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第四章 数列
4.1 数列的概念
第2课时 数列的递推公式和Sn与an的关系
必备知识·情境导学探新知
01
知识点1
知识点2
知识点3
递推
n
1
n
序号n
关键能力·合作探究释疑难
02
类型1
类型2
类型3
类型4
学习效果·课堂评估夯基础
03第2课时 数列的递推公式和Sn与an的关系
1．理解递推公式的含义．(重点)2．掌握递推公式的应用．(难点)3．会用an与Sn的关系求通项公式．(重点、易错点) 1．借助利用数列的递推公式求具体项或求通项，培养逻辑推理核心素养．2．借助利用an与Sn的关系确定an的求法，培养逻辑推理及数学运算核心素养．
斐波那契，意大利著名数学家．保存至今的斐波那契著作有5部，其中影响最大的是1202年在意大利出版的《算盘全书》．《算盘全书》中有一个著名的兔子繁殖问题：如果一对兔子每月繁殖一对子兔(一雌一雄)，而每一对子兔在出生后第三个月里又能生一对兔子．试问一对兔子50个月后会有多少对兔子？从第1个月开始，以后每个月的兔子总对数是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，这就是著名的斐波那契数列．这个数列的规律是递推关系：Fn＝Fn－1＋Fn－2(n>2)，其中Fn表示第n个月的兔子的总对数．那么什么是递推关系呢？
知识点1 数列的递推公式
(1)两个条件：
①已知数列的第1项(或前几项)；
②从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示．
(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式．
1．数列1,2,4,8，…的第n项an与第n＋1项an＋1有什么关系？
[提示] an＋1＝2an．
知识点2 数列递推公式与通项公式的关系
关系 递推公式 通项公式
区别 表示an与它的前一项an－1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系
联系 (1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式
2．仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？
[提示] 不能．数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的．
1．数列{an}满足an＋1＝1－，且a1＝2，则a2 020＝________．
2 [由an＋1＝1－及a1＝2可得a2＝，a3＝－1，a4＝2，a5＝，…，所以{an}是周期为3的周期数列．又因2 020＝673×3＋1，∴a2 020＝a1＝2．]
知识点3 数列{an}的前n项和
(1)数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an．
(2)如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式．
(3)数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝
2．数列{an}的前n项和Sn＝3n2，则an＝________．
6n－3 [当n＝1时，a1＝S1＝3，
当n≥2时，Sn－1＝3(n－1)2＝3n2－6n＋3，
an＝Sn－Sn－1＝6n－3，当n＝1时上式也符合．
所以an＝6n－3．]
类型1 由递推公式求数列中的项
【例1】 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n≥3)给出．
(1)写出此数列的前5项；
(2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}，写出数列{bn}的前4项．
[解] (1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)，
且a1＝1，a2＝2，
∴a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3＋a2＝3＋2＝5，
a5＝a4＋a3＝5＋3＝8．
故数列{an}的前5项依次为a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8．
(2)∵bn＝，且a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8，
∴b1＝＝，b2＝＝，b3＝＝，b4＝＝．
故{bn}的前4项依次为b1＝，b2＝，b3＝，b4＝．
根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．
1．已知数列{an}，a1＝1，且满足an＝3an－1＋(n∈N*，且n＞1)，写出数列{an}的前5项．
[解] ∵an＝3an－1＋且a1＝1，
∴a2＝3×1＋＝，
a3＝3×－＝10，
a4＝3×10＋＝，
a5＝3×－＝91．
类型2 数列的单调性及应用
【例2】 已知数列{an}，其通项公式为an＝3n2－n(n∈N*)，判断数列{an}的单调性．
[解] 法一 an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，则an＋1－an＝3(n＋1)2－(n＋1)－(3n2－n)＝6n＋2＞0，
即an＋1＞an(n∈N*)，故数列{an}是递增数列．
法二 an＝3n2－n，an＋1＝3(n＋1)2－(n＋1)，
则＝＝·＞1．
又an＞0，故an＋1＞an，即数列{an}是递增数列．
法三 令y＝3x2－x，则函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为直线x＝，＜1，则函数y＝3x2－x在上单调递增，故数列{an}是递增数列．
(1)判断数列的单调性通常是通过比较数列{an}中任意相邻两项an＋1和an的大小来判断，常用方法是定义法、作差法和作商法．
(2)利用数列的单调性确定变量的取值范围，解决此类问题常利用以下等价关系：
数列{an}递增 an＋1>an(n∈N*)；
数列{an}递减 an＋1
2．已知数列{an}满足an＝n2＋λn(n∈N*)，且对任意n∈N*，an＜an＋1恒成立，则实数λ的取值范围为( )
A．λ＞0 B．λ＜0
C．λ≥－2 D．λ＞－3
D [法一 因为对任意n∈N*，an＜an＋1恒成立，所以数列{an}是递增数列．由an＝n2＋λn知(n，an)(n∈N*)是函数f(x)＝x2＋λx图象上的点，而函数f(x)图象的对称轴为x＝－，事实上，数列{an}是递增数列，满足a1＜a2＜…＜an＜…即可．欲满足上述不等关系，需－＜，解得λ＞－3．
法二 由题意得an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－(n2＋λn)＝2n＋1＋λ＞0恒成立，即λ＞－(2n＋1)恒成立．而n∈N*，所以λ＞－3．]
类型3 由Sn求通项an
【例3】 根据下列数列的前n项和Sn求通项an．
(1)Sn＝2n2－n＋1；
(2)Sn＝2·3n－2．
[解] (1)由Sn＝2n2－n＋1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－n＋1)－[2(n－1)2－(n－1)＋1]
＝4n－3．
当n＝1时，a1＝S1＝2≠4×1－3，
∴an＝
(2)由Sn＝2·3n－2，
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝2·3n－2－(2·3n－1－2)
＝4·3n－1．
当n＝1时，a1＝S1＝2×31－2＝4＝4×31－1，
∴an＝4·3n－1(n∈N*)．
由Sn的关系式求an的步骤
(1)先确定n≥2时an＝Sn－Sn－1的表达式；
(2)再利用Sn求出a1(a1＝S1)；
(3)验证a1的值是否适合an＝Sn－Sn－1的表达式；
(4)写出数列的通项公式．
3．已知数列{an}的前n项和Sn满足n＝log2(Sn－1)，求其通项公式an．
[解] 根据条件可得Sn＝2n＋1．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n－1－1＝
2n－1(2－1)＝2n－1，
当n＝1时，a1＝S1＝21＋1＝3≠21－1，
∴an＝
类型4 根据递推公式求通项
【例4】 (1)已知数列{an}满足a1＝－1，an＝an－1＋，n∈N*且n≥2，求通项公式an；
(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求通项公式an．
(1)将关系式变成an－an－1＝－，可以用什么方法求an呢？
(2)将关系式变成＝(n≥2)，可以用什么方法求an呢？
[解] (1)由an－an－1＝(n≥2)，得
a2－a1＝；
a3－a2＝；
a4－a3＝；
…
an－an－1＝．
以上各式累加，得an－a1＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－．
∴an＋1＝1－，
∴an＝－(n≥2)．
又∵n＝1时，a1＝－1，符合上式，
∴an＝－(n∈N*)．
(2)∵a1＝1，an＝an－1(n≥2)，
∴＝，an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝．
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝(n∈N*)．
[母题探究]
1．(变条件)将本例条件变成“a1＝1，an＋1＝”，求数列{an}的通项公式．
[解] 由an＋1＝，得＝＋，
即－＝．又∵a1＝1，
∴＝＋＋…＋＋
＝＋1＝．
又∵n＝1时，a1＝1，符合上式，∴an＝．
2．(变条件)将本例(2)中的条件“a1＝1，an＝an－1(n≥2)”变为“a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)”，写出数列的前5项，猜想an并加以证明．
[解] 由a1＝2，an＋1＝3an，得
a2＝3a1＝3×2，
a3＝3a2＝3×3×2＝32×2，
a4＝3a3＝3×32×2＝33×2，
a5＝3a4＝3×33×2＝34×2，
…，
猜想：an＝2×3n－1，
证明如下：由an＋1＝3an得＝3．
因此可得＝3，＝3，＝3，…，＝3．
将上面的n－1个式子相乘可得
···…·＝3n－1．
即＝3n－1，所以an＝a1·3n－1，又a1＝2，
故an＝2·3n－1．
1．由递推公式求通项公式常用的两种方法
(1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项公式．
(2)累乘法：当＝g(n)时，常用an＝··…··a1求通项公式．
2．本题在累加或累积时，常因忘记“n≥2”这个条件，而错把缺项的式子看成完整式子而失分．
1．数列2,4,6,8,10，…的递推公式是( )
A．an＝an－1＋2(n≥2)
B．an＝2an－1(n≥2)
C．a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)
D．a1＝2，an＝2an－1(n≥2)
C [A，B中没有说明某一项，无法递推，D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，不合题意．故选C．]
2．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2，n∈N*)，则a5＝( )
A． B．
C． D．
D [由条件可求得，a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝，故选D．]
3．已知数列{an}满足a1a2a3…an＝n2(n∈N*)，则an＝________．
[∵a1a2a3…an＝n2，∴n≥2时，a1a2a3…an－1＝(n－1)2，∴两式相除得an＝，又∵a1＝12＝1，不适合an＝，
∴an＝]
4．在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，则a7＝________．
1 [由an＋1＝an＋an＋2知an＋2＝an＋1－an，
又∵a1＝1，a2＝2，∴a3＝a2－a1＝1，a4＝a3－a2＝－1，a5＝a4－a3＝－2，a6＝a5－a4＝－1，a7＝a6－a5＝1．]
5．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为an＝________．
n [由题意知a2－a1＝1，a3－a2＝1，…，an－an－1＝1(n≥2)，
以上各式相加，得an－a1＝＝n－1，
∵a1＝1，则an＝n(n≥2)，
a1＝1也满足an＝n，
∴数列{an}的通项公式为an＝n(n∈N*)．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)数列的递推公式有什么特点？它与通项公式的区别是什么？
[提示] 数列的递推公式是反映数列的相邻两项或多项之间的关系式，而通项公式是数列中的项与序号之间满足的函数关系式，它们的优缺点如下：
项目 优点 缺点
通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，也有利于对数列性质的研究 一些数列的通项公式表述困难
递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便
(2)数列通项an与前n项和Sn有什么关系？
[提示] 若数列{an}的前n项和为Sn，则a1＝S1．当n≥2(n∈N*)时，
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， ①
Sn－1＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1． ②
由①－②得Sn－Sn－1＝an．
因此an与Sn的关系式为an＝
(3)数列的递推关系满足什么特点时，可以用累加法和累积法求通项an
[提示] ①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法．
②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累积法或迭代法．
(4)你一般用什么方法求数列{an}的最大项和最小项？
[提示] ①利用数列的单调性确定数列的最大(小)项．
②通过解不等式组来确定，即设第k(k∈N*，k＞1)项是数列的最大(小)项，则求出k的正整数值后代入通项公式即得最大项(最小项)．