。
易错练习4:（1）
答案:
已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_________（答：）；
5.2.平面向量的数量积的运算：
如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
练习5.△ABC中，，，，则_________（答：－9）；
5.3.投影
在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。
5.4的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。
5.5投影向量：设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b的 ，叫做向量a在向量b上的 向量.
5.6投影向量求法
(1)向量a在向量 b上的投影向量为|a|cos θ e (其中e为与b同向的单位向量) ，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定.
(2)向量 b 在向量a上的投影向量为| b |cos θe (其中e为与a同向的单位向量)
5.7向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：
①；
②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；
易错提醒：当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；
练习6.已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________.
答案 ∪∪
③非零向量，夹角的计算公式：；④。
特别注意：（1）结合律不成立：；
（2）消去律不成立不能得到
（3）=0不能得到=或=0
④但是乘法公式成立：
；；
练习7. （1）（多选）对于任意的平面向量，，，下列说法错误的是
A．若且，则 B．
C．若，且，则 D．．
【解析】且，当为零向量时，则与不一定共线，即错误，
由向量乘法的分配律可得：，即正确，
因为，则，又，则或，即错误，
取为非零向量，且与垂直，与不垂直，则，，即错误， 故选：．
（2）（多选）定义两个非零平面向量的一种新运算，，其中，表示，的夹角，则对于两个非零平面向量，，下列结论一定成立的有
A．在方向上的投影为， B．
C． D．若，则与平行
【解析】①对于，在方向上的投影为，，故选项错误，
②对于，，，，故正确，
③对于选项，，，，，
当时，不成立，故选项错误，
④由，所以，，所以，，即与平行，故选项正确，
故选：．
练习8. （多选）如图，已知点为正六边形中心，下列结论中正确的是
A． B．
C． D．
【解答】对于，，故选项错误；
对于，，故选项正确；
对于，由平面向量公式可知，，故选项正确；
对于，，，显然，故选项错误．
故选：．
练习9.在中，是斜边上的高，如图，则下列等式成立的是
A． B． C．D．
【解析】是△，是斜边，，
，，
是斜边上的高，
，，
，，，都正确．
故选：．
（二）坐标运算：
设，则：平面向量的坐标运算
(1) ，。
(2)设A，B,则.
(4)设 ，则 =.
(5) =.
（6）两向量的夹角公式：(a=,b=).
（7）向量的模：。如已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_____（答：）；
(8)平面两点间的距离公式
=(A，B).
(9)向量的平行与垂直
设a=,b=，且b0，则
A||bb=λa .
ab(a0)a·b=0.
注:向量平行(共线)的充要条件：＝0。向量垂直的充要条件： .特别地。
(10)向量在向量上的投影向量为
练习10.（1）已知，，，且，则x＝______
（答：4）
（2）设，则k＝_____时，A,B,C共线
（答：－2或11）
（3）.以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是________ （答：(1,3)或（3，－1））；
（4）已知向量，且，则的坐标是________
（答：）
（5）已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝________
【答案】 5
【解析】由题意，得c＝a＋tb＝( 3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，
所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，即＝，
即＝3＋t，解得t＝5.
（6）（多选）在中，，，若是直角三角形，则的值可以是 ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】中，，，
①当时，，即，解得；
②当时，，且；
即，解得；
③当时，，即，整理得，解得或；综上知，的取值为或或．故选：．
练习11.已知与之间有关系式，①用表示；②求的最小值，并求此时与的夹角的大小（答：①；②最小值为，）
四：平面向量的应用
1.求模与长度
练习1：（1）（多选）已知，是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是
A．，的夹角是 B．，的夹角是或
C．或 D．或
【解析】，是两个单位向量，且的最小值为，
的最小值为，，
与的夹角为或，或3，或．
故选：．
（2）已知单位向量a，b的夹角为θ，且tan θ＝，若向量m＝a－3b，则|m|＝
【答案】
【解析】依题意|a|＝|b|＝1，又θ为a，b的夹角，且tan θ＝，∴θ为锐角，
且cos θ＝2sin θ，又sin2θ＋cos2θ＝1，
从而cos θ＝.由m＝a－3b，∴m2＝(a－3b)2＝5a2＋9b2－6a·b＝2，
因此|m|＝.
（3）如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为。若点P的斜坐标为（2，－2），求P到O的距离｜PO｜；（答： 2；
（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____（答：）
2. 求投影向量
练习2（1）两个粒子A， B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，在上的投影向量为 .
【答案】
【解析】在上的投影向量为.
（2）已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影向量为( )
A.a B.a C.b D.b
【答案】 A
【解析】∵向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，
∴(2a－b)·a＝2|a|2－a·b＝2×22－2×6×＝2，
∴2a－b在a方向上的投影向量为a.
（3）已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A． B． C． D．
答：D．
3.求向量的夹角（夹角的余弦值）
练习3:（1）若非零向量，满足，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设向量与的夹角为（），因为，所以，
所以，得，因为非零向量，满足，
所以，因为，所以，故选：C
（2）已知，为单位向量，向量满足.若与的夹角为60°，则（ ）
A． B． C． D．3
答：B.
（3）已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos 〈a，a＋b〉＝( )
A．－ B．－ C． D．
【解析】∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，∴cos〈a，a＋b〉＝＝＝＝.
(4)已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 ．
【答案】
【解析】法一：基底法:
，
，
，
，解得：．
法二:坐标法(自主完成)
4.求数量积
通过以下例题体会求数量积的常用方法1)公式法;(2)基底法;(3)坐标法;(4)投影法;(5) 极化恒等式
练习4（1）已知是边长为的正六边形内的一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解法一：的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，所以的取值范围是，故选：A．
解法二：如图，建立平面直角坐标系，由题意知，，，，设，则，∵，∴，∴的取值范围是．
（2）在中，分别为的中点，为的中点，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】法一（基底法）因为，，所以，应选答案B．
法二：坐标法（自主完成）
(3)在△ABC中，AB＝10，AC＝15，∠A的平分线与边BC的交点为D，点E为边BC的中点，若＝90，则的值是__________．
【答案】
【解析】由角平分线定理可知
．
（4）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为__________；若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为__________．
【答案】
【解析】因为＝λ， 所以AD∥BC，则∠BAD＝120°，
所以·＝||·||·cos 120°＝－，解得||＝1.
因为，同向，且BC＝6，所以＝，即λ＝.
在四边形ABCD中，作AO⊥BC于点O，则BO＝AB·cos 60°＝，AO＝AB·sin 60°＝.
以O为坐标原点，以BC和AO所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系．
如图，设M(a,0)，不妨设点N在点M右侧，则N(a＋1,0)，且－≤a≤.
又D，所以＝，＝，
所以·＝a2－a＋＝2＋.所以当a＝时，·取得最小值.
5.向量在物理中的应用（学科融合）
练习5（1）已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是 （答：（9,1））
（2）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为（ ）
A．16 B． C．110 D．
【解析】由题意得：，
，
则合力对该质点所做的功为.
故选：A.
（3）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为350N，则该学生的体重（单位：kg）约为（ ）
（参考数据：取重力加速度大小为m/s2，）
A．55 B．61 C．66 D．71
【解析】如图，，，
作平行四边形，则是菱形，，
，所以，
因此该学生体重为（kg）.故选：B．
（4）如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点出发的三根绳的端点处，挂着个重物，它们所受的重力分别为，和．此时整个系统恰处于平衡状态，求的大小．
【答案】
【解析】如图，∵，∴，
∴，
即，∴．
∵，∴．
6.与三角函数、平面向量的运算交汇问题
1.已知向量＝（sinx，cosx）, ＝（sinx，sinx）, ＝（－1，0）。
（1）若x＝，求向量、的夹角；
（2）若x∈，函数的最大值为，求的值
（答：或）；
2.已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，分别为图象的最高点和最低点，中，角所对的边分别为的面积.
求的角的大小;
若，点的坐标为，求的最小正周期及的值.
【解析】由余弦定理得
又即
由题意得，由余弦定理，
得即
设边与轴的交点为则为正三角形
且函数的最小正周期为
又点在函数的图像上
即，即
，即又
3.已知函数f(x)＝sin2x－cos2x＋2sin xcos x(x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，c＝5，cos B＝，求△ABC中线AD的长.
【解析】 (1)f(x)＝－cos 2x＋sin 2x＝2sin.
∴T＝＝π.∴函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由(1)知f(x)＝2sin，
∵在△ABC中f(A)＝2，∴sin＝1，
∴2A－＝，∴A＝.又cos B＝且B∈(0，π)，∴sin B＝，
∴sin C＝sin(A＋B)＝×＋×＝，
在△ABC中，由正弦定理＝，得＝，
∴a＝7，∴BD＝.在△ABD中，由余弦定理得，
AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos B＝52＋－2×5××＝，
因此△ABC的中线AD＝.
（4.已知，是的其中两个零点，且
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求的值.
【解析 】（1）
是函数的两个零点，
即是方程的两个实根，且
，，则，
令得
的单调递增区间为
（2）.
.新教材必修二第六章《平面向量及其应用》必备知识与能力盘点
一：平面向量的有关概念
1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；
3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；
4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；
②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；
③平行向量无传递性！（因为有)
④三点共线共线；
6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。
练习1：（多选）下列说法不正确的是( )
A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行 B.若|a|>|b|，则a>b
C．共线向量一定在同一直线上 D．单位向量的长度为1
练习2.下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5）若，则。（6）若，则。其中正确的是_______
二：两个定理
1.两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=
推论：若O是平面中异于A、B、C的三点。则A、B、C共线
存在实数ｔ，使得
2.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。
练习：（1）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ）
A. B.
C. D.
练习（2） 我国东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则＝( )
A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b
（3）在平行四边形ABCD中，点E，F分别为线段BC，AB的中点，直线AE与直线DF交于点P，则
（4）如图，原点O是△ABC内一点，顶点A在x轴上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，||＝2，||＝1，||＝3，若＝λ＋μ，则＝
（5）在△ABC中，M，N分别是边AB，AC的中点，点O是线段MN上异于端点的一点，且满足λ＋3＋4＝0(λ≠0)，则λ＝________.
三：平面向量的运算
(一)几何运算：
1.向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；
2.向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
练习1.化简：①___；②=____；③_____；
练习2.若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为____；
3、实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。
练习3.若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为___；
4. 向量的运算律：（1）交换律：，，；(2)结合律：，；（3）分配律：，
5、平面向量的数量积：
5.1两个向量的夹角：对于非零向量，，作，
称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。
易错练习4:（1）
已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_________.
5.2.平面向量的数量积的运算：
如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
练习5.△ABC中，，，，则_________（答：－9）；
5.3.投影
在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。
5.4的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。
5.5投影向量：设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b的 ，叫做向量a在向量b上的 向量.
5.6投影向量求法
(1)向量a在向量 b上的投影向量为|a|cos θ e (其中e为与b同向的单位向量) ，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定.
(2)向量 b 在向量a上的投影向量为| b |cos θe (其中e为与a同向的单位向量)
5.7向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：
①；
②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；
易错提醒：当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；
练习6.已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________.
③非零向量，夹角的计算公式：；④。
特别注意：（1）结合律不成立：；
（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=0
④但是乘法公式成立：
；；
练习7. （1）（多选）对于任意的平面向量，，，下列说法错误的是
A．若且，则 B．
C．若，且，则 D．．
（2）（多选）定义两个非零平面向量的一种新运算，，其中，表示，的夹角，则对于两个非零平面向量，，下列结论一定成立的有
A．在方向上的投影为， B．
C． D．若，则与平行
练习8. （多选）如图，已知点为正六边形中心，下列结论中正确的是
A． B．
C． D．
练习9.在中，是斜边上的高，如图，则下列等式成立的是
A． B． C．D．
（二）坐标运算：
设，则：平面向量的坐标运算
(1) ，。
(2)设A，B,则.
(4)设 ，则 =.
(5) =.
（6）两向量的夹角公式：(a=,b=).
（7）向量的模：。如已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝_____；
(8)平面两点间的距离公式
=(A，B).
(9)向量的平行与垂直
设a=,b=，且b0，则
A||bb=λa .
ab(a0)a·b=0.
注:向量平行(共线)的充要条件：＝0。向量垂直的充要条件： .特别地。
(10)向量在向量上的投影向量为
练习10.（1）已知，，，且，则x＝______（
（2）设，则k＝_____时，A,B,C共线
（3）.以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是________；
（4）已知向量，且，则的坐标是________
（5）已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝________
（6）（多选）在中，，，若是直角三角形，则的值可以是 ）
A． B． C． D．
练习11.已知与之间有关系式，①用表示；②求的最小值，并求此时与的夹角的大小（答：①；②最小值为，）
四：平面向量的应用
1.求模与长度
练习1：（1）（多选）已知，是两个单位向量，时，的最小值为，则下列结论正确的是
A．，的夹角是 B．，的夹角是或
C．或 D．或
（2）已知单位向量a，b的夹角为θ，且tan θ＝，若向量m＝a－3b，则|m|＝
（3）如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为。若点P的斜坐标为（2，－2），求P到O的距离｜PO｜；
（4）已知是两个非零向量，且，则的夹角为____
2. 求投影向量
练习2（1）两个粒子A， B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，在上的投影向量为 .
（2）已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影向量为( )
A.a B.a C.b D.b
（3）已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A． B． C． D．
3.求向量的夹角（夹角的余弦值）
练习3:（1）若非零向量，满足，，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
（2）已知，为单位向量，向量满足.若与的夹角为60°，则（ ）
A． B． C． D．3
（3）已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos 〈a，a＋b〉＝( )
A．－ B．－ C． D．
(4)已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 ．
4.求数量积
通过以下例题体会求数量积的常用方法1)公式法;(2)基底法;(3)坐标法;(4)投影法;(5) 极化恒等式
练习4（1）已知是边长为的正六边形内的一点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2）在中，分别为的中点，为的中点，若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
(3)在△ABC中，AB＝10，AC＝15，∠A的平分线与边BC的交点为D，点E为边BC的中点，若＝90，则的值是__________．
（4）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且＝λ，·＝－，则实数λ的值为__________；若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为__________．
5.向量在物理中的应用（学科融合）
练习5（1）已知作用在点的三个力，则合力的终点坐标是
（2）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为（ ）
A．16 B． C．110 D．
（3）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为350N，则该学生的体重（单位：kg）约为（ ）
（参考数据：取重力加速度大小为m/s2，）
A．55 B．61 C．66 D．71
（4）如图，一滑轮组中有两个定滑轮，，在从连接点出发的三根绳的端点处，挂着个重物，它们所受的重力分别为，和．此时整个系统恰处于平衡状态，求的大小．
5.与三角函数、平面向量的运算交汇问题
1.已知向量＝（sinx，cosx）, ＝（sinx，sinx）, ＝（－1，0）。
（1）若x＝，求向量、的夹角；
（2）若x∈，函数的最大值为，求的值
2.已知函数的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，分别为图象的最高点和最低点，中，角所对的边分别为的面积.
求的角的大小;
若，点的坐标为，求的最小正周期及的值.
3.已知函数f(x)＝sin2x－cos2x＋2sin xcos x(x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝2，c＝5，cos B＝，求△ABC中线AD的长.
（4.已知，是的其中两个零点，且
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求的值.
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