新教材必修二第七章《复数》必备知识与能力盘点
一.复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).
练习1.（1）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是 .
【答案】2
（2）若复数z满足 (3－4i)z＝|4＋3i |，则z的虚部为
A．－4 B．－ C．4 D．
【答案】C
(2)分类：
项目 满足条件(a，b为实数)
复数的分类 a＋bi为实数 b＝0 a＋bi为虚数 b≠0 a＋bi为纯虚数 a＝0且b≠0
练习2.（1）设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为
A．2 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】设，则，∴．故选A．
（2）设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B【解析】“”则或，“复数为纯虚数”则且，则“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件，故选B．
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
练习3.若=（为实数，为虚数单位），则=____________．
【答案】3【解析】∵，∴．又∵都为实数，故由复数的相等的充要条件得解得∴．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
练习4：（1）已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由已知得，∴ ．
（2）如图在复平面内，点A表示复数，则图中表示的共轭复数的点是
A．A B．B C．C D．D
【答案】B
【解析】设表示复数，则的共轭复数对应的点位．
(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).
复平面内的两点，之间的距离：因为复平面内的点，对应的复数分别为，，所以点，之间的距离为
.
两个注意点
(1)两个虚数不能比较大小；
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
练习5：（1）已知复数z1＝a＋bi，z2＝1＋ai(a， b∈R)，若|z1|【答案】
【解析】因为|z1|故b的取值范围是(－1， 1).
（2）设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝________.
【答案】
【解析】法一 由(1＋i)z＝2i，得z＝＝1＋i，所以|z|＝.
法二 因为2i＝(1＋i)2，所以由(1＋i)z＝2i＝(1＋i)2，得z＝1＋i，
所以|z|＝.
二.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
练习（1）知＝－1＋bi，其中a，b是实数，则复数a－bi在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】由＝－1＋bi，得a＝(－1＋bi)(1－i)＝(b－1)＋(b＋1)i，
∴即a＝－2，b＝－1，
∴复数a－bi＝－2＋i在复平面内对应点(－2，1)，位于第二象限.
（2）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意z=1+2i，iz=-2+i，故选B．
三.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
＝＝＋i(c＋di≠0).
练习1：若复数满足，则的虚部为
A．－4 B． C．4 D．
【答案】D【解析】由题知===，故z的虚部为，故选D．
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.
练习2．（1）已知是虚数单位，若复数满足，则=
【答案】2i
（2）若，则=
【答案】
（3）已知，则复数z= .
【答案】或.
【解析】设 ，则，所以，即，则
解得或，故或.
四、熟悉下列结论可快速解题
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.
练习1.计算：
【答案】0
【解析】
.
练习2. 设，求证：
（1）
（2）
（3）
【解析】（1）由，可得，
所以.
（2）由，可得，
则
（3）由，可得，，
则，所以.
2.复数的模与共轭复数的关系：z·＝|z|2＝||2.
练习2（1）已知复数，则＝________.
A． B． C． D．
【答案】5
【解析】由题，则．
练习（2）利用公式，把下列各式分解成一次因式的积；
在复数范围内分解因式：（I）.
（II）x4－4
x4－4＝(x2＋2)(x2－2)＝(x＋i)(x－i)(x＋)(x－)．
3.平行四边形法则
练习3：设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________.
【解析】法一 设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝－a＋(1－b)i，
则即
∴|z1－z2|2＝(2a－)2＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4(a＋b)＋4＝12.
因此|z1－z2|＝2.
法二 设复数z1，z2对应的向量为a，b，
则复数z1＋z2，z1－z2对应向量为a＋b，a－b，依题意|a|＝|b|＝2，|a＋b|＝2，
又因为|a＋b|2＋|a－b|2＝2|a|2＋2|b|2，所以|a－b|2＝12，
故|z1－z2|＝|a－b|＝2.
法三 设z1＋z2＝z＝＋i，则z在复平面上对应的点为P(，1)，所以|z1＋z2|＝|z|＝2，由平行四边形法则知OAPB是边长为2，一条对角线也为2的菱形，则另一条对角线的长为|z1－z2|＝2××2＝2.
4.在复数范围内解下列方程：
（2）将方程的二次项系数化为1，得
.
配方，得，即.
由，知.类似（1），可得
.所以原方程的根为.
结论：在复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式为：
（1）当时，；
（2）当时，.
练习4（1）方程在复数范围内解是 ；
【解析】，
∴方程的根为，即.
（2）已知－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，则实数p+q的值为 ．
【答案】28
【解析】∵－3＋2i方程2x2＋px＋q＝0的一个根，
∴2(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0
即(10－3p＋q)＋(2p－24)i＝0.
∴解得p+q=28新教材必修二第七章《复数》必备知识与能力盘点
一.复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).
练习1.（1）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是 .
（2）若复数z满足 (3－4i)z＝|4＋3i |，则z的虚部为
A．－4 B．－ C．4 D．
(2)分类：
项目 满足条件(a，b为实数)
复数的分类 a＋bi为实数 b＝0 a＋bi为虚数 b≠0 a＋bi为纯虚数 a＝0且b≠0
练习2.（1）设 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为
A．2 B．2 C． D．
（2）设，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
练习3.若=（为实数，为虚数单位），则=____________．
(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
练习4：（1）已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则
A． B． C． D．
（2）如图在复平面内，点A表示复数，则图中表示的共轭复数的点是
A．A B．B C．C D．D
(5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).
复平面内的两点，之间的距离：因为复平面内的点，对应的复数分别为，，所以点，之间的距离为
.
两个注意点
(1)两个虚数不能比较大小；
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
练习5：（1）已知复数z1＝a＋bi，z2＝1＋ai(a， b∈R)，若|z1|设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝ ________.
二.复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量.
练习（1）知＝－1＋bi，其中a，b是实数，则复数a－bi在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
（2）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则 （ ）
A． B． C． D．
三.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.
＝＝＋i(c＋di≠0).
练习1：若复数满足，则的虚部为（ ）
A．－4 B． C．4 D．
(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图所示给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.
练习2．（1）已知是虚数单位，若复数满足，则=
（2）若，则=
（3）已知，则复数z= .
四、熟悉下列结论可快速解题
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.
练习1.计算：= .
练习2. 设，求证：
（1）
（2）
（3）
2.复数的模与共轭复数的关系：z·＝|z|2＝||2.
练习2（1）已知复数，则________.
练习（2）利用公式，把下列各式分解成一次因式的积；
在复数范围内分解因式：（I）.
（II）x4－4
3.平行四边形法则
练习3：设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________.
4.在复数范围内解下列方程：
（2）将方程的二次项系数化为1，得
.
配方，得，即.
由，知.类似（1），可得
.所以原方程的根为.
结论：在复数范围内，实系数一元二次方程的求根公式为：
（1）当时，；
（2）当时，.
练习4（1）方程在复数范围内解是 ；
（2）已知－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，则实数p+q的值为 ．
