6.3.5平面向量数量积的坐标表示课后习题新人教A版必修第二册（含解析）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
课后训练巩固提升
一、A组
1.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c等于(　　)
A.12 B.0 C.-3 D.-11
2.已知向量a=(1,),b=(-,x),且a与b的夹角为60°,则x等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.已知向量u=(x+2,3),v=(x,1),当f(x)=u·v取得最小值时,x的值为(　　)
A.0 B.-1 C.2 D.1
4.在 ABCD中,已知=(-4,2),=(2,-6),那么|2|等于(　　)
A.5 B.2 C.2 D
5.(多选题)已知向量a=(-1,2),b=(2,1),则下列结论正确的是(　　)
A.a∥b B.a⊥b
C.(a+b)⊥(a-b) D.(2a+b)∥(a-2b)
6.若a·b=39,b=(12,5),则a在b上的投影向量是　　　　　.
7.已知向量a=(1,0),b=(x,1),若a·b=2,则x=　　　　　;|a+b|=　　　　　.
8.在以OA为边,OB为对角线的矩形中,=(-3,1),=(-2,k),则实数k=　　　　　.
9.已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.
(1)求b与c;
(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.
10.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB⊥AD;
(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值.
二、B组
1.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为(　　)
A B.2 C.5 D.10
2.已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(3,0),则|2a-b|的最大值和最小值分别是(　　)
A.4,0 B.4,2 C.25,1 D.5,1
3.在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,E为线段BC的中点,F为线段CD上的动点,则的取值范围是(　　)
A.[2,14] B.[0,12] C.[0,6] D.[2,8]
4.若平面向量a=(1,-2)与b的夹角是180°,且|b|=4,则b=　　　　　.
5.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b=　　　　　　　　.
6.已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且|ka+b|=|a-kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b;
(2)求a·b的最小值,并求出此时a与b的夹角θ.
7.已知向量a=(1,2),b=(cos α,sin α),设m=a+tb(t∈R).
(1)若α=,求当|m|取最小值时实数t的值;
(2)若a⊥b,是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为 若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由.
6.3.5　平面向量数量积的坐标表示
课后训练巩固提升
一、A组
1.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c等于(　　)
A.12 B.0 C.-3 D.-11
解析:因为a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),所以(a+2b)·c=-5×3+6×2=-3.
答案:C
2.已知向量a=(1,),b=(-,x),且a与b的夹角为60°,则x等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:由cos60°=,
得解得x=3.
答案:C
3.已知向量u=(x+2,3),v=(x,1),当f(x)=u·v取得最小值时,x的值为(　　)
A.0 B.-1 C.2 D.1
解析:f(x)=u·v=(x+2)x+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,故当x=-1时,f(x)取得最小值2.
答案:B
4.在 ABCD中,已知=(-4,2),=(2,-6),那么|2|等于(　　)
A.5 B.2 C.2 D
解析:=(-4,2),且(-4,2)+(-2,6)=(-3,4),
∴2+()=(-3,4)+(-4,2)=(-7,6),
∴|2|=
答案:D
5.(多选题)已知向量a=(-1,2),b=(2,1),则下列结论正确的是(　　)
A.a∥b B.a⊥b
C.(a+b)⊥(a-b) D.(2a+b)∥(a-2b)
解析:因为a·b=0,故A不正确,B正确;由a+b=(1,3),a-b=(-3,1),易得(a+b)·(a-b)=0,故(a+b)⊥(a-b),故C正确;由2a+b=(0,5),a-2b=(-5,0),易得(2a+b)·(a-2b)=0,故(2a+b)⊥(a-2b),故D不正确.
答案:BC
6.若a·b=39,b=(12,5),则a在b上的投影向量是　　　　　.
解析:因为b=(12,5),所以与b方向相同的单位向量e=,设向量a,b的夹角为θ,则a在b上的投影向量为|a|cosθe=e=3e=
答案:
7.已知向量a=(1,0),b=(x,1),若a·b=2,则x=　　　　　;|a+b|=　　　　　.
解析:∵a·b=2,∴x=2.
∵a+b=(3,1),∴|a+b|=
答案:2　
8.在以OA为边,OB为对角线的矩形中,=(-3,1),=(-2,k),则实数k=　　　　　.
解析:如图所示,因为=(-3,1),=(-2,k),所以=(1,k-1).
在矩形中,由=0,所以(-3,1)·(1,k-1)=0,即-3×1+1×(k-1)=0,解得k=4.
答案:4
9.已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.
(1)求b与c;
(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m,n的夹角的大小.
解:(1)∵a∥b,∴3x-4×9=0,解得x=12.
∵a⊥c,∴3×4+4y=0,解得y=-3.
即b=(9,12),c=(4,-3).
(2)设m与n的夹角为θ.
∵m=2a-b=(-3,-4),n=a+c=(7,1),
∴cosθ==-,
∵θ∈[0,π],∴θ=
10.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB⊥AD;
(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值.
(1)证明:∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
=(1,1),=(-3,3).
又=1×(-3)+1×3=0,
,∴AB⊥AD.
(2)解:,四边形ABCD为矩形,
设点C的坐标为(x,y),则=(x+1,y-4).
又=(1,1),解得
∴点C的坐标为(0,5).
=(-2,4),=(-4,2),
∴||=2,||=2=8+8=16.
设的夹角为θ,
则cosθ=
故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为
二、B组
1.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为(　　)
A B.2 C.5 D.10
解析:=(1,2)·(-4,2)=-4+4=0,
,
∴S四边形ABCD=|||=2=5.
答案:C
2.已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(3,0),则|2a-b|的最大值和最小值分别是(　　)
A.4,0 B.4,2 C.25,1 D.5,1
解析:因为|2a-b|2=4|a|2+|b|2-4a·b=13-12cosθ,又-1≤cosθ≤1,易知1≤13-12cosθ≤25,所以|2a-b|的最大值和最小值分别是5,1,故选D.
答案:D
3.在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,E为线段BC的中点,F为线段CD上的动点,则的取值范围是(　　)
A.[2,14] B.[0,12] C.[0,6] D.[2,8]
解析:如图,建立平面直角坐标系,A(0,0),E(2,1),设F(x,2)(0≤x≤2),则=(2,1),=(x,2),因此=2x+2,设f(x)=2x+2(0≤x≤2),f(x)为增函数,则f(0)=2,f(2)=14,故2≤f(x)≤14,
的取值范围是[2,14].
答案:A
4.若平面向量a=(1,-2)与b的夹角是180°,且|b|=4,则b=　　　　　.
解析:由题意可设b=λa=(λ,-2λ),λ<0,
则|b|2=λ2+4λ2=5λ2=80,解得λ=-4,
故b=-4a=(-4,8).
答案:(-4,8)
5.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b=　　　　　　　　.
解析:设b=(x,y).
∵|b|==1,∴x2+y2=1.
∵a·b=x+y=,
∴x2+[(1-x)]2=1,即2x2-3x+1=0.
解得x1=1,x2=,则y1=0,y2=
∵当b=(1,0)时,与x轴平行,
∴b=
答案:
6.已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且|ka+b|=|a-kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b;
(2)求a·b的最小值,并求出此时a与b的夹角θ.
解:(1)由|ka+b|=|a-kb|,得(ka+b)2=3(a-kb)2,
∴k2a2+2ka·b+b2=3a2-6ka·b+3k2b2,
∴(k2-3)a2+8ka·b+(1-3k2)b2=0.
∵|a|=1,|b|=1,∴k2-3+8ka·b+1-3k2=0.
∴a·b=(k>0).
(2)a·b=(k>0),
由基本不等式可得k+2,当且仅当k=1时等号成立,即当k=1时,a·b的最小值为
设此时a与b的夹角为θ,
则cosθ=,因为θ∈[0,π],
所以θ=
7.已知向量a=(1,2),b=(cos α,sin α),设m=a+tb(t∈R).
(1)若α=,求当|m|取最小值时实数t的值;
(2)若a⊥b,是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为 若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由.
解:(1)当α=时,b=,a·b=,
则|m|==,
故当t=-时,|m|取得最小值.
(2)假设存在满足条件的实数t.
由条件得cos,∵a⊥b,
∴|a-b|=,|a+tb|=,(a-b)·(a+tb)=5-t,
∴t2+5t-5=0,且t<5,解得t=
∴存在t=满足条件.
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