6.4.2向量在物理中的应用举例课后习题新人教A版必修第二册（含解析）

6.4.1　平面几何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的应用举例
课后训练巩固提升
一、A组
1.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为10 N,合力与F1的夹角为60°,那么F1的大小为(　　)
A.5 N B.5 N C.10 N D.5 N
2.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则四边形ABCD为(　　)
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
3.如图,在△ABC中,O为BC的中点,若AB=1,AC=3,∠BAC=60°,则||等于(　　)
A.1 B.2 C D.5
4.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC等于(　　)
A.- B C.0 D
5.(多选题)已知△ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是(　　)
A.|b|=1 B.|a|=1
C.a∥b D.(4a+b)
6. 如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为　　　　 N;若在图示坐标系中用坐标表示合力,则合力的坐标为　　　　　.
7.已知A,B,C是单位圆上的三点,且,其中O为坐标原点,则∠AOB=　　　　.
8.在四边形ABCD中,已知=(4,-2),=(7,4),=(3,6),则四边形ABCD的面积是 　　　　　.
9.已知两个力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).
(1)求F1,F2分别对质点所做的功;
(2)求F1,F2的合力F对质点所做的功.
10. 如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.
二、B组
1.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,点E为AB的中点,且,则||等于(　　)
A B.2 C.3 D.2
2.在△ABC中,设=a,=b,=c,若a·b=b·c=c·a,则△ABC的形状为(　　)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
3.在△ABC中,设O是△ABC的外心,且,则∠BAC等于(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.(多选题)如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么在小船匀速靠岸过程中,下列说法正确的是(　　)
A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断变小
C.船的浮力不断变小 D.船的浮力保持不变
5.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度大小向垂直于对岸的方向行驶,到达对岸时,船的实际行程为8 km,则河水的流速大小是　　　　　 km/h.
6.已知△AOB,点P在直线AB上,且满足=2t+t(t∈R),则t=　　　　　.
7.有一艘在静水中速度大小为10 km/h的船,现船沿与河岸成60°角的方向向河的上游行驶.由于受水流的影响,结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸.设河的两岸平行,河水流速均匀.
(1)设船相对于河岸和静水的速度分别为u,v,河水的流速为w,求u,v,w之间的关系式;
(2)求这条河河水的流速.
8.已知△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为点E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.
6.4.1　平面几何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的应用举例
课后训练巩固提升
一、A组
1.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为10 N,合力与F1的夹角为60°,那么F1的大小为(　　)
A.5 N B.5 N C.10 N D.5 N
解析:|F1|=10×cos60°=5.故选B.
答案:B
2.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则四边形ABCD为(　　)
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
解析:由题意知,=(3,3),=(2,2),所以
又因为||≠||,所以四边形ABCD为梯形.
答案:A
3.如图,在△ABC中,O为BC的中点,若AB=1,AC=3,∠BAC=60°,则||等于(　　)
A.1 B.2 C D.5
解析:因为O为BC的中点,所以),所以||2=)2=+2)=,即||=
答案:C
4.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC等于(　　)
A.- B C.0 D
解析:如图,建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),即=(-3,-4),=(3,-4).
∵∠BDC为的夹角,
∴cos∠BDC=
答案:B
5.(多选题)已知△ABC是边长为2的等边三角形,向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是(　　)
A.|b|=1 B.|a|=1
C.a∥b D.(4a+b)
解析:因为=2a,=2a+b,
所以b=,
所以|b|=||=2,故A错误;
因为=2a,所以||=2|a|=2,
所以|a|=1,故B正确;
因为a=,b=,
所以a与b不平行,故C错误;
因为4a+b=,
所以(4a+b)=()·()==0,
所以(4a+b),故D正确.
答案:BD
6. 如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为　　　　 N;若在图示坐标系中用坐标表示合力,则合力的坐标为　　　　　.
解析:因为F1=(2,3),F2=(3,1),
所以合力F=F1+F2=(2,3)+(3,1)=(5,4),
所以合力的大小为(N).
答案:　(5,4)
7.已知A,B,C是单位圆上的三点,且,其中O为坐标原点,则∠AOB=　　　　.
解析:如图所示,由||=||=||=1,,
得四边形OACB为边长为1的菱形,且∠AOB=120°.
答案:120°
8.在四边形ABCD中,已知=(4,-2),=(7,4),=(3,6),则四边形ABCD的面积是 　　　　　.
解析:=(3,6)=,
∴四边形ABCD为平行四边形.
又=4×3-2×6=0,
∴平行四边形ABCD为矩形.
∵||==2,||==3,
∴四边形ABCD的面积S=||||=23=30.
答案:30
9.已知两个力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).
(1)求F1,F2分别对质点所做的功;
(2)求F1,F2的合力F对质点所做的功.
解:(1)=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),W1=F1=(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99,
W2=F2=(6,-5)·(-13,-15)=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3.
故力F1,F2对质点所做的功分别为-99和-3.
(2)W=F=(F1+F2)=[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15)
=(9,-1)·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15)=-117+15=-102.
故合力F对质点所做的功为-102.
10. 如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.
证明:=()·()==()·
·=-|2+|2+.
因为CA=CB,CA⊥CB,
所以-|2+|2+=0,
即,
二、B组
1.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,点E为AB的中点,且,则||等于(　　)
A B.2 C.3 D.2
解析:以点A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图.
设D(0,y),则E(2,0),C(4,y),=(2,-y),=(4,y),因为,所以=8-y2=0,解得y2=8.
所以||==2
答案:B
2.在△ABC中,设=a,=b,=c,若a·b=b·c=c·a,则△ABC的形状为(　　)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析:因为a·b=b·c,所以(a-c)·b=0,而由向量加法的三角形法则可知,a+b+c=0,所以b=-a-c,所以(a-c)·(-a-c)=0,即(a-c)·(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.
同理可得|a|=|b|,所以|a|=|b|=|c|.
故△ABC是等边三角形.
答案:B
3.在△ABC中,设O是△ABC的外心,且,则∠BAC等于(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
解析:取BC的中点D,连接AD,则=2.因为,所以,所以O是△ABC的重心.又因为O是△ABC的外心,所以△ABC是等边三角形,故∠BAC=60°.
答案:C
4.(多选题)如图所示,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么在小船匀速靠岸过程中,下列说法正确的是(　　)
A.绳子的拉力不断增大 B.绳子的拉力不断变小
C.船的浮力不断变小 D.船的浮力保持不变
解析:设水的阻力为f,绳子的拉力为F,F与水平方向的夹角为
则|F|cosθ=|f|,即|F|=
∵在小船靠岸过程中,θ增大,则cosθ减小,
∴|F|增大.
∵|F|sinθ与浮力的和等于小船的重力,重力大小不变,而|F|sinθ增大,∴小船的浮力减小.
答案:AC
5.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度大小向垂直于对岸的方向行驶,到达对岸时,船的实际行程为8 km,则河水的流速大小是　　　　　 km/h.
解析:如图,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航行速度.
由图知,||=4,
||=8,则∠AOB=60°.
∵|v2|=2,∴|v1|=|v2|tan60°=2
即河水的流速大小是2km/h.
答案:2
6.已知△AOB,点P在直线AB上,且满足=2t+t(t∈R),则t=　　　　　.
解析:=2t()+t,(2t+1)=2t+t,
∵A,B,P三点共线,=1,∴t=1.
答案:1
7.有一艘在静水中速度大小为10 km/h的船,现船沿与河岸成60°角的方向向河的上游行驶.由于受水流的影响,结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸.设河的两岸平行,河水流速均匀.
(1)设船相对于河岸和静水的速度分别为u,v,河水的流速为w,求u,v,w之间的关系式;
(2)求这条河河水的流速.
解:(1)如图,u是垂直到达河对岸方向的速度,v是与河岸成60°角的静水中的船速,
则v与u的夹角为30°.
由题意知,u,v,w三条有向线段构成一个直角三角形,其中=v,=u,=w.
由向量加法的三角形法则知,,即u=w+v.
(2)∵|v|=10km/h,而||=||sin30°=10=5(km/h),
∴这条河河水的流速为5km/h,方向顺着河岸向下.
8.已知△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为点E,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.
证明:如图,以B为原点,BC,BA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,
设A(0,2),C(2,0),则D(1,0),=(2,-2).
设=,则=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).
因为=(-1,2),且,所以=0,
所以-2λ+2(2-2λ)=0,解得λ=
所以
所以
又=(1,0),
所以cos∠ADB=,
cos∠FDC=,
又∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC.
1