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第11讲 专题：追击相遇问题
考点（知识点） 重要程度 常考题型分布 本讲教学目标
自由落体运动 ★★☆ 选择题、填空题、实验题、解答题 理解并掌握
自由落体运动的加速度 ★★☆ 选择题、填空题、实验题 理解并掌握
注:★☆☆:普通考点知识点； ★★☆：高考高频考点； ★★★：高考重点、难点、必考点；
匀速直线运动同向追击问题；
匀速直线运动相向相遇问题；
知识点一：追及相遇问题
1．追及相遇问题
两物体在同一直线上一前一后运动，速度相同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者相遇(碰撞)的情况，这类问题称为追及相遇问题．
2．分析追及相遇问题的思路和方法
(1)讨论追及相遇问题的实质是分析两物体能否在同一时刻到达同一位置，注意抓住一个条件、用好两个关系．
一个条件 速度相等 这是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点
两个关系 时间关系和位移关系 通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口
(2)常用方法
物理分析法 抓住“两物体能否同时到达同一位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系
图像法 将两者的v-t图像画在同一坐标系中，然后利用图像分析求解
数学分析法 设从开始到相遇的时间为t，根据条件列位移关系方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论．若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰
【例1】挥杆套马是我国蒙古族传统体育项目，烈马从骑手身边奔驰而过时，骑手持6m长的套马杆，由静止开始催马追赶，最终套住烈马。整个过程二者的v-t图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．骑手追赶烈马过程中二者之间的最大距离为40m
B．t=9s时骑手刚好追上烈马
C．骑手在t=8s时挥杆，能套到烈马
D．8-9s内烈马的加速度小于0-6s内骑手的加速度
[变式1]甲、乙两辆汽车沿同一平直公路同时同地同向行驶，两汽车的速度随时间变化如图所示，则（ ）
A．两车再次相遇前最大距离为36m B．两车运动10s时再次相遇
C．两车再次相遇时离出发点100m D．甲车自出发后，不可能再追上乙车
[变式2]A、B两辆汽车从同一地点同时出发沿同一方向做直线运动，它们的速度的平方（v2）随位置（x）的变化规律如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．汽车A的加速度大小为18m/s2
B．汽车AB在x=6m处的速度大小为8m/s
C．从开始到汽车A停止前，当时AB相距最远
D．从开始到汽车A停止前，当xA=6m时AB相距最近
【例2】在平直公路上有甲、乙两辆汽车同时从同一位置沿着同一方向做匀加速直线运动，它们速度的平方随位置变化的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲车的加速度比乙车的加速度大 B．甲、乙两车经过处的速度不相同
C．在处甲乙两车相遇 D．在末甲乙两车相遇
[变式1]甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶，它们的图象如图所示，时甲、乙第一次并排行驶，则（ ）
A．时，甲在乙的前面4.5m处 B．时，乙在甲的前面5m处
C．两车另一次并排行驶的时刻是 D．两车另一次并排行驶的时刻是
[变式2]（多选）甲，乙两车沿着同一条平直公路同向行驶，甲车以速度20m/s做匀速直线运动，乙车原来的速度为4m/s，从距甲车后128m处以大小为1m/s2的加速度做匀加速运动，则乙车追甲车的过程（ ）
A．经16s两车距离最远 B．经16s乙车追上了甲车
C．两车最远距离为256m D．两车最远距离为200m
【例3】在寒冷的冬天，路面很容易结冰，在冰雪路面上汽车一定要低速行驶。在冰雪覆盖的路面上，车辆遇紧急情况刹车时，车轮会抱死而“打滑”。如图所示，设某汽车以36km/h的速度行驶至一斜坡的顶端A时，突然发现坡底前方有一行人正以2m/s的速度同向匀速行驶，司机立即刹车，但因冰雪路面太滑，汽车仍沿斜坡滑下。已知斜坡倾角θ=37°（sin37°=0.6，cos37°=0.8），斜坡长sAC=11m，司机刹车时行人距坡底C点距离sCE=7m，从厂家的技术手册中查得该车轮胎与冰雪路面的动摩擦因数约为0.5，假设斜坡与水平路面平滑连接，司机从C点进入水平路面时速率不变，g取10m/s2。求：
（1）汽车沿斜坡滑下的加速度大小。
（2）汽车到达坡底C时的速度大小及经历时间。
（3）试分析此种情况下，行人是否有危险。
[变式1]一辆汽车正以10m/s的速度在平直公路上前进，突然发现正前方s（m）远处有一辆自行车以4m/s的速度沿同方向做匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度为－6m/s2的匀减速运动，若汽车恰好不碰上自行车，求s的大小。
[变式2]A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度，B车在后，速度。因大雾能见度很低，B车在距A车75m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180m才能够停止。问：
（1）B车刹车时的加速度是多大？
（2）B车刹车时A车仍按原速前进，两车是否相撞？若会相撞，将在B车刹车后多久？若不会相撞，则两车最近距离是多少？
【例4】一辆值勤的警车停在公路边，当交警发现从他旁边以v1=36km/h的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定立即前去追赶，经过t0=5.5s后警车发动起来，并以a=2.5m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度不能超过vm=90km/h。问：
（1）警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少
（2）警车发动后最快要多长时间才能追上货车
[变式1]猎狗能以最大速度v1＝10 m/s持续地奔跑，野兔只能以最大速度v2＝8 m/s的速度持续奔跑．一只野兔在离洞窟s1＝200 m处的草地上玩耍，猎狗发现后以最大速度朝野兔追来．野兔发现猎狗时与猎狗相距s2＝60 m，野兔立即跑向洞窟．设猎狗、野兔、洞窟总在同一直线上，则野兔的加速度至少要多大才能保证安全回到洞窟？
[变式2]羚羊从静止开始奔跑，经过50m能加速到最大速度25m/s，能维持这个速度较长的时间．猎豹从静止开始奔跑，经过60m能达到最大速度30m/s，以后只能维持这个速度4s．设猎豹与羚羊距离为x时，猎豹开始攻击．羚羊在猎豹开始攻击1s后才开始奔跑．设它们在加速阶段均做匀加速直线运动，求：
（1）猎豹要在减速前追上羚羊，求x的最大值；
（2）猎豹要在加速阶段追上羚羊，求x的范围．
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第11讲 专题：追击相遇问题
考点（知识点） 重要程度 常考题型分布 本讲教学目标
自由落体运动 ★★☆ 选择题、填空题、实验题、解答题 理解并掌握
自由落体运动的加速度 ★★☆ 选择题、填空题、实验题 理解并掌握
注:★☆☆:普通考点知识点； ★★☆：高考高频考点； ★★★：高考重点、难点、必考点；
匀速直线运动同向追击问题；
匀速直线运动相向相遇问题；
知识点一：追及相遇问题
1．追及相遇问题
两物体在同一直线上一前一后运动，速度相同时它们之间可能出现距离最大、距离最小或者相遇(碰撞)的情况，这类问题称为追及相遇问题．
2．分析追及相遇问题的思路和方法
(1)讨论追及相遇问题的实质是分析两物体能否在同一时刻到达同一位置，注意抓住一个条件、用好两个关系．
一个条件 速度相等 这是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，是解题的切入点
两个关系 时间关系和位移关系 通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口
(2)常用方法
物理分析法 抓住“两物体能否同时到达同一位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，建立物体运动关系的图景，并画出运动情况示意图，找出位移关系
图像法 将两者的v-t图像画在同一坐标系中，然后利用图像分析求解
数学分析法 设从开始到相遇的时间为t，根据条件列位移关系方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论．若Δ＞0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相碰
【例1】挥杆套马是我国蒙古族传统体育项目，烈马从骑手身边奔驰而过时，骑手持6m长的套马杆，由静止开始催马追赶，最终套住烈马。整个过程二者的v-t图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．骑手追赶烈马过程中二者之间的最大距离为40m
B．t=9s时骑手刚好追上烈马
C．骑手在t=8s时挥杆，能套到烈马
D．8-9s内烈马的加速度小于0-6s内骑手的加速度
【答案】C
【详解】A．当骑手和烈马速度相同时二者间距最大，由v-t图像图线与坐标轴所围的面积表示位移，可得，A错误；
B．由图形所围的面积可以算出0~9s内，烈马的位移为，骑手0~9s内位移，因x1> x2，因此t=9s时骑手未追上烈马，B错误；
C．由图形所围的面积可以算出0~8s内，烈马的位移为，骑手的位移为，套马杆长l=6m，x4+l>x3，，所以骑手在8s时刻挥杆，能套到烈马，故C正确；
D．由加速度定义式，知8~9s内烈马加速度，0~6s内骑手的加速度，故D错误。
故选C。
[变式1]甲、乙两辆汽车沿同一平直公路同时同地同向行驶，两汽车的速度随时间变化如图所示，则（ ）
A．两车再次相遇前最大距离为36m
B．两车运动10s时再次相遇
C．两车再次相遇时离出发点100m
D．甲车自出发后，不可能再追上乙车
【答案】A
【详解】A．两车速度相等时距离最大，即t=6s时距离最大，则再次相遇前最大距离为，选项A正确；
BD．相遇时两车位移相等，则由图像的面积相等可知，两车运动12s时再次相遇，选项BD错误；
C．两车再次相遇时离出发点距离x=12×12m=144m，选项C错误。
故选A。
[变式2]A、B两辆汽车从同一地点同时出发沿同一方向做直线运动，它们的速度的平方（v2）随位置（x）的变化规律如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．汽车A的加速度大小为18m/s2
B．汽车AB在x=6m处的速度大小为8m/s
C．从开始到汽车A停止前，当时AB相距最远
D．从开始到汽车A停止前，当xA=6m时AB相距最近
【答案】C
【详解】A．根据匀变速直线运动的速度位移关系公式，所以，结合图线可得，，所以汽车A的加速度大小为9m/s2，故A错误；
B．由图可知在x=6m处A、B汽车速度大小相等，所以，解得，故B错误；
CD．根据图像和前面的分析可知A车做匀减速直线运动，B车做匀加速直线运动，它们从同一地点同时出发沿同一方向做直线运动，在A车停止前，当两车速度相等时相距最远；由选项A分析可知
对B车有，所以，根据图像知对于汽车A有
得A的初速度，当两车速度相等时的速度为，则对A车有，
联立解得，，此时A车的位移为
即从开始到汽车A停止前，当，时A、B相距最远，C正确，D错误。
故选C。
【例2】在平直公路上有甲、乙两辆汽车同时从同一位置沿着同一方向做匀加速直线运动，它们速度的平方随位置变化的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲车的加速度比乙车的加速度大
B．甲、乙两车经过处的速度不相同
C．在处甲乙两车相遇
D．在末甲乙两车相遇
【答案】D
【详解】A．由，可知甲的加速度为，乙的加速度为
甲车的加速度比乙车的加速度大，故A错误；
B．由图像可知处两车的速度相等，故B错误；
C．甲、乙从同一位置出发，之前，甲的速度一直小于乙的速度，故不在处相遇，故C错误；
D．由图像知乙的初速度为，当位移相等时两车相遇，则有，解得，故D正确。
故选D。
[变式1]甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶，它们的图象如图所示，时甲、乙第一次并排行驶，则（ ）
A．时，甲在乙的前面4.5m处
B．时，乙在甲的前面5m处
C．两车另一次并排行驶的时刻是
D．两车另一次并排行驶的时刻是
【答案】D
【详解】AB．根据两汽车的图像可得瞬时速度的表达式为，，时，甲、乙第一次并排行驶，即两车此时相遇，在第1s内甲和乙的位移之差为
因甲比乙的速度大，则属于甲追乙，则甲在乙的后面4.5m处，故AB错误；
CD．时两者的速度相等，根据图像的对称性可知和两车两次相遇，两车另一次并排行驶的时刻是，故D正确，C错误。
故选D。
[变式2]（多选）甲，乙两车沿着同一条平直公路同向行驶，甲车以速度20m/s做匀速直线运动，乙车原来的速度为4m/s，从距甲车后128m处以大小为1m/s2的加速度做匀加速运动，则乙车追甲车的过程（ ）
A．经16s两车距离最远
B．经16s乙车追上了甲车
C．两车最远距离为256m
D．两车最远距离为200m
【答案】AC
【详解】AB．速度相同时两车距离最远，则有，解得，所以经过16s两车相距最远，故A正确，B错误；
CD．经过16s两车的距离为，解得，故C正确，D错误。
故选AC。
【例3】在寒冷的冬天，路面很容易结冰，在冰雪路面上汽车一定要低速行驶。在冰雪覆盖的路面上，车辆遇紧急情况刹车时，车轮会抱死而“打滑”。如图所示，设某汽车以36km/h的速度行驶至一斜坡的顶端A时，突然发现坡底前方有一行人正以2m/s的速度同向匀速行驶，司机立即刹车，但因冰雪路面太滑，汽车仍沿斜坡滑下。已知斜坡倾角θ=37°（sin37°=0.6，cos37°=0.8），斜坡长sAC=11m，司机刹车时行人距坡底C点距离sCE=7m，从厂家的技术手册中查得该车轮胎与冰雪路面的动摩擦因数约为0.5，假设斜坡与水平路面平滑连接，司机从C点进入水平路面时速率不变，g取10m/s2。求：
（1）汽车沿斜坡滑下的加速度大小。
（2）汽车到达坡底C时的速度大小及经历时间。
（3）试分析此种情况下，行人是否有危险。
【答案】（1）；（2），；（3）行人有危险，应抓紧避让
【详解】（1）汽车在斜坡上滑下时的加速度为，由牛顿第二定律知
解得
（2）依题意，汽车到达坡底C时的速度满足，代入数据解得
经历时间
（3）由牛顿第二定律知，汽车在水平冰雪路面上的加速度为，解得
汽车在水平路面上减速至时，滑动的位移，经历的时间
人发生的位移为，因，故行人有危险，应抓紧避让。
[变式1]一辆汽车正以10m/s的速度在平直公路上前进，突然发现正前方s（m）远处有一辆自行车以4m/s的速度沿同方向做匀速直线运动，汽车立即关闭油门做加速度为－6m/s2的匀减速运动，若汽车恰好不碰上自行车，求s的大小。
【答案】3m
【详解】汽车恰好不碰上自行车就是当两者速度相等时汽车和自行车到达同一位置，设从汽车刹车到速度相等时用时为，汽车初速度，加速度，自行车速度，
对汽车有，解得，此过程中汽车位移为，自行车位移为，恰好没碰上位移关系为，解得
[变式2]A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度，B车在后，速度。因大雾能见度很低，B车在距A车75m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180m才能够停止。问：
（1）B车刹车时的加速度是多大？
（2）B车刹车时A车仍按原速前进，两车是否相撞？若会相撞，将在B车刹车后多久？若不会相撞，则两车最近距离是多少？
【答案】（1）；（2）会相撞，6s
【详解】（1）由速度位移关系公式，可得，
加速度大小为2.5m/s ，负号表示加速度方向与运动方向相反。
（2）假设两车始终不相撞，设经时间t两车速度相等，则对B车有，解得
此时B车的位移，A车的位移，因，因此两车会相撞。 设经时间t＇两车相撞，则有，代入数据解得，（舍去），则经时间6s两车相撞。
【例4】一辆值勤的警车停在公路边，当交警发现从他旁边以v1=36km/h的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定立即前去追赶，经过t0=5.5s后警车发动起来，并以a=2.5m/s2的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度不能超过vm=90km/h。问：
（1）警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少
（2）警车发动后最快要多长时间才能追上货车
【答案】(1)；(2)
【详解】(1)货车的速度为，警车所不能超过的速度为
警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时，它们间的距离最大，设警车发动后经过t1时间两车的速度相等。则，，
所以两车间的最大距离
(2)当警车刚达到最大速度时，运动时间，，，因为，故此时警车尚未赶上货车，且此时两车距离，警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过时间追赶上货车，则
所以警车发动后追上货车的时间为
[变式1]猎狗能以最大速度v1＝10 m/s持续地奔跑，野兔只能以最大速度v2＝8 m/s的速度持续奔跑．一只野兔在离洞窟s1＝200 m处的草地上玩耍，猎狗发现后以最大速度朝野兔追来．野兔发现猎狗时与猎狗相距s2＝60 m，野兔立即跑向洞窟．设猎狗、野兔、洞窟总在同一直线上，则野兔的加速度至少要多大才能保证安全回到洞窟？
【答案】
【详解】若野兔一直加速，临界情况到达洞窟时猎狗恰好追上野兔．
则猎狗的运动时间：，根据平均速度公式，对野兔有：，解得：
所以兔子先加速后匀速．
设加速的时间为 则有：，解得：，所以兔子的加速度为：
[变式2]羚羊从静止开始奔跑，经过50m能加速到最大速度25m/s，能维持这个速度较长的时间．猎豹从静止开始奔跑，经过60m能达到最大速度30m/s，以后只能维持这个速度4s．设猎豹与羚羊距离为x时，猎豹开始攻击．羚羊在猎豹开始攻击1s后才开始奔跑．设它们在加速阶段均做匀加速直线运动，求：
（1）猎豹要在减速前追上羚羊，求x的最大值；
（2）猎豹要在加速阶段追上羚羊，求x的范围．
【答案】（1） （2）
【详解】（1）羚羊做加速运动的加速度为：，羚羊做加速运动的时间为：
猎豹做加速运动的加速度为：，猎豹做加速运动的时间为:，显然由可知，当猎豹进入匀速运动过程1s后，羚羊将做匀速运动．
当猎豹匀速运动t=4.0s时，根据位移关系有：，解得：，
（2）豹加速过程中，羊加速了：，此过程羊运动的距离：，则：，故x≤31.875m≈31.9m
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