中小学教育资源及组卷应用平台
第19讲 专题：力的动态平衡
考点（知识点） 重要程度 常考题型分布 本讲教学目标
图解法求力的动态平衡 ★★☆ 选择题、填空题 掌握并运用
三角形法则求力动态平衡 ★★☆ 选择题、填空题 掌握并运用
拉米定律求力的动态平衡 ★★☆ 选择题、填空题 掌握并运用
注：★☆☆：普通考点知识点； ★★☆：高考高频考点； ★★★：高考重点、难点、必考点；
平衡状态与平衡力；
知识点一：力的动态平衡
使物体的状态发生缓慢地变化，物体在这一变化过程中始终处于一系列的平衡状态中，这种平衡称为动态平衡。此类问题的特征是“缓慢”，“慢慢”运动。
基本思路：解决此类问题的基本思路是物体处于物体处于平衡状态
解析法解决动态平衡：
对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的一般函数表达式，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
题型一：矢量三角形法类
已知：（1）三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）
（2）另一个力方向不变，大小可变，
（3）第三个力大小方向均变化。
方法：矢量三角形法分析第三个力的方向变化引起的物体受力的动态变化情况。
【例1】半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有竖直挡板MN。在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止状态。如图所示是这个装置的纵截面图，若用外力使MN保持竖直并缓慢地向右移动，在Q落到地面以前，发现P始终保持静止。在此过程中，下列说法中正确的是（ ）
A. P、Q间的弹力逐渐增大 B. 地面对P的摩擦力先增大后减小
C. MN对Q的弹力逐渐减小 D. Q受到P和MN的合力逐渐增大
[变式1]（多选）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N。另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°。已知M始终保持静止，则在此过程中( )
A．水平拉力的大小可能保持不变 B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
[变式2]如图所示，一铁球用一轻绳悬挂于O点，用力F拉住小球，要使轻绳与竖直方向保持60°角不变，且F最小，则F与竖直方向的夹角θ应为( )
A. 90° B. 60° C. 30° D. 0°
[变式3]如图所示，将一物体用两根等长细绳OA、OB悬挂在半圆形架子上，B点固定不动，在悬挂点A由位置C向位置D移动的过程中，物体对OA绳的拉力变化是( )
A. 由小变大 B. 由大变小 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
题型二：相似三角形法类
已知：
（1）三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）
（2）其余两个力方向、大小均在变
（3）有明显长度变化关系
方法：相似三角形法
【例2】如图所示，水平地面上竖直地固定着一个光滑的圆环，一个质量为m的小球套在环上，圆环最高点有一小孔，细线一端被人牵着，另一端穿过小孔与小球相连，使球静止于A处，此时细线与竖直成θ角，重力加速度为g，将球由A处缓慢地拉至B处的过程中，球对细线的拉力如何变化，以及环对球的支持力如何变化？
[变式1]如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。现施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前，下列说法正确的是（ ）
A．BC绳中的拉力FT越来越大 B．BC绳中的拉力FT越来越小
C．AC杆中的支撑力FN越来越大 D．AC杆中的支撑力FN越来越小
[变式2]半径为R的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B的距离为h，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小变化的情况是（ ）
A．N变大，T变小 B．N变小，T变大
C．N变小，T先变小后变大 D．N不变，T变小
题型三：单位圆或拉米定律
已知：
（1）三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）
（2）其余两个力方向、大小均在变
（3）有一个角恒定不变
方法：正弦定理或拉米定律
【例3】（多选）如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N，初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞)．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM由竖直被拉到水平的过程中( )
A．MN上的张力逐渐增大 B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大 D．OM上的张力先增大后减小
[变式1]如右图所示，一圆环位于竖直平面内，圆环圆心处的一小球，OP、OQ为两根细绳，一端与球相
连另一端固定在圆环上。OP呈水平，OQ与竖直方向成30 角，现保持小球位置不动，将圆环沿顺时针方向转过90 角，则在此过程中（ ）
A．OP绳所受拉力增大 B．OP绳所受拉力先增大后减小
C．OQ绳所受拉力先减小后增大 D．OQ绳所受拉力先增大后减小
[变式2]（多选）如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定环上的M、N两点，O点下面悬挂一小球。细线OM、ON与竖直方向夹角分别为、。用、分别表示OM、ON的拉力，将两绳同时缓慢顺时针转过45°，并保持两绳之间的夹角始终不变，且小球始终保持静止状态，则在旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．在逐渐增大 B．先增大再减小
C．与的水平分量大小相等 D．与的竖直分量大小相等
题型四：衣钩、滑环模型
【例4】如图所示,轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点,悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的,挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件,当衣架静止时,下列说法正确的是( ）
A.绳的右端上移到b',绳子拉力不变 B.将杆N向右移一些,绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小,绳子拉力越小 D.若换挂质量更大的衣服,则衣架悬挂点右移
[变式1]如图所示，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球。在a和b之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦，小物块的质量为（ ）
A. B.m C．m D．2m
[变式2]有甲、乙两根完全相同的轻绳，甲绳A、B两端按图甲的方式固定，然后将一挂有质量为M的重物的光滑轻质动滑轮挂于甲轻绳上，当滑轮静止后，设甲绳子的张力大小为FT1；乙绳D、E两端按图乙的方式固定，然后将同样的定滑轮且挂有质量为M的重物挂于乙轻绳上，当滑轮静止后，设乙绳子的张力大小为FT2.现甲绳的B端缓慢向下移动至C点，乙绳的E端缓慢向右移动至F点，在两绳的移动过程中，下列说法正确的是( )
A．FT1、FT2都变大 B．FT1变大、FT2变小 C．FT1、FT2都不变 D．FT1不变、FT2变大
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第19讲 专题：力的动态平衡
考点（知识点） 重要程度 常考题型分布 本讲教学目标
图解法求力的动态平衡 ★★☆ 选择题、填空题 掌握并运用
三角形法则求力动态平衡 ★★☆ 选择题、填空题 掌握并运用
拉米定律求力的动态平衡 ★★☆ 选择题、填空题 掌握并运用
注：★☆☆：普通考点知识点； ★★☆：高考高频考点； ★★★：高考重点、难点、必考点；
平衡状态与平衡力；
知识点一：力的动态平衡
使物体的状态发生缓慢地变化，物体在这一变化过程中始终处于一系列的平衡状态中，这种平衡称为动态平衡。此类问题的特征是“缓慢”，“慢慢”运动。
基本思路：解决此类问题的基本思路是物体处于物体处于平衡状态
解析法解决动态平衡：
对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的一般函数表达式，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
题型一：矢量三角形法类
已知：（1）三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）
（2）另一个力方向不变，大小可变，
（3）第三个力大小方向均变化。
方法：矢量三角形法分析第三个力的方向变化引起的物体受力的动态变化情况。
【例1】半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有竖直挡板MN。在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止状态。如图所示是这个装置的纵截面图，若用外力使MN保持竖直并缓慢地向右移动，在Q落到地面以前，发现P始终保持静止。在此过程中，下列说法中正确的是（ ）
A. P、Q间的弹力逐渐增大 B. 地面对P的摩擦力先增大后减小
C. MN对Q的弹力逐渐减小 D. Q受到P和MN的合力逐渐增大
【答案】A
【解析】解：取为研究对象,受到、、三个力的作用,由于缓慢向右移动,小圆柱体处于动态平衡状态,分析可知方向不变,与竖直方向夹角增大,转动过程中所受三力的变化情况如图所示,可以判断、都变大,A正确、C错误.由于受力平衡,合力始终为零,D项错误.取、整体为研究对象,地面对的摩擦力应与平衡,所以地面对的摩擦力逐渐增大,B项错误.
[变式1]（多选）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N。另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态。现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°。已知M始终保持静止，则在此过程中( )
A．水平拉力的大小可能保持不变 B．M所受细绳的拉力大小一定一直增加
C．M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加 D．M所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加
【答案】BD
【解析】如图所示，以物块N为研究对象，它在水平向左拉力F作用下，缓慢向左移动直至细绳与竖直方向夹角为45°的过程中，水平拉力F逐渐增大，绳子拉力T逐渐增大；
对M受力分析可知，若起初M受到的摩擦力f沿斜面向下，则随着绳子拉力T的增加，则摩擦力f也逐渐增大；若起初M受到的摩擦力f沿斜面向上，则随着绳子拉力T的增加，摩擦力f可能先减小后增加。故本题选BD。
[变式2]如图所示，一铁球用一轻绳悬挂于O点，用力F拉住小球，要使轻绳与竖直方向保持60°角不变，且F最小，则F与竖直方向的夹角θ应为( )
A. 90° B. 60° C. 30° D. 0°
【答案】C
【解析】如图所示，小球受三个力而处于平衡状态，重力G的大小和方向都不变，绳子拉力T方向不变，因为绳子拉力T和外力F的合力等于重力，通过作图法知，当F的方向与绳子方向垂直时，由于垂线段最短，所以F最小，则由几何知识得，C正确．
[变式3]如图所示，将一物体用两根等长细绳OA、OB悬挂在半圆形架子上，B点固定不动，在悬挂点A由位置C向位置D移动的过程中，物体对OA绳的拉力变化是( )
A. 由小变大 B. 由大变小 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
【答案】C
【解析】对O点受力分析，抓住两根绳的合力等于物体的重力，大小和方向都不变，OB绳拉力方向不变，根据平行四边形定则得，如图；知OA绳上拉力大小先减小后增大．故C正确，ABD错误．故选C．
题型二：相似三角形法类
已知：
（1）三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）
（2）其余两个力方向、大小均在变
（3）有明显长度变化关系
方法：相似三角形法
【例2】如图所示，水平地面上竖直地固定着一个光滑的圆环，一个质量为m的小球套在环上，圆环最高点有一小孔，细线一端被人牵着，另一端穿过小孔与小球相连，使球静止于A处，此时细线与竖直成θ角，重力加速度为g，将球由A处缓慢地拉至B处的过程中，球对细线的拉力如何变化，以及环对球的支持力如何变化？
【答案】T减小FN不变
【解析】对小球受力分析，构建封闭的三角形，几何三角形AOP与红色的力三角形相似，对应边成比例；
因为PA减小；所以T减小，OA=OB所以FN不变；
[变式1]如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。现施加一拉力F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前，下列说法正确的是（ ）
A．BC绳中的拉力FT越来越大 B．BC绳中的拉力FT越来越小
C．AC杆中的支撑力FN越来越大 D．AC杆中的支撑力FN越来越小
【答案】B
【解析】 以C点为研究对象，分析受力：重物的拉力T(等于重物的重力G)。
轻杆的支持力FN和绳子的拉力FT做出受力图如右图所示，由平衡条件知：FN与FT的合力与G大小相等，方向相反，根据三角形相似可得：＝＝
解得：FN＝G，FT＝G
由于AC不变，所以FN不变，BC减小，FT减小，故选项B正确。
[变式2]半径为R的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小滑轮，滑轮到球面B的距离为h，轻绳的一端系一小球，靠放在半球上的A点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小球由A到B的过程中，半球对小球的支持力N和绳对小球的拉力T的大小变化的情况是（ ）
A．N变大，T变小 B．N变小，T变大
C．N变小，T先变小后变大 D．N不变，T变小
【答案】D
【详解】根据题意可知，（相似三角形法）一个力恒定不变（大小、方向不变）；其他两个力的方向均发生变化
故N不变，T减小。故D正确ABC错误。
故选：D。
题型三：单位圆或正弦定理发类型
已知：
（1）三个力中，有一个力为恒力（大小方向均不变）
（2）其余两个力方向、大小均在变
（3）有一个角恒定不变
方法：正弦定理或拉米定律
【例3】（多选）如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N，初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞)．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM由竖直被拉到水平的过程中( )
A．MN上的张力逐渐增大 B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大 D．OM上的张力先增大后减小
【答案】 AD
【解析】 解法一：以重物为研究对象，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角为π－α不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以A、D正确，B、C错误．
解法二：将重物向右上方缓慢拉起，重物处于动态平衡状态，可利用平衡条件或力的分解画出动态图分析．将重物的重力沿两绳方向分解，画出分解的动态图如图所示．在三角形中，根据正弦定理有＝＝，由题意可知FMN的反方向与FOM的夹角γ＝180°－α不变，因sin β(β为FMN与G的夹角)先增大后减小，故OM上的张力先增大后减小，当β＝90°时，OM上的张力最大，因sin θ(θ为FOM与G的夹角)逐渐增大，故MN上的张力逐渐增大，选项A、D正确，B、C错误．
[变式1]如右图所示，一圆环位于竖直平面内，圆环圆心处的一小球，OP、OQ为两根细绳，一端与球相
连另一端固定在圆环上。OP呈水平，OQ与竖直方向成30 角，现保持小球位置不动，将圆环沿顺时针方向转过90 角，则在此过程中（ ）
A．OP绳所受拉力增大 B．OP绳所受拉力先增大后减小
C．OQ绳所受拉力先减小后增大 D．OQ绳所受拉力先增大后减小
【解析】将圆环沿顺时针方向转过90°角的过程中，小球的位置保持不动，受力保持平衡，由平衡条件可知，两绳拉力的合力不变，运用三角定则作出力的合成图，由正弦定理得出两绳的拉力与OP转动角度的关系，即可分析两力的变化情况
[变式2]（多选）如图所示，两根轻绳一端系于结点O，另一端分别系于固定环上的M、N两点，O点下面悬挂一小球。细线OM、ON与竖直方向夹角分别为、。用、分别表示OM、ON的拉力，将两绳同时缓慢顺时针转过45°，并保持两绳之间的夹角始终不变，且小球始终保持静止状态，则在旋转过程中，下列说法正确的是（ ）
A．在逐渐增大 B．先增大再减小
C．与的水平分量大小相等 D．与的竖直分量大小相等
【答案】AC
【分析】物体始终保持静止，合力为零，对物体受力分析，受到mg、F1、F2三个力，这三个力构成一个封闭的矢量三角，在旋转过程中，对矢量三角形动态分析即可。
【详解】AB．物体始终保持静止，合力为零，所以mg、F1、F2构成封闭的矢量三角形如图所示，由于重力不变，以及F1和F2夹角为90°不变，矢量三角形动态图如右图所示，mg始终为圆的直径，两绳同时缓慢顺时针转过45°过程中，F1一直增大，F2一直减小，故A正确，B错误；
CD．与的水平分量大小相等，竖直分量的合力与重力大小相等，故C正确，D错误。
故选AC。
【点睛】题以共点力的平衡为命题背景考查学生的推理能力和分析综合能力，解题的关键的画出矢量三角，结合几何关系分析力的变化，难度适中。
题型四：衣钩、滑环模型
【例4】如图所示,轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点,悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的,挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件,当衣架静止时,下列说法正确的是( ）
A.绳的右端上移到b',绳子拉力不变 B.将杆N向右移一些,绳子拉力变大
C.绳的两端高度差越小,绳子拉力越小 D.若换挂质量更大的衣服,则衣架悬挂点右移
【答案】AB
【解析】选A、B。设两杆间距离为d,绳长为l,Oa、Ob段长度分别为和，则,两部分绳子与竖直方向夹角分别为α和β,受力分析如图所示。绳子各部分张力相等, Fa=Fb=F,则α=β。满足，，即， ，d和l均不变，则为定值,α为定值, 为定值,绳子的拉力保持不变,故A正确,C、D错误;将杆N向右移一些,d增大,则增大, 减小,绳子的拉力增大,故B正确。
[变式1]如图所示，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球。在a和b之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦，小物块的质量为（ ）
A. B.m C．m D．2m
【答案】 C
【解析】 由于物块通过挂钩悬挂在线上，细线穿过圆环且所有摩擦都不计，可知线上各处张力都等于小球重力mg。如图所示，由对称性可知a、b位于同一水平线上，物块处于圆心O点正上方，则∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＝∠5。因圆弧对轻环的弹力沿圆弧半径方向，且轻环重力不计，由平衡条件知环两侧细线关于圆弧半径对称，即∠5＝∠6，由几何关系得∠1＝∠2＝∠5＝∠6＝30°，∠3＝∠4＝60°。再由物块与挂钩的受力平衡有mgcos 60°＋mgcos 60°＝Mg，故有M＝m，C正确。
[变式2]有甲、乙两根完全相同的轻绳，甲绳A、B两端按图甲的方式固定，然后将一挂有质量为M的重物的光滑轻质动滑轮挂于甲轻绳上，当滑轮静止后，设甲绳子的张力大小为FT1；乙绳D、E两端按图乙的方式固定，然后将同样的定滑轮且挂有质量为M的重物挂于乙轻绳上，当滑轮静止后，设乙绳子的张力大小为FT2.现甲绳的B端缓慢向下移动至C点，乙绳的E端缓慢向右移动至F点，在两绳的移动过程中，下列说法正确的是( )
A．FT1、FT2都变大 B．FT1变大、FT2变小 C．FT1、FT2都不变 D．FT1不变、FT2变大
【答案】 D
【解析】 设绳子总长为L，两堵竖直墙之间的距离为s，左侧绳长为L1，右侧绳长为L2.由于绳子上的拉力处处相等，所以两绳与竖直方向夹角相等，设为θ，则由几何知识，得：s＝L1sin θ＋L2sin θ＝(L1＋L2)sin θ，又L1＋L2＝L
得到sin θ＝；设绳子的拉力大小为FT，重物的重力为G.以滑轮为研究对象，根据平衡条件得2FTcos θ＝G，
解得：FT＝；可见，对题图甲，当绳子右端慢慢向下移时，s、L没有变化，则θ不变，绳子拉力FT1不变；对题图乙，当绳子的右端从E向F移动的过程中，由于绳子的长度不变，所以两个绳子之间的夹角θ增大，cos θ减小，则绳子拉力FT2增大，故A、B、C错误，D正确
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
