6.4.3余弦定理正弦定理第2课时正弦定理课后习题新人教A版必修第二册（含解析）

第2课时　正弦定理
课后训练巩固提升
一、A组
1.在△ABC中,已知AB=AC,B=30°,则C等于(　　)
A.45° B.15° C.45°或135° D.15°或105°
2.在△ABC中,A=60°,B=75°,b=2+2,则△ABC中最小的边长为(　　)
A.2 B.4 C D
3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=,c=2,cos A=,则b等于(　　)
A B C.2 D.3
4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos B=bcos A,则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.钝角三角形
5.已知一个三角形的两个内角分别是45°,60°,它们所夹的边的长为1,那么这个三角形最小的边长为　　　　　.
6.在△ABC中,若B=2A,a∶b=1,则A=　　　　　.
7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8,则角B的大小为　　　　　.
8.在△ABC中,已知a=,b=2,A=30°,解此三角形.
9.已知△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos C+c=b.
(1)求角A的大小;
(2)若a=1,b=,求c的值.
二、B组
1.在△ABC中,A=60°,a=,则等于(　　)
A B C D.2
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果m=(a2,b2),n=(tan A,tan B),且m∥n,那么△ABC一定是 (　　)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
3.(多选题)根据下列条件,判断三角形解的情况,其中正确的是(　　 )
A.a=8,b=16,A=30°,有一解
B.b=18,c=20,B=60°,有两解
C.a=5,c=2,A=90°,无解
D.a=30,b=25,A=150°,有一解
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若3bcos A=ccos A+acos C,则tan A的值是(　　)
A.-2 B.- C.2 D
5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=x,b=2,B=45°.若△ABC有两解,则x的取值范围是　　　　　.
6.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=　　　　　.
7.在△ABC中,B=60°,2b=a+c,试判断△ABC的形状.
8.已知△ABC为锐角三角形,角A,B,C分别对应边a,b,c,且a=2bsin A,求cos A+sin C的取值范围.
第2课时　正弦定理
课后训练巩固提升
一、A组
1.在△ABC中,已知AB=AC,B=30°,则C等于(　　)
A.45° B.15° C.45°或135° D.15°或105°
解析:∵AB=AC,由正弦定理得,
又B=30°,∴sinC=
∵AB>AC,∴C=45°或C=135°.
答案:C
2.在△ABC中,A=60°,B=75°,b=2+2,则△ABC中最小的边长为(　　)
A.2 B.4 C D
解析:∵C=180°-A-B=45°,由三角形的边角关系可知最小的边长为c,由正弦定理得,
∴c==4.
答案:B
3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=,c=2,cos A=,则b等于(　　)
A B C.2 D.3
解析:(方法一)由cosA=,且A∈(0,π),得sinA=,由正弦定理得sinC=
由a>c,得A>C,则cosC=
∵B=π-(A+C),
∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=1,
∴b=3.
(方法二)由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得()2=b2+22-2b·2,整理得3b2-8b-3=0,解得b=3或b=-(舍去),即b=3.
答案:D
4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若acos B=bcos A,则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.钝角三角形
解析:由正弦定理的变形公式,知a=2RsinA,b=2RsinB(R为△ABC外接圆的半径),代入acosB=bcosA,得sinAcosB=sinBcosA,即sin(A-B)=0,则A-B=0,即A=B,故△ABC为等腰三角形.
答案:C
5.已知一个三角形的两个内角分别是45°,60°,它们所夹的边的长为1,那么这个三角形最小的边长为　　　　　.
解析:不妨设A=45°,B=60°,
则AB=1,C=180°-45°-60°=75°.
∵A由正弦定理,得BC=-1.
即这个三角形最小的边长为-1.
答案:-1
6.在△ABC中,若B=2A,a∶b=1,则A=　　　　　.
解析:∵B=2A,∴sinB=sin2A,
∴sinB=2sinAcosA,
由正弦定理,得,
,∴cosA=
又0°答案:30°
7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A∶sin B∶sin C=5∶7∶8,则角B的大小为　　　　　.
解析:利用正弦定理化简已知等式,得a∶b∶c=5∶7∶8,设a=5k,b=7k,c=8k(k>0),利用余弦定理的推论,得cosB=,
∵B∈(0,π),∴B=
答案:
8.在△ABC中,已知a=,b=2,A=30°,解此三角形.
解:由正弦定理,
得sinB=
∵0°当B=45°时,
C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°.
,
∴c=+1;
当B=135°时,
C=180°-(A+B)=180°-(30°+135°)=15°,
∴c=-1.
综上可得,B=45°,C=105°,c=+1或B=135°,C=15°,c=-1.
9.已知△ABC中角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acos C+c=b.
(1)求角A的大小;
(2)若a=1,b=,求c的值.
解:(1)由正弦定理及acosC+c=b,
得sinAcosC+sinC=sinB.
因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
所以sinC=cosAsinC.
因为sinC≠0,所以cosA=
因为0(2)由正弦定理,得sinB=
因为0①当B=时,由A=,得C=,
因为c=,所以c=2;
②当B=时,由A=,得C=,即c=a=1.
综上可得c=1或c=2.
二、B组
1.在△ABC中,A=60°,a=,则等于(　　)
A B C D.2
解析:由a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R为△ABC外接圆的半径),
得=2R=
答案:B
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果m=(a2,b2),n=(tan A,tan B),且m∥n,那么△ABC一定是 (　　)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
解析:由m∥n,得a2tanB=b2tanA,
结合正弦定理有,即
则sin2A=sin2B.
得2A=2B或2A+2B=π.
故A=B或A+B=,
即△ABC是等腰三角形或直角三角形.故选D.
答案:D
3.(多选题)根据下列条件,判断三角形解的情况,其中正确的是(　　 )
A.a=8,b=16,A=30°,有一解
B.b=18,c=20,B=60°,有两解
C.a=5,c=2,A=90°,无解
D.a=30,b=25,A=150°,有一解
解析:对于选项A,由正弦定理,得sinB==1,即B=90°,有一解,故A正确;对于选项B,sinC=,即sinC>sinB,又c>b,∴C>B,故C有两解,故B正确;对于选项C,sinC=,∵A=90°,∴Cb,A=150°,∴B只有一解,故D正确.
答案:ABD
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若3bcos A=ccos A+acos C,则tan A的值是(　　)
A.-2 B.- C.2 D
解析:由正弦定理,得b=2RsinB,c=2RsinC,a=2RsinA(R为△ABC外接圆的半径),
则3(2RsinB)cosA=2RsinCcosA+2RsinAcosC,
则有3sinBcosA=sin(C+A)=sinB.
∵sinB≠0,∴cosA=>0.
∵A∈(0,π),∴A为锐角,
∴sinA=,
则有tanA==2
答案:C
5.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=x,b=2,B=45°.若△ABC有两解,则x的取值范围是　　　　　.
解析:因为△ABC有两解,所以asinB答案:(2,2)
6.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,则B=　　　　　.
解析:∵2bcosB=acosC+ccosA,
∴由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,
∴2sinBcosB=sin(A+C)=sin(π-B)=sinB.
又sinB≠0,∴cosB=
∵0答案:
7.在△ABC中,B=60°,2b=a+c,试判断△ABC的形状.
解:∵2b=a+c,B=60°,
∴由正弦定理得2sinB=sinA+sinC.
由A+C=120°,知C=120°-A.
=sinA+sin(120°-A)=sinA+cosA+sinA=sinA+cosA=sin(A+30°),
∴sin(A+30°)=1,
∴A=60°,C=60°.
∴△ABC为等边三角形.
8.已知△ABC为锐角三角形,角A,B,C分别对应边a,b,c,且a=2bsin A,求cos A+sin C的取值范围.
解:设R为△ABC外接圆的半径.
∵a=2bsinA,
∴2RsinA=4RsinBsinA.
∵sinA≠0,∴sinB=
∵B为锐角,∴B=
令y=cosA+sinC=cosA+sin[π-(B+A)]=cosA+sin=cosA+sincosA+cossinA
=cosA+sinA=sin
由△ABC为锐角三角形,知-B则即得sin,即故cosA+sinC的取值范围是
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