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第7讲 匀变速直线运动位移与时间关系
考点（知识点） 重要程度 常考题型分布 本讲教学目标
匀速直线运动的位移 ★★☆ 选择题、填空题、实验题、解答题 理解
匀变速直线运动的位移 ★★★ 选择题、填空题、实验题、解答题 掌握
注:★☆☆:普通考点知识点； ★★☆：高考高频考点； ★★★：高考重点、难点、必考点；
匀速直线运动：；
匀速直线运动v-t图像问题；
知识点一：匀速直线运动的位移
做匀速直线运动的物体在时间t内的位移： x＝vt 。
2．做匀速直线运动的物体，其v t图象是一条平行于 时间轴 的直线，其位移在数值上等于v t图线与对应的时间轴所包围的矩形的 面积 ，如图所示：
当“面积”在t轴上方时，位移取 正值 ，这表示物体的位移与规定的正方向 相同 ；
当“面积”在t轴下方时，位移取 负值 ，这表示物体的位移与规定的正方向 相反 。
知识点二：匀变速直线运动的位移
1．微元法与极限思想的应用
在匀变速直线运动中，由加速度的定义易得速度的变化量Δv＝a·Δt，只要时间足够短，速度的变化量就非常小，在非常短的时间内，我们就可以用熟悉的匀速直线运动的位移公式近似计算匀变速直线运动的位移。
如图所示，甲图中与Δt对应的每个小矩形的面积就可以看做Δt时间内的位移。如果把每一小段Δt内的运动看做匀速直线运动，则各小矩形面积之和等于各段Δt时间内做匀速直线运动的位移之和。时间Δt越短，速度变化量Δv就越小，我们这样计算的误差也就越小。当Δt→0时，各矩形面积之和趋近于v t图象与时间轴所围成的面积。
由梯形面积公式得x＝
在任何运动中都有x＝·t
因此＝(适用匀变速直线运动)
把v＝v0＋at代入x＝
得x＝v0t＋at2
2．公式的矢量性
公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向，若物体做匀加速直线运动，a与v0同向，a取正值。若物体做匀减速直线运动，a与v0反向，a取负值，若位移的计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相同。若位移的计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相反。
3．公式的适用条件
公式适用于 匀变速直线 运动。
4．公式的特殊形式
(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)。
(2)当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)。
【例1】某汽车在平直公路上行驶，其图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．和汽车均做匀加速直线运动 B．汽车静止不动
C．比运动的路程长 D．比运动的加速度小
【答案】A
【详解】AB．由图像可知，和汽车均做匀加速直线运动，汽车做匀速直线运动，A正确，B错误；
C．由于汽车始终做单向直线运动，图线与时间轴所围的面积表示路程，可知比运动的路程短，C错误；
D．图线的斜率表示加速度，可知比运动的加速度大，D错误。
故选A。
[变式1]（多选）某物体运动的v-t图像如图所示，根据图像可知（ ）
A．0～2s内加速度为2m/s2 B．0～2s内的位移为2m
C．第1s末与第3s末的速度方向相同 D．物体在第4s末速度方向发生改变
【答案】BC
【详解】A．由图可知，0～2s内物体做匀加速直线运动，直线的斜率等于加速度，根据图示可计算初图线的斜率为1，所以0～2s内加速度为1m/s2；
B．v-t图像图线与坐标轴围成的面积等于物体运动的位移，0～2s内图线与坐标轴围成的图形是三角形，面积为2m，所以0～2s内物体的位移为2m，所以B正确；
C．由图第1秒末和第3秒末的速度都大于零，所以第1秒末和第3秒末的速度方向都为正方向，所以C正确；
D．在0～5s内，物体的速度始终大于零，即在0～5s内速度方向始终相同，未发生改变，所以D错误。
故选BC。
[变式2]一个物体沿直线运动，其速度随时间变化的关系如图所示.由图像可知（ ）
A．物体在时间内保持静止
B．物体在时间内运动方向发生改变
C．物体在时间内的位移大于时间内的位移
D．物体在时间内的加速度大小小于时间内的加速度大小
【答案】CD
【详解】在速度时间图象，速度的符合表示速度的方向，图线的斜率表示加速度．图线与时间轴围成面积表示位移．由此分析，物体在时间内速度恒定，做匀速直线运动．A错误；过程中速度为正，一直朝着正方向运动，运动方向没有发生改变．B错误；图像与坐标轴围成面积表示位移大小，物体在时间内的位移大于内的位移．C正确；图像的斜率表示运动的加速度，从图中可知物体在时间内的斜率小于内的斜率，故物体在时间内的加速度小于内的加速度．故D正确；故选CD．
点睛：解决本题的关键是理解速度时间图线的物理意义，知道图线与时间轴围成的面积表示位移，速度的符号表示速度的方向．斜率表示物体的加速度．
【例2】物体运动的速度与时间的关系如图所示，设时物体从出发点开始运动（速度的方向水平向右为正），则物体何时回到出发点（ ）
A．时刻 B．时刻 C．时刻 D．时刻
【答案】D
【详解】根据图像中与横轴围成的面积代表位移，可知时刻图线与横轴围成的面积为0，即位移为0。物体在时刻回到出发点。
故选D。
[变式1]某物体运动的速度—时间图象如图所示，则物体做( )
A．往复运动 B．匀变速直线运动 C．朝某一方向的直线运动 D．曲线运动
【答案】C
【详解】速度图像中横轴以上速度为正，横轴以下速度为负，由此可知物体做的是单向的直线运动，A错；图线的斜率表示加速度，可知加速度变化，不是匀变速直线运动，B错；C对；速度方向不变，轨迹是直线，D错；
[变式2]四个质点做直线运动，它们的速度图象分别如图所示，在2s末不能回到出发点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A．质点先朝负方向做匀减速直线运动，再朝正方向做匀加速直线运动，图象与时间轴所围的面积表示位移，可知2s内的总位移为0，2s末回到出发点，A错误；
B．质点先朝正方向做匀速直线运动，再朝负方向做匀速直线运动，2s内的总位移为0，2s末回到出发点，B错误；
C．质点在2s内均朝正方向运动，2s内的总位移大于0，2s末不能回到出发点，C正确；
D．质点先朝正方向做匀减速直线运动，再朝负方向做匀加速直线运动，可知2s内的总位移为0，2s末回到出发点，D错误。
故选C。
【例3】一辆小轿车以10m/s的初速度在平直的轨道上匀加速行驶，经5s后速度达到20m/s，求：
（1）火车在这段时间内的加速度大小；
（2）5s内小车位移大小。
【答案】（1）2m/s2；（2）75m
【详解】（1）小车做匀加速直线运动，由速度时间公式有，代入数据解得
（2）由平均速度公式有
[变式1]一辆汽车初速度3m/s，在水平路面上以2m/s2的加速度做匀加速直线运动。求：
（1）汽车在5s末的速度大小。
（2）汽车在这5s内的位移大小。
【答案】(1) 13m/s (2) 40m
【详解】（1）汽车在5s末的速度为：v＝v0+at＝3m/s+2×5m/s＝13m/s。
（2）汽车在5s内的位移大小为：x＝v0t+at2＝3×5m+×2×25m＝40m。
[变式2]汽车以20m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5m/s2，求：
（1）刹车后2s时的速度；
（2）刹车后5s内的位移。
【答案】（1）10m/s；（2）40m
【详解】（1）汽车速度减为零的时间为
则刹车后2s时的速度为
（2）刹车后5s内的位移等于4s内的位移，则有
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第7讲 匀变速直线运动位移与时间关系
考点（知识点） 重要程度 常考题型分布 本讲教学目标
匀速直线运动的位移 ★★☆ 选择题、填空题、实验题、解答题 理解
匀变速直线运动的位移 ★★★ 选择题、填空题、实验题、解答题 掌握
注:★☆☆:普通考点知识点； ★★☆：高考高频考点； ★★★：高考重点、难点、必考点；
匀速直线运动：；
匀速直线运动v-t图像问题；
知识点一：匀速直线运动的位移
做匀速直线运动的物体在时间t内的位移： x＝vt 。
2．做匀速直线运动的物体，其v t图象是一条平行于 时间轴 的直线，其位移在数值上等于v t图线与对应的时间轴所包围的矩形的 面积 ，如图所示：
当“面积”在t轴上方时，位移取 正值 ，这表示物体的位移与规定的正方向 相同 ；
当“面积”在t轴下方时，位移取 负值 ，这表示物体的位移与规定的正方向 相反 。
知识点二：匀变速直线运动的位移
1．微元法与极限思想的应用
在匀变速直线运动中，由加速度的定义易得速度的变化量Δv＝a·Δt，只要时间足够短，速度的变化量就非常小，在非常短的时间内，我们就可以用熟悉的匀速直线运动的位移公式近似计算匀变速直线运动的位移。
如图所示，甲图中与Δt对应的每个小矩形的面积就可以看做Δt时间内的位移。如果把每一小段Δt内的运动看做匀速直线运动，则各小矩形面积之和等于各段Δt时间内做匀速直线运动的位移之和。时间Δt越短，速度变化量Δv就越小，我们这样计算的误差也就越小。当Δt→0时，各矩形面积之和趋近于v t图象与时间轴所围成的面积。
由梯形面积公式得x＝
在任何运动中都有x＝·t
因此＝(适用匀变速直线运动)
把v＝v0＋at代入x＝
得x＝v0t＋at2
2．公式的矢量性
公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选v0方向为正方向，若物体做匀加速直线运动，a与v0同向，a取正值。若物体做匀减速直线运动，a与v0反向，a取负值，若位移的计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相同。若位移的计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相反。
3．公式的适用条件
公式适用于 匀变速直线 运动。
4．公式的特殊形式
(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)。
(2)当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)。
【例1】某汽车在平直公路上行驶，其图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．和汽车均做匀加速直线运动 B．汽车静止不动
C．比运动的路程长 D．比运动的加速度小
[变式1]（多选）某物体运动的v-t图像如图所示，根据图像可知（ ）
A．0～2s内加速度为2m/s2 B．0～2s内的位移为2m
C．第1s末与第3s末的速度方向相同 D．物体在第4s末速度方向发生改变
[变式2]一个物体沿直线运动，其速度随时间变化的关系如图所示.由图像可知（ ）
A．物体在时间内保持静止
B．物体在时间内运动方向发生改变
C．物体在时间内的位移大于时间内的位移
D．物体在时间内的加速度大小小于时间内的加速度大小
【例2】物体运动的速度与时间的关系如图所示，设时物体从出发点开始运动（速度的方向水平向右为正），则物体何时回到出发点（ ）
A．时刻 B．时刻 C．时刻 D．时刻
[变式1]某物体运动的速度—时间图象如图所示，则物体做( )
A．往复运动 B．匀变速直线运动 C．朝某一方向的直线运动 D．曲线运动
[变式2]四个质点做直线运动，它们的速度图象分别如图所示，在2s末不能回到出发点的是（ ）
A． B． C． D．
【例3】一辆小轿车以10m/s的初速度在平直的轨道上匀加速行驶，经5s后速度达到20m/s，求：
（1）火车在这段时间内的加速度大小；
（2）5s内小车位移大小。
[变式1]一辆汽车初速度3m/s，在水平路面上以2m/s2的加速度做匀加速直线运动。求：
（1）汽车在5s末的速度大小。
（2）汽车在这5s内的位移大小。
[变式2]汽车以20m/s的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为5m/s2，求：
（1）刹车后2s时的速度；
（2）刹车后5s内的位移。
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