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第17讲 多力的合成与正交分解
考点（知识点） 重要程度 常考题型分布 本讲教学目标
三角形法则 ★★★ 选择题、填空题、计算题 掌握并运用
正交分解 ★★★ 选择题、填空题、解答题 掌握并运用
注：★☆☆：普通考点知识点； ★★☆：高考高频考点； ★★★：高考重点、难点、必考点；
相互作用力与平衡力的异同点；
利用相互作用力解释生活现象。
知识点一：多个力的合成
1．合成方法：多个力的合成的基本方法仍是平行四边形定则。具体做法是先求出任意两个力的合力，再求出这个合力跟第三个力的合力，然后依次进行，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力
说明：
（1）平行四边形定则只适用于共点力的合成，对非共点力的合成不适用。
（2）今后我们所研究的问题，凡是涉及力的运算的题目，都是关于共点力方向的问题。
2．合成技巧：求解多分力的合力时，一般常见的合成技巧如下：
（1）将共线的分力合成(方向相同或相反)。
（2）将相互垂直的分力合成。
（3）两分力大小相等，夹角为120°时，合力大小等于分力，方向沿它们的夹角的角平分线方向。
3．三个力合力范围的确定
（1）最大值：三个力方向均相同时，三力合力最大，Fm＝F1＋F2＋F3。
（2）最小值
①若一个力在另外两个力的和与差之间，则它们的合力的最小值为零。
②若一个力不在另外两个力的和与差之间，则它们的合力的最小值等于三个力中最大的力减去另外两个力。
题型一：多力的合力
【例1】三个力F1=3N，F2=4N，F3=5N，则这三个力的合力大小不可能是（ ）
A．0N B．5N C．10N D．13N
[变式2]下列选项中三个共点力的合力可能为零的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
[变式3]某一物体只受到三个共点力F1、F2、F3的作用，其大小分别为F1=8N、F2=4N、F3=3N，则该物体所受的合力大小不可能是（ ）
A．1N B．12N C．0N D．5N
题型二：三角形法则
【例2】如图，有五个力作用于同一点O，表示这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两条邻边和三条对角线。已知，则这五个力的合力大小为（ ）
A． B． C． D．
[变式1]如图所示，作用在一个物体上的六个共点力的大小分别为F、2F、3F、4F、5F、6F，相邻两力间的夹角均为60°，其合力为F1；若撤去其中的一个大小为2F的力，其余五个力的合力为F2，则下列结论正确的是（ ）
A．F1=0，F2=2F，F2方向与5F方向相同 B．F1=2F，F2=2F，F2方向与2F方向相同
C．F1=2F，F2=0，F1方向与5F方向相同 D．F1=2F，F2=0，F1方向与2F方向相同
[变式2]如图所示，有5个力作用于同一点O，表示这5个力的有向线段恰好构成一个正六边形的两邻边和三条对角线，已知F1＝10 N，则这5个力的合力大小为（ ）
A．50 N B．30 N C．20 N D．10 N
知识点二：正交分解法
1．概念
将力沿着两个选定的相互垂直的方向分解，叫力的正交分解。
2．优点
正交分解法是在平行四边形定则的基础上发展起来的，其目的是将矢量运算转化为代数运算。其优点有：
（1）可借助数学中的直角坐标系对力进行描述。
（2）分解时只需熟知三角函数关系、几何关系，简便、容易求解。
3．适用情况
常用于三个或三个以上的力的合成。
4．步骤
（1）建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上。
（2）正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示。
（3）分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：
Fx＝F1x＋F2x＋…
Fy＝F1y＋F2y＋…
（4）求共点力的合力：合力大小F＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tanα＝。
知识点三：按力的效果分解
解题技巧
（1）确定要分解的力
（2）根据力的实际作用效果确定两个分力的方向．
（3）根据两个分力的方向作出力的平行四边形．
（4）利用数学知识解三角形，分析、计算分力的大小．
题型三：正交分解
【例3】如图所示，将一个大小为10N的力F沿相互垂直的x轴和y轴分解，已知力F与x轴的夹角，则力F在x轴上的分力的大小为（ ）
A．3N B．5N C．7N D．9N
[变式1]某质点在同一平面内受到三个共点力，它们的大小和方向如图所示. 这三个力的合力方向为
A．沿着x轴正方向 B．沿着x轴负方向 C．沿着y轴正方向 D．沿着y轴负方向
[变式2]如图所示，静置于水平面上的长方体木箱，受到与水平面成的拉力F的作用，现将该拉力分解为水平分力和竖直分力，则以下关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例4】（多选题）如图所示，把光滑斜面上物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列说法正确的是（ ）
A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的压力
B．物体受到mg、FN、F1、F2四个力作用
C．FN是因为斜面微小形变引起的
D．力FN、F1、F2三个力的作用效果和mg与FN两个力的作用效果相同
[变式1]如图所示，滑雪运动员从斜面雪道滑下，斜面与水平面间夹角为θ，滑板与雪道间的动摩擦因数为μ，运动员和滑板所受的重力为G，不计空气阻力，则（ ）
A．运动员和滑板所受重力沿雪道的分力大小为Gsinθ
B．滑板对雪道的压力大小为Gsinθ
C．雪道对滑板的支持力大小为Gtanθ
D．滑板与雪道间的摩擦力大小为 μG
[变式2]如图所示，光滑斜面上的物体的重力分解为、两个力，下列说法正确的是（ ）
A．物体受到4个力的作用 B. 和物体对斜面的压力相等
C．等于 D．等于
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第17讲 多力的合成与正交分解
考点（知识点） 重要程度 常考题型分布 本讲教学目标
三角形法则 ★★★ 选择题、填空题、计算题 掌握并运用
正交分解 ★★★ 选择题、填空题、解答题 掌握并运用
注：★☆☆：普通考点知识点； ★★☆：高考高频考点； ★★★：高考重点、难点、必考点；
相互作用力与平衡力的异同点；
利用相互作用力解释生活现象。
知识点一：多个力的合成
1．合成方法：多个力的合成的基本方法仍是平行四边形定则。具体做法是先求出任意两个力的合力，再求出这个合力跟第三个力的合力，然后依次进行，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力
说明：
（1）平行四边形定则只适用于共点力的合成，对非共点力的合成不适用。
（2）今后我们所研究的问题，凡是涉及力的运算的题目，都是关于共点力方向的问题。
2．合成技巧：求解多分力的合力时，一般常见的合成技巧如下：
（1）将共线的分力合成(方向相同或相反)。
（2）将相互垂直的分力合成。
（3）两分力大小相等，夹角为120°时，合力大小等于分力，方向沿它们的夹角的角平分线方向。
3．三个力合力范围的确定
（1）最大值：三个力方向均相同时，三力合力最大，Fm＝F1＋F2＋F3。
（2）最小值
①若一个力在另外两个力的和与差之间，则它们的合力的最小值为零。
②若一个力不在另外两个力的和与差之间，则它们的合力的最小值等于三个力中最大的力减去另外两个力。
题型一：多力的合力
【例1】三个力F1=3N，F2=4N，F3=5N，则这三个力的合力大小不可能是（ ）
A．0N B．5N C．10N D．13N
【答案】D
【详解】F1和F2的合力最大为7N，最小为1N，F3=5N，所以三个力最小值为零，三个力最大值为三个力的和，即12N，所以ABC可能，D不可能。
本题选不可能的，故选D。
[变式2]下列选项中三个共点力的合力可能为零的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【详解】A．与合成时，合力最大为，最小为，不可能为，故三个力合力不可能为零，故A错误；
B．与合成时，合力最大为，最小为，可以为，故三个力合力可能为零，故B正确；
C．与合成时，合力最大为，最小为，不可能为，故三个力合力不可能为零，故C错误；
D．与合成时，合力最大为，最小为，不可能为，故三个力合力不可能为零，故D错误。
故选B。
[变式3]某一物体只受到三个共点力F1、F2、F3的作用，其大小分别为F1=8N、F2=4N、F3=3N，则该物体所受的合力大小不可能是（ ）
A．1N B．12N C．0N D．5N
【答案】C
【详解】F1、F2的合力范围为
则F1、F2、F3的合力范围为
本题选不可能项，故选C。
题型二：三角形法则
【例2】如图，有五个力作用于同一点O，表示这五个力的有向线段恰分别构成一个正六边形的两条邻边和三条对角线。已知，则这五个力的合力大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解法一：利用平行四边形定则，如图所示
最大力为，根据平行四边形定则，与的合力为，与的合力为，这五个力的合力为3倍的，已知，根据几何关系可知
所以合力的大小为
故选D。
解法二：利用三角形定则，如图所示
将力、平移到与、与的首端之间，、的合力等于，、的合力等于，由几何关系可知
故这五个力的合力大小为
故选D。
解法三：利用对称法，如图所示
由对称性，和的夹角为，，则合力在其夹角的平分线上，合力的大小等于其分力的大小，故力和的合力
同理，和的合力也在其夹角的平分线上，由图中几何关系可知，
故这五个力的合力为
故选D。
解法四：利用正交分解法，建立如图所示的正交坐标系
将正交分解，在y轴方向合力为零，故这五个力的合力等于在x轴方向的合力
再由图中几何关系有，，
故这五个力的合力为
故选D。
[变式1]如图所示，作用在一个物体上的六个共点力的大小分别为F、2F、3F、4F、5F、6F，相邻两力间的夹角均为60°，其合力为F1；若撤去其中的一个大小为2F的力，其余五个力的合力为F2，则下列结论正确的是（ ）
A．F1=0，F2=2F，F2方向与5F方向相同 B．F1=2F，F2=2F，F2方向与2F方向相同
C．F1=2F，F2=0，F1方向与5F方向相同 D．F1=2F，F2=0，F1方向与2F方向相同
【答案】A
【详解】如图所示
求六个共点力的合力先求共线的两个力的合力，共线的两个力的合力都为3F且两两的夹角都为120°，再求其中两个力的合力，作出平行四边形为菱形，由几何关系知合力也为3F且方向与另一个3F的力反向，故F1=0，若撤去其中的一个大小为2F的力，其余五个力的合力与2F的力等大反向，即与5F的力方向相同。
故选A。
[变式2]如图所示，有5个力作用于同一点O，表示这5个力的有向线段恰好构成一个正六边形的两邻边和三条对角线，已知F1＝10 N，则这5个力的合力大小为（ ）
A．50 N B．30 N
C．20 N D．10 N
【答案】B
【详解】利用三角形定则可知，F2和F4的合力等于F1，F5和F3的合力也等于F1，所以这5个力的合力大小为3F1＝30 N。
故选B。
知识点二：正交分解法
1．概念
将力沿着两个选定的相互垂直的方向分解，叫力的正交分解。
2．优点
正交分解法是在平行四边形定则的基础上发展起来的，其目的是将矢量运算转化为代数运算。其优点有：
（1）可借助数学中的直角坐标系对力进行描述。
（2）分解时只需熟知三角函数关系、几何关系，简便、容易求解。
3．适用情况
常用于三个或三个以上的力的合成。
4．步骤
（1）建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上。
（2）正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并求出各分力的大小，如图所示。
（3）分别求出x轴、y轴上各分力的矢量和，即：
Fx＝F1x＋F2x＋…
Fy＝F1y＋F2y＋…
（4）求共点力的合力：合力大小F＝，合力的方向与x轴的夹角为α，则tanα＝。
知识点三：按力的效果分解
解题技巧
（1）确定要分解的力
（2）根据力的实际作用效果确定两个分力的方向．
（3）根据两个分力的方向作出力的平行四边形．
（4）利用数学知识解三角形，分析、计算分力的大小．
题型三：正交分解
【例3】如图所示，将一个大小为10N的力F沿相互垂直的x轴和y轴分解，已知力F与x轴的夹角，则力F在x轴上的分力的大小为（ ）
A．3N B．5N C．7N D．9N
【答案】B
【详解】根据几何知识，力F在x轴上的分力的大小为
故选B。
[变式1]某质点在同一平面内受到三个共点力，它们的大小和方向如图所示. 这三个力的合力方向为
A．沿着x轴正方向 B．沿着x轴负方向 C．沿着y轴正方向 D．沿着y轴负方向
【答案】A
【详解】由图F1、F2的方向沿坐标轴，根据平行四边形定则知，将F3分解F3x＝ 20×sin60°＝ 10N；F3y=20×cos60°=10N；所以：Fx＝F2+F3x＝20 10≈2.68N；Fy=F3y-F1=10-10=0N；可知三个力的合力沿x轴的正方向，大小为2.68N；
A. 沿着x轴正方向，与结论相符，选项A正确；
B. 沿着x轴负方向，与结论不相符，选项B错误；
C. 沿着y轴正方向，与结论不相符，选项C错误；
D. 沿着y轴负方向，与结论不相符，选项D错误；
[变式2]如图所示，静置于水平面上的长方体木箱，受到与水平面成的拉力F的作用，现将该拉力分解为水平分力和竖直分力，则以下关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据平行四边形定则和几何关系可得,
所以,
故选D。
【例4】（多选题）如图所示，把光滑斜面上物体的重力mg分解为F1、F2两个力，下列说法正确的是（ ）
A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力，F2是物体对斜面的压力
B．物体受到mg、FN、F1、F2四个力作用
C．FN是因为斜面微小形变引起的
D．力FN、F1、F2三个力的作用效果和mg与FN两个力的作用效果相同
【答案】CD
【详解】ABD．物体受到mg、FN两个力作用，F1、F2两个力是重力的分力，不是实际受到的的力，力FN、F1、F2三个力的作用效果和mg与FN两个力的作用效果相同。AB错误，D正确；
C．弹力是施力物体的形变引起的。所以FN是因为斜面微小形变引起的。C正确。
故选CD。
[变式1]如图所示，滑雪运动员从斜面雪道滑下，斜面与水平面间夹角为θ，滑板与雪道间的动摩擦因数为μ，运动员和滑板所受的重力为G，不计空气阻力，则（ ）
A．运动员和滑板所受重力沿雪道的分力大小为Gsinθ
B．滑板对雪道的压力大小为Gsinθ
C．雪道对滑板的支持力大小为Gtanθ
D．滑板与雪道间的摩擦力大小为 μG
【答案】A
【详解】A．滑雪运动员从斜面雪道滑下时和滑板整体受重力、滑道对滑板的支持力、滑道对滑板的摩擦力三个力的作用，将重力沿滑道向下和垂直于滑道两个方向进行分解，得到运动员和滑板所受重力沿雪道的分力大小为，故A正确；
BC．根据牛顿第三定律可知，滑板对滑道的压力大小等于滑道对滑板的支持力大小，而根据平衡条件，滑道对滑板的支持力大小等于重力垂直于滑道的分力大小，即为，故BC错误；
D．滑板与雪道间的摩擦力为滑动摩擦力，而滑动摩擦力等于动摩擦因数与正压力的乘积，即为
故D错误。
故选A。
[变式2]如图所示，光滑斜面上的物体的重力分解为、两个力，下列说法正确的是（ ）
A．物体受到4个力的作用 B. 和物体对斜面的压力相等
C．等于 D．等于
【答案】B
【详解】A．物体在光滑斜面上受到重力和支持力两个力的作用，故A错误；
B．垂直斜面方向，根据受力平衡可知，和斜面对物体的支持力相等，则和物体对斜面的压力相等，故B正确；
CD．根据平行四边形定则可知,
故CD错误。
故选B。
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