1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
1．理解空间向量及相关概念．(重点)2．掌握空间向量的线性运算．(重点)3．掌握向量共线的充要条件、三个向量共面的充要条件及应用．(重点、难点) 1．通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升直观想象和逻辑推理素养．
回忆平面向量的有关概念与约定，思考能否将它们从平面推广到空间中，如果能，尝试说出推广后的不同之处，如果不能，请说明理由．
知识点1 空间向量及相关概念
(1)空间向量的定义及表示
定义 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量
长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模
表示方法 几何表示 空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模
符号表示 空间向量常用一个小写字母表示．如：向量a，b，c…，其模分别记为|a|，|b|，|c|…
空间向量也可以用有向线段表示．如图所示，向量a也可记作，其模记为|a|或||
(2)几类常见的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0
单位向量 模为1的向量叫做单位向量
相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量，记为－a
相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
共线向量或平行向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量
1．若两个空间向量相等，则它们的方向相同，且模相等，那么它们的起点、终点也相同吗？
[提示] 起点、终点未必相同．
单位向量、零向量都只规定了向量的模而没有规定方向．需注意单位向量有无数个，它们的方向并不确定，因此，它们不一定相等；零向量也有无数个，它们的方向是任意的，但规定所有的零向量都相等．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量与向量的长度相等． ( )
(2)零向量没有方向． ( )
[提示] (1)√ 对于任意向量和，都有||＝||成立．
(2)× 零向量有方向，它的方向是任意的．
知识点2 空间向量的线性运算
空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋＝
减法 a－b＝－＝
数乘 当λ>0时，λa＝λ＝；当λ<0时，λa＝λ＝；当λ＝0时，λa＝0
运算律 交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb
2．由λa＝0，可否得出λ＝0
[提示] 不能．λa＝0 λ＝0或a＝0．
2．(1)已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b－c B．c－a－b
C．c＋a－b D．c＋a＋b
(2)化简＋－＝________．
(1)B (2)0 [(1)＝＋＋＝－b－a＋c＝c－a－b，故选B．
(2)＋－＝＋＝0．]
知识点3 共线向量
(1)向量共线的充要条件：对于任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使 a＝λb．
(2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．
3．怎样利用向量共线的充要条件证明空间A，B，C三点共线？
[提示] 只需证明向量，(不唯一)共线即可．
向量共线的充要条件可以作为判定线线平行的依据．但必须注意在向量a(或b)所在直线上至少有一点不在b(或a)所在的直线上．
3．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a∥b，b∥c，则a∥c． ( )
(2)若a∥b，则存在唯一的实数λ，使得a＝λb． ( )
(3)若＝，则A，B，C三点共线． ( )
[提示] (1)× 当b＝0时，a∥c不一定成立．
(2)× 当a是非零向量，b＝0时，不存在实数λ，使得a＝λb．
(3)√ 由＝知∥，且有公共点B，此时A，B，C三点共线．
知识点4 共面向量和三个向量共面的充要条件
(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
(2)三个向量共面的充要条件：如果两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b．
4．(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？
(2)已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，存在有序实数对(x，y)，满足关系＝＋x＋y，则点P与点A，B，C是否共面？
(3)对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式＝x＋y＋z，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？
[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．
(2)共面．由＝＋x＋y，可得＝x＋y，所以向量与向量，共面，故点P与点A，B，C共面．
(3)x＋y＋z＝1．
证明如下：①充分性
∵＝x＋y＋z可变形为＝(1－y－z)＋y＋z，
∴－＝y(－)＋z(－)，
∴＝y＋z，
∴点P与A，B，C共面．
②必要性
∵点P在平面ABC内，不共线的三点A，B，C，
∴存在有序实数对(m，n)使＝m＋n，
－＝m(－)＋n(－)，
∴＝(1－m－n)＋m＋n，
∵＝x＋y＋z，
点O在平面ABC外，
∴，，不共面，
∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，
∴x＋y＋z＝1．
三个向量共面的充要条件可作为判定三条直线共面的依据，但要注意应用三个向量共面的充要条件判定三条直线共面时，还需要其中一条直线上有一点在另外两条直线所确定的平面内．
4．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若向量a，b，c共面，则表示这三个向量的有向线段所在的直线共面． ( )
(2)若点P，M，A，B四点共面，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使＝x＋y． ( )
(3)对于空间的任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是共面向量． ( )
[提示] (1)× 三条直线不一定在同一平面内．
(2)× 当与共线，与不共线时，x，y不存在．
(3)√ 由2a－b＝2·a＋(－1)·b得2a－b与a，b共面．
类型1 空间向量的有关概念及简单应用
【例1】 给出下列结论：
①若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；
②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝±b；
③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
④空间中任意两个单位向量必相等；
⑤在如图1所示的正方体ABCD A1B1C1D1中，必有＝；
图1 图2
⑥如图2所示，在平行六面体ABCD A′B′C′D′的所有棱对应的向量中，与相等的向量有3个．
其中正确的是________．(填序号)
③⑤⑥ [当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等向量不一定起点相同，终点也相同，故①错误；
要保证两向量相等，则需模相等且方向相同，要保证两向量是相反向量，则需模相等且方向相反，但②中仅给出向量a与向量b的模相等，所以这两个向量不一定为相等向量或相反向量，故②错误；
命题③是相等向量的传递性，显然正确；
空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故④错误；
在正方体ABCD A1B1C1D1中，向量与的方向相同，模也相等，所以＝，故⑤正确；
在平行六面体ABCD A′B′C′D′的所有棱对应的向量中，与相等的向量分别为，，，故⑥正确．]
空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念．
1．如图所示，以长方体ABCD A1B1C1D1的8个顶点中的两点为起点和终点的向量中：
(1)试写出与相等的所有向量；
(2)试写出的相反向量；
(3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模．
[解] (1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及共3个．
(2)向量的相反向量为，，，．
(3)||＝
＝＝＝3．
类型2 空间向量的线性运算
【例2】 (1)(多选题)在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量的是( )
A．－－
B．＋－
C．－＋
D．－＋
(2)如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
①；②；③＋．
(1)CD [－－＝－＝，A错；
＋－＝＋－＝＋＝，B错；
－＋＝＋＝，C对；
－＋＝－＋＝，D对．故选CD．]
(2)[解] ①∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋＝a＋＋＝a＋c＋＝a＋c＋b．
②∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋＝－a＋b＋c．
③∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋＝a＋b＋c．
又＝＋＝＋＝＋＝c＋a，
∴＋＝＋＝a＋b＋c．
1．空间向量加法、减法运算的2个技巧
(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．
(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．
2．利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．
(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．
2．在空间四边形ABCD中， G为△BCD的重心，E，F，H分别为边CD，AD和BC的中点，化简下列各表达式．
(1)＋＋；
(2)(＋－)．
[解] (1)因为G是△BCD的重心，所以||＝||，
所以＝，又因为＝，
所以由向量的加法法则，可知＋＋＝＋＋＝＋＝．
从而＋＋＝．
(2)法一：由＋＝2，＝得
(＋－)＝－＝．
法二：如图所示，分别取AB，AC的中点P，Q，
连接PH，QH，
则四边形APHQ为平行四边形，
且有＝，＝，
而＋＝，＝，
所以(＋－)＝＋－＝－＝．
类型3 空间向量共线问题
【例3】 (1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________．
(2)如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝．求证：四边形EFGH是梯形．
(1)1 [＝＋＋＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2．
设＝λ，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，
所以解得k＝1．]
(2)[证明] ∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴＝，＝，
则＝－＝－＝
＝(－)＝
＝(C－)＝，
∴∥且||＝||≠||．
又F不在直线EH上，
∴四边形EFGH是梯形．
证明空间三点共线有哪些方法？
[提示] 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线：
(1)存在实数λ，使＝λ成立．
(2)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．
3．(1)已知空间中三个不共面的向量m，n，p，若a＝3m－2n－4p，b＝(x＋1)m＋yn＋2p，且a∥b，则x＝________，y＝________．
(2)(2022·临川一中单元检测)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且＝，BD与AC交于点M．求证：C1，O，M三点共线．
(1)－ 1 [由a∥b得，b＝λa(λ∈R)，
即(x＋1)m＋yn＋2p＝3λm－2λn－4λp．
因为向量m，n，p不共面．所以
解得]
(2)[证明] 如图所示，连接AO，AC1，A1C1，∵＝，∴＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋．
∵＝2，∴＝＋＝－＝－2，∴＝＋＝(－2)＋＝＋．
∵＋＝1，∴C1，O，M三点共线．
类型4 向量共面问题
【例4】 (1)(多选题)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是( )
A．＝＋＋
B．＝＋＋
C．＝＋＋
D．＝2－－
(2)(对接教材P5例题)如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2，求证：A1，B，N，M四点共面．
如何判断空间中的三个向量是否共面？
(1)BC [法一：A选项，＝＋＋，不能转化成＝x＋y的形式，所以A不正确；
B选项，∵＝＋＋，
∴3＝＋＋，∴－＝(－)＋(－)，∴＝＋，∴＝－－，∴P，A，B，C共面．故B正确；
C选项，＝＋＋＝＋(＋)＋(＋)
＝＋＋，
∴－＝＋，
∴＝＋，
由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面，故C选项正确．
D选项，＝2－－，无法转化成＝x＋y的形式，所以D项不正确．
法二：点P与A，B，C共面时，对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，可判断出只有选项B，C符合要求．]
(2)[证明] 设＝a，＝b，＝c，则＝b－a，
∵M为线段DD1的中点，
∴＝c－a，
又∵AN∶NC＝2，
∴＝＝(b＋c)，
∴＝－＝(b＋c)－a
＝(b－a)＋
＝＋，
∴，，为共面向量．
又∵三向量有相同的起点A1，
∴A1，B，N，M四点共面．
解决向量共面的策略
(1)若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量的充要条件，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．
4．如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE．
求证：向量，，共面．
[证明] 因为M在BD上，
且BM＝BD，所以＝＝＋．同理＝＋．
所以＝＋＋
＝＋＋＋＋
＝＋＝＋．
又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．
1．下列关于空间向量的命题中，正确的命题是( )
A．任一向量与它的相反向量都不相等
B．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
C．平行且模相等的两个向量是相等向量
D．若a≠b，则|a|≠|b|
B [对于A，零向量与它的相反向量相等，故A错．
对于B，根据相等向量的定义知，B正确．
对于C，两向量平行，方向不一定相同，故C错．
对于D，a≠b，但可能两个向量的模相等而方向不同，故D错．因此选B．]
2．(多选题)如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的有( )
A．(＋)＋
B．(＋)＋
C．(＋)＋
D．(＋)＋
ABCD [对于A，(＋)＋＝＋＝；对于B，(＋)＋＝＋＝；
对于C，(＋)＋＝＋＝；
对于D，(＋)＋＝＋＝．故选ABCD．]
3．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
A [因为＋＝＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2，所以A，B，D三点共线．]
4．已知点P和不共线的三点A，B，C四点共面且对于空间任意一点O，都有＝2＋＋λ，则λ＝________．
－2 [对于空间不共线的三点A，B，C和点P，若四点共面，则对空间任意一点O，都有＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝1，∴2＋1＋λ＝1，∴λ＝－2．]
5．已知i，j，k是不共面向量，a＝2i－j＋3k，b＝－i＋4j－2k，c＝7i＋5j＋λk，若a，b，c三个向量共面，则实数λ等于________．
[若向量a，b，c共面，则存在x，y∈R，使得a＝xb＋yc，
∴2i－j＋3k＝x(－i＋4j－2k)＋y(7i＋5j＋λk)，
∴解得λ＝．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．平面向量的有关概念与约定推广到空间中后得到相应空间向量的有关概念与约定，它们有什么不同之处？
[提示] 适用范围不同，一个在平面内，一个在空间中．
2．向量a与b共线，则一定存在λ使得a＝λb成立吗？
[提示] 当b＝0时，不一定存在λ值．
3．如何证明点P，A，B，C四点共面？
[提示] 可转化为证明向量，，共面．(共84张PPT)
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.1.1 空间向量及其线性运算
必备知识·情境导学探新知
01
知识点1
知识点2
知识点3
知识点4
大小
大小
方向
长度
零向量
模为1
相等
相反
共线向量
相同
相等
同向
等长
互相平行或重合
平行
p＝x a＋y b
同一个平面
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1
类型2
类型3
类型4
学习效果·课堂评估夯基础
03
学习任务
核心素养
P
Ci
1
1
Bi
I
I
I
I
1
I
M
D
A
B
