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第17讲 多力的合成与正交分解
【巩固基础】
一、选择题
1．物体仅受到大小分别为3N、4N、5N，方向不定的三个力作用.该物体所受合力的最小值和最大值分别为（ ）
A．0、12N B．0、6N C．2N、12N D．2N、6N
【答案】A
【详解】3N、4N、5N方向相同的时候，合力最大为
因为3N、4N的合力的范围是1N≤F≤7N
所以当3N、4N的合力为5 N的时候，与第三个力大小相等方向相反时，合力为0，故3N、4N、5N三个力的合力范围是
故选A。
2．已知力F的一个分力跟F成角，则另一个分力的大小不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据力的三角形法则可知，当另一个分力与力F垂直的时候，另一个分力最小，即最小值。
故选A。
3．（多选）一物体受到三个共点力F1、F2、F3的作用，恰能构成一个矢量三角形ABC，如图所示。其中F1、F2大小、方向均已知，F3大小已知、方向未知，则下列说法正确的是（ ）
A．若F3沿AC方向，则物体所受合力为零
B．若F3沿AC方向，则物体所受合力为2F3
C．若F3沿CA方向，则物体所受合力为零
D．若F3沿CA方向，则物体所受合力为2F3
【答案】BC
【详解】AB．F1、F2的合力大小与F3相等，方向沿AC，若F3沿AC方向，则物体所受合力为2F3，A错误，B正确；
CD．若F3沿CA方向，则物体所受合力为零，C正确，D错误。
故选BC。
4．物体静止于光滑水平面上，力F作用于物体上的O点，现要使合力沿着OO'方向，如图所示，则必须同时再加一个力F'，如F和F'均在同一水平面上，则这个力的最小值为（ ）
A．Fcosθ B．Fsinθ
C．Ftanθ D．Fcotθ
【答案】B
【详解】由F做OO′的垂线，此时的F′就是最小值，如下图
由三角形的知识可以求得最小值为F′min=Fsinθ
故选B。
5．减速带是一种常见的交通设施，当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，图中弹力F的画法正确且分解合理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】减速带对车轮的弹力方向垂直于车轮和减速带的接触面斜向左上。按照力的作用效果分解，减速带对车轮的弹力对汽车有向左的阻碍作用和向上的支持作用，所以弹力应分解为水平向左和竖直向上的两个分力。
故选B。
6．如图所示，一长直木板的上表面一端放有一小木块，当木板以远离木块的另一端O为轴，由水平位置缓慢向上转动（α角变大）时，木块受到的摩擦力F随转过的角度α变化的图像，可能正确的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【详解】木块开始时受到的摩擦力为静摩擦力，对物体受力分析，正交分解可得静摩擦力大小为F=mgsinα
由此可知，随着α角增大，静摩擦力大小增大；当木块相对木板滑动时受到的摩擦力变为滑动摩擦力，对物体受力分析可知，滑动摩擦力大小为F=μmgcosα，又知α角在增大，滑动摩擦力变小。
故C正确。
7．如图所示，AB、AC两光滑斜面互相垂直。AC与水平方向成30°角。若把球O的重力G按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为（ ）
A．G，G B．，G C．G，G D．G，G
【答案】B
【详解】根据重力压两个光滑斜面的作用效果，将重力分解为与两斜面分别垂直的G1和G2，根据平行四边形定则作出力的示意图，如图所示
由几何关系可得，
故选B。
8．（多选）F（大小已知）的一个分力（大小未知）与F的夹角为37°，另一个分力的大小为，方向未知，，，则的大小可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】物体受力的情况如下图所示
其中，由图可知存在两种情况，根据几何知识可知，
解得或
故选AD。
二、填空题
9．一个物体在xOy平面内受到三个力，方向如图所示，大小分别为F1=20N，F2=10 N，F3=11N，则这三个力的合力大小为_______N，合力方向为________。
【答案】 15 与x轴正方向夹角为45°
【详解】[1][2]一个物体受几个力作用求合力时，往往采用先分解后合成的方法，将每个力沿x轴和y轴方向进行正交分解，求出x轴方向的合力和y轴方向的合力，再利用勾股定理求出这几个力的合力。于是可按图解得：
=15 N
≈15 N
F合==15 N
，θ=45°
即与x轴正方向夹角为45°。
10．如图所示，绳OC与竖直方向成30°角，O为质量不计的光滑滑轮，已知物体B重1000N，物体A重400N，物体A、B均静止，求物体B所受摩擦力大小为_______Ｎ，OC绳的拉力大小为_______N。（结果均保留三位有效数字）
【答案】 346 692
【详解】[1]OB、OA绳中的拉力大小均等于A的重力大小，即
物体B所受摩擦力大小为
[2]OC绳的拉力大小为
11．如图所示，光滑斜面的倾角为θ，有两个相同的小球1和2，分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直于斜面，则A、B两挡板受到小球的压力大小之比为___________________，斜面受到1、2两个小球的压力大小之比为__________________．
【答案】
【详解】[1][2]如图1所示，球的重力作用效果，是同时挤压斜面和挡板，则重力的两个分力方向分别垂直斜面和挡板．
，
如图2所示，斜面受到的压力大小为：，
故：，
即两挡板受到小球的压力大小之比为，斜面受到两小球的压力大小之比为．
12．设有三个力同时作用在质点P上，它们的大小和方向相当于正六边形的两条边和一条对角线，如图所示，这三个力中最小的力的大小为F，则这三个力的合力为______。
【答案】3F
【详解】[1]由图可知，F1、F2大小为F，夹角为120度，根据平行四边形定则可知两个力的合力为F，由几何关系可得
则这三个力的合力为
三、解答题
13．一个所受重力为的木箱，放在倾角为的斜面上。在研究重力产生的效果时，有两位同学分别画出如图所示的两种分解方法。请对这两种分解方法作一评价。
【答案】见解析
【详解】从力的分解所遵循的平行四边形定则来看，这两种分解方法都可以。但考虑到斜面上物体所受重力的作用效果时，左图所示的方法更为合理。
生活经验告诉我们，放在斜面上的物体，在重力作用下，既会顺势下滑，又对斜面施加着向下压的作用（如下图）因此，应该把重力沿着平行于斜面和垂直于斜面的两个方向分解。这两个分力互相垂直，根据数学知识，很容易算出它们的大小，
由此可见，放在斜面上的物体对斜面压力的大小不等于物体所受的重力，而且随着倾角的增大，垂直于斜面的分力逐渐减小，沿着斜面的分力则逐渐增大。
14．质量为m的物体悬挂在轻质的且各结点A、B、C采用胶链连接的支架上，斜梁OB与竖直方向的夹角为θ．设水平横梁OA和斜梁OB作用与O点的弹力分别为FA和FB，试采用力的合成的方法求FA和FB的大小和方向． （已知重力加速度为g ）
【答案】FA=mgtanθ，方向水平向左；FB=，其方向由B指向O
【详解】以O点为研究对象，受力如图所示：
由受力图结合几何关系可得，方向水平向左；，其方向由B指向O，
【点睛】本题是对结点受力分析求得答案，也可以将重力按实际效果分解来求，掌握力的矢量合成法则，注意三角知识的正确运用．
15．如图所示，质量为M的斜面体A放在粗糙水平面上，用轻绳拴住质量为m的小球B置于斜面上，整个系统处于静止状态，已知斜面倾角及轻绳与竖直方向夹角均为。不计小球与斜面间的摩擦，求：
（1）根据力的实际效果分解小球的重力，画出示意图；
（2）求出两个分力大小。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）小球所受的重力有两个作用效果，垂直斜面压斜面、沿着绳子的方向拉绳子，如图所示
（2）根据几何关系可得，
解得
16．如图所示，用轻绳AO和BO吊一重物，绳AO、BO分别与水平方向、竖直方向的夹角均为37°，绳不可伸长，求：
（1）若重物的重力为G=10N，求绳AO和BO所受拉力分别为多大（绳子不断裂）？
（2）若绳AO能承受的最大拉力为12N，绳BO能承受的最大拉力为18N。为使绳不断裂，则所挂物体的重力不能超过多少？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
【答案】（1）6N，8N；（2）20N
【详解】（1）重物对结点O的拉力等于重物的重力，对O点受力分析，如图所示
根据平衡条件得F=Gsin37°=10×0.6N=6N，F=Gcos37°=10×0.8N=8N
（2）若绳子不断，当F=12N时，悬挂重物的最大重力为
若绳子不断，当F=18N时，悬挂重物的最大重力为
为使绳不断裂，则所挂物体的重力不能超过20N。
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第17讲 多力的合成与正交分解
【巩固基础】
一、选择题
1．物体仅受到大小分别为3N、4N、5N，方向不定的三个力作用.该物体所受合力的最小值和最大值分别为（ ）
A．0、12N B．0、6N C．2N、12N D．2N、6N
2．已知力F的一个分力跟F成角，则另一个分力的大小不可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）一物体受到三个共点力F1、F2、F3的作用，恰能构成一个矢量三角形ABC，如图所示。其中F1、F2大小、方向均已知，F3大小已知、方向未知，则下列说法正确的是（ ）
A．若F3沿AC方向，则物体所受合力为零
B．若F3沿AC方向，则物体所受合力为2F3
C．若F3沿CA方向，则物体所受合力为零
D．若F3沿CA方向，则物体所受合力为2F3
4．物体静止于光滑水平面上，力F作用于物体上的O点，现要使合力沿着OO'方向，如图所示，则必须同时再加一个力F'，如F和F'均在同一水平面上，则这个力的最小值为（ ）
A．Fcosθ B．Fsinθ
C．Ftanθ D．Fcotθ
5．减速带是一种常见的交通设施，当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，图中弹力F的画法正确且分解合理的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示，一长直木板的上表面一端放有一小木块，当木板以远离木块的另一端O为轴，由水平位置缓慢向上转动（α角变大）时，木块受到的摩擦力F随转过的角度α变化的图像，可能正确的是（ ）
A．B．C． D．
7．如图所示，AB、AC两光滑斜面互相垂直。AC与水平方向成30°角。若把球O的重力G按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为（ ）
A．G，G B．，G C．G，G D．G，G
8．（多选）F（大小已知）的一个分力（大小未知）与F的夹角为37°，另一个分力的大小为，方向未知，，，则的大小可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．一个物体在xOy平面内受到三个力，方向如图所示，大小分别为F1=20N，F2=10 N，F3=11N，则这三个力的合力大小为_______N，合力方向为________。
10．如图所示，绳OC与竖直方向成30°角，O为质量不计的光滑滑轮，已知物体B重1000N，物体A重400N，物体A、B均静止，求物体B所受摩擦力大小为_______Ｎ，OC绳的拉力大小为_______N。（结果均保留三位有效数字）
11．如图所示，光滑斜面的倾角为θ，有两个相同的小球1和2，分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡板B垂直于斜面，则A、B两挡板受到小球的压力大小之比为___________________，斜面受到1、2两个小球的压力大小之比为__________________．
12．设有三个力同时作用在质点P上，它们的大小和方向相当于正六边形的两条边和一条对角线，如图所示，这三个力中最小的力的大小为F，则这三个力的合力为______。
三、解答题
13．一个所受重力为的木箱，放在倾角为的斜面上。在研究重力产生的效果时，有两位同学分别画出如图所示的两种分解方法。请对这两种分解方法作一评价。
14．质量为m的物体悬挂在轻质的且各结点A、B、C采用胶链连接的支架上，斜梁OB与竖直方向的夹角为θ．设水平横梁OA和斜梁OB作用与O点的弹力分别为FA和FB，试采用力的合成的方法求FA和FB的大小和方向． （已知重力加速度为g ）
15．如图所示，质量为M的斜面体A放在粗糙水平面上，用轻绳拴住质量为m的小球B置于斜面上，整个系统处于静止状态，已知斜面倾角及轻绳与竖直方向夹角均为。不计小球与斜面间的摩擦，求：
（1）根据力的实际效果分解小球的重力，画出示意图；
（2）求出两个分力大小。
16．如图所示，用轻绳AO和BO吊一重物，绳AO、BO分别与水平方向、竖直方向的夹角均为37°，绳不可伸长，求：
（1）若重物的重力为G=10N，求绳AO和BO所受拉力分别为多大（绳子不断裂）？
（2）若绳AO能承受的最大拉力为12N，绳BO能承受的最大拉力为18N。为使绳不断裂，则所挂物体的重力不能超过多少？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
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