2022-2023学年广西钦州市浦北重点中学高一（下）期中数学试卷（PDF版含解析）

2022-2023学年广西钦州市浦北重点中学高一（下）期中
数学试卷
第 I 卷（选择题）
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 2023°最接近( )
A. 3 B.2
2 C. 2 D. 3
2 2 2
2. 已知集合 = { 1,0,1} 1， = { | ≥ 1}，则 ∩ =( )
A. {1} B. { 1} C. { 1,1} D. { 1,0,1}
3. 若向量 = (2,1)， = ( 1, )，且 ⊥ ，则实数 的值为( )
A. 12 B. 2 C.
1
2 D. 2
4. 已知角 的终边过点( 2,1)，则 tan(2 2 )的值为( )
A. 7 B. 34 C.
4
3 D. 7
3 25. 1设 = 2 ln ， = ， = ln 2，则 ， ， 的大小顺序为( ) 3
A. < < B. < < C. < < D. < <
6. 1将函数 = ( )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2，然后再将整个图象沿 轴向右

平移2个单位长度，得到的曲线与 =
1
2 的图象相同，则 = ( )的函数解析式是( )
A. ( ) = 1 sin( 12 2

2 ) B. ( ) =
1 1
2 sin( 2 +

2 )
C. ( ) = 1 sin(2 ) D. ( ) = 12 2 2 sin(2 +

2 )
7. “关于 的不等式 2 2 + > 0对 ∈ 恒成立”的一个充分不必要条件是( )
A. 0 < < 1 B. 0 < < 2 C. 0 < < 12 D. > 0
8. 已知函数 ( )， ( )的定义域均为 ，且 ( ) + (2 ) = 4， ( ) = ( 1) + 1，若
( + 1)为偶函数，且 (2) = 0，则 (2022) + (2023) =( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 0
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知函数 ( ) = tan ( + 3 )，则下列关于 ( )的判断正确的是 ( )
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A. 在区间( 6 , )上单调递增
B. 最小正周期是
C. ( ) < 1 的解集为{ | < 12 , ∈ }
D. 图象关于点( 6 , 0)成中心对称
10. 已知函数 ( ) = sin(2 + 3 )( > 0)的最小正周期为 ，则下列说法正确的是( )
A. = 1
B. 函数 ( )在[ 4 , 2 ]上单调递增
C. 函数 ( ) 的图象关于直线 = 12对称
D. 函数 ( )的图象关于点( 3 , 0)对称
11. 已知 ， ∈ ， > 0， > 0，且 + 2 = 8，则 的不可能的取值为(参考数据：
1.1 ≈ 3， 1.2 ≈ 3.321)( )
A. 54 B.
3
2 C. 1 D.
12. 设函数 ( )是定义在(0, + ∞)上的函数，并且满足下面三个条件：
①对正数 ， 都有 ( ) = ( ) + ( )；
②当 > 1 时， ( ) > 0；
③ (8) = 3；
则下列说法不正确的是( )
A. (1) = 1
B. ( 14 ) = 2
C. 不等式 ( ) + ( 3) < 2 的解集为{ | 1 < < 4}
D. 16若关于 的不等式 ( ) + (3 ) ≤ 2恒成立，则 的取值范围是[0, 9 ]
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13. 已知 ( ) = 2 1， ( ) = 2 3，若| ( )| + | ( )| = | ( ) + ( )|，则满足条
件的 的取值范围是______ ．
14. 已知扇形圆心角 = 60°， 所对的弧长 = 6 ，则该扇形面积为______ ．
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15. 1 9已知某产品的一类部件由供应商 和 提供，占比分别为10和10，供应商 提供的该部件
9 7
的良品率为10，供应商 提供的该部件的良品率为10 .若发现某件部件不是良品，那么这个部
件来自供应商 的概率为______ (用分数作答)．
16. 三国时期东吴的数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一张勾股
圆方图(也称赵爽弦图)，弦图作为可分解的一种图模型在代数与几何，
以及复杂统计量的分解和参数估计都有着极大的作用.现有一弦图，
1为正方形， = 3 ，过 作 的垂线交 于点 ，线段 上存
在一点 ，使得 = ，则 = ______ ．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题 10分)
已知 = 12，求下列各式的值．
cos( + ) cos( 2 )(1) sin( )+sin( + )；2
(2) 2 2 2 .
18. (本小题 12分)
已知| | = 1，| | = 2．
(1)若向量 与 的夹角为 135°，求| + |及 在 上的投影；
(2)若向量与 与向量 垂直，求向量 与 的夹角．
19. (本小题 12分)
△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = 3 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 2 3，且 = 2 求△ 的面积．
20. (本小题 12分)
某学校利用假期开展“互联网+教育”活动，为了解学生一周内利用网络的学习时长，采用
随机抽样的方法，得到该校 100名学生一周的学习时长(单位：分钟)的数据，其频率分布直
方图如下：
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(1)估计该校学生一周学习时长的中位数；
(2)从图中 300,350 , 350,400 这两组中采用分层抽样的方法抽取 6人，再从这 6人中随机抽
取 2人，求抽取的 2人恰在同一组的概率
21. (本小题 12分)
从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱(简称“孔方兄”)是我国使用时间长达两千
多年的货币.如图 1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，
内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重室”.某
模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图 2所示，小圆直径 1厘米，
内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形(边长比孔的边长小)，每个正方形有两个
顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜线上的字.设∠ = ，五
个正方形的面积和为 ．
(1)求面积 关于 的函数表达式，并求定义域；
(2)求面积 的最小值及此时 的值．
22. (本小题 12分)
已知函数 ( ) = 2，对任意实数 ， ( ) = + 1．
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(1) ( ) = ( ) ( )在(0,2]上是单调递减的，求实数 的取值范围；
(2)若 ( ) < 2( ) ∈ (0,
1
对任意 3 ]恒成立，求正数 的取值范围．
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答案和解析
1.【答案】
【解析】解： 2023° = sin(2160° 137°) = sin( 137°)，
其中 137°为第三象限角，且当 为第三象限角时， < 0，
其中 sin( 135°) = 45° = 2，又2 sin( 120°) = 60° =
3，
2
而 135°较 120°，离 137°更近，
综上， 2023°最接近 2．2
故选： ．
先利用诱导公式得到 2023° = sin( 137°)，从而利用特殊角的三角函数值，判断出答案．
本题主要考查了三角函数值符号的判断，属于基础题．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题以分式不等式的解集为载体考查集合的交集运算，属于基础题．
可先求出集合 ，再求两集合的交集；或者直接将 1，0 1，1代入不等式 ≥ 1检验.
【解答】
解：
1
方法一：由已知 = { | ≥ 1} = { |0 < ≤ 1}则 ∩ = {1}；
方法二：将 1，0，1 1分别代入不等式 ≥ 1发现只有 1满足，则 ∩ = {1}；
故选
3.【答案】
【解析】解：∵向量 = (2,1)， = ( 1, )，且 ⊥ ，
∴ = 2 + = 0，求得 = 2．
故选： ．
由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的的数量积公式，求得 的值．
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本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的的数量积公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：∵角 的终边过点( 2,1)，∴ = 12，
2×( 1)
∴ 2 = 2 2 41 tan2 = 1 2 = 3，1 ( 2)
sin(2 )
∴ tan(2 ) = 2 = 2 1 32 cos(2 = =2) 2 2 4
．
故选： ．
1
由三角函数的定义知， = 2，再利用二倍角公式求出 2 的值，再利用诱导公式求解．
本题主要考查三角恒等变换的综合，熟练掌握二倍角公式、两角差的正切公式与三角函数的定义
是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
5.【答案】
1
【解析】解：设 ( ) = ，则 ′( ) = 2 ，
当 ∈ (0, )时，则 ′( ) > 0， ( )单调递增，
当 ∈ ( , + ∞)时，则 ′( ) < 0， ( )单调递减，
2
∵ 2 < ，3 <
2
2 ln

∴ < 3 <
2
2 ，即 2 ln 2 <
3 ln 2 3 <
1
，

3
∴ < < ．
故选： ．
( ) = 先构造函数 ，再判断单调性，即可求解．
本题考查三个数大小的比较，其中构造函数再判断单调性是关键，属于中档题．
6.【答案】

【解析】解：由题意，把 = 12
1
的图象沿 轴向左平移2个单位长度，得到 = 2 sin( + 2 )的图
象；
1 1
再把横坐标变到原来的 2倍，可得 = 2 sin( 2 + 2 ) = ( )的图象．
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故选： ．
由题意，利用函数 = ( + )的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查函数 = ( + )的图象变换规律，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由“关于 的不等式 2 2 + > 0 对 ∈ 恒成立”，
可得( 2 )2 4 × 1 × < 0，解得：0 < < 1，
故“关于 的不等式 2 2 + > 0 对 ∈ 1恒成立”的一个充分不必要条件是 0 < < 2．
故选： ．
由“关于 的不等式 2 2 + > 0 对 ∈ 恒成立”解出 的取值范围，即可解决此题．
本题考查充分、必要条件的判定，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：∵ ( ) + (2 ) = 4，∴ ( )以(1,2)为对称中心，且 (1) = 2，
∵ ( + 1) = ( + 1)，即 ( ) + 1 = ( ) + 1，
∴ ( )为偶函数，以 轴为对称轴，
∴ ( (2 )) = (2 )，即 ( 2) = (2 )，
由 ( ) + (2 ) = 4 知， ( + 2) + ( ) = 4，
∴ ( + 2) = (2 )， ( + 2) = ( 2)，
从而 ( + 2 + 2) = ( + 2 2)，即 ( + 4) = ( )，
∴ ( )的周期为 4，∴ ( )的周期为 4，
故 (2022) + (2023) = (2) + ( 1) = (1) + 1 + ( 2) + 1 = 2 + 1 + 0 + 1 = 4．
故选： ．
根据已知条件求得 ( )的对称轴、对称中心、周期以及 ( )的周期，据此即可求得结果．
本题考查抽象函数的应用，属于中档题．
9.【答案】
【解析】
【分析】
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本题考查正切函数的图像与性质，属于中档题．
根据选项结合正切型函数的性质进行判断可得．
【解答】
解：函数 ( ) = tan ( + 3 )，

对于选项 A， ∈ ( 6 , )时， +
∈ ( , 4 3 2 3 )，

结合正切函数的性质可得 ( ) = ( + 3 )在 ∈ ( 6 , )上单调递增，故 A 正确；
对于选项 B， ( ) = ( + 3 )的最小正周期为 ，故 B 正确；
对于选项 C，因为 ( ) < 1，
所以 ，解得 ，
所以 ( ) < 1 的解集为 ，故 C 错误；
对于选项 D，令 + = ∈ = 3 2， ，解得 2 3， ∈ ，
令 = 1 得 = 6，所以图象关于点( 6 , 0)成中心对称，故 D 正确．
故选 ABD．
10.【答案】
2
【解析】解： = 2 = ，∴ = 1，A 正确；
则 ( ) = sin(2 + 3 )， ∈ [
5 4
4 , 2 ]，则 2 + 3 ∈ [ 6 , 3 ]，
根据 = 的性质，可得 ( )在[ 4 , 2 ]上单调递减，B 错误；
( 12 ) = sin

6 ≠± 1，则 ( )的图象不关于直线 = 12对称，C 错误；
( 3 ) = = 0

，则 ( )的图象关于点( 3 , 0)对称，D 正确．
故选： ．
根据周期确定 ，然后根据 = 的性质对应判断各个选项即可．
本题考查三角函数的性质，属于基础题．
11.【答案】
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【解析】解：由 + 2 = 8 4 8，可得 = 4 且 > 1，所以 =
+ 4 4，
令 ( ) = + 4
4
4, ∈ (1, + ∞)，可得 ′( ) = 2，
( ) = 4令 2，可得 ′( ) =
+ 8 3 > 0， ( )为单调递增函数，
即 ′( )单调递增，
又 ′(1.1) = 1.1 41.12 < 0,
4
′(1.2) = 1.2 1.22 > 0，
4
所以存在 0 ∈ (1.1,1.2)，使得 ′( 0) = 0 2 = 0 ，0
所以 = ( 0) = 0 +
4
4 =
4
2 +
4
4, 0 ∈ (1.1,1.2)，0 0 0
设 (
4 4 8 4
0) = + 4 ′( ) = 2 ，则 0 3 2，0 0 0 0
因为 0 ∈ (1.1,1.2)，所以 ′( 0) < 0，所以 ( 0)在(1.1,1.2)上单调递减，
所以 ( 190) > (1.2) = 9 > 2，
又因为 (2) = 2 2 > ， ( )在( 0, + ∞)上递增，所以 ABC 错误，D 正确．
故选： ．
8 4 4
根据题意化简得到 = + 4，令 ( ) = + 4, ∈ (1, + ∞)，求得 ′( )单调递增，
结合 ′(1.1) < 0， ′(1.2) > 0，得到存在 0 ∈ (1.1,1.2)，使得 ′( 0) = 0，求得最小值 ( 0) =
4
2 +
4
4 ( ) =
4 4
，设 0 2
+ 4，求得 ( 0)在(1.1,1.2)上单调递减，进而得到 (2) > ，即可
0 0 0 0
求解．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：① ∵函数 = ( )是定义在(0, + ∞)上的函数，
对正数 、 都有 ( ) = ( ) + ( )，
令 = = 1，得 (1) = (1) + (1)，得 (1) = 0，故 A 错误，
(8) = (4 × 2) = (4) + (2) = (2) + (2) + (2) = 3 (2) = 3，
则 (2) = 1，
而 (8) = (4) + (2) = 3，得 (4) = 2，
∵ ( 14 × 4) = (
1
4 ) + (4) = (1) = 0，
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∴ ( 14 ) = (4) = 2，故 B 正确，

设 0 < 1 <
2
2，则 > 1，则 (
2
) > 0，1 1
2
则 ( 2) ( 1) = ( 1) ( 1) = (
2 2
) + ( 1) ( 1) = ( ) > 0，1 1 1
即 ( 2) > ( 1)，即 ( )在(0, + ∞)上是增函数．
( ) + ( 3) < 2 等价为 [ ( 3)] < (4)，
> 0 > 0
则 3 > 0 ，即 > 3 ，得 3 < < 4，即不等式的解集为(3,4)，故 C 错误，
( 3) < 4 1 < < 4
若 ( ) + (3 ) ≤ 2恒成立，则等价为 [ (3 )] ≤ (4)恒成立，
> 0 > 0
即 3 > 0 ，即 < 3 ，
(3 ) ≤ 4 (3 ) ≤ 4
若 > 0，则 > 0，
4
则 (3 ) ≤ 4得 ≤ (3 )，
∵ 4 4 4 (3 ) = 2+3 = ( 3 2 9，2) +4
∴ = 3
4 4
当 =
16 16
2时， (3 )取得最小值 9 9，此时 0 < ≤ ，4 9
4 4 4
若 < 0，则 < 0， (3 ) ≤ 4得 ≥ < 0 ≥ (3 )，此时 (3 ) ，此时 (3 )，不可能恒成
立，故 < 0 不成立，
0 < ≤ 16 16综上 9，即实数 的取值范围是(0, 9 ]，故 D 错误，
故选： ．
A.利用赋值法让 = = 1 进行求解．
B.利用赋值法先求出 (2)的值，然后利用 (4)的值进行计算．
C.先判断函数的单调性，利用是的单调性进行转化求解．
D.利用参数分离法进行转化求解即可．
本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法进行计算，利用函数单调性的定义证明函数的单调性
是解决本题的关键，是中档题．
13.【答案】(0, 10] ∪ [10 10, + ∞)
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【解析】解：∵ ( ) = 2 1， ( ) = 2 3，∴ ( ) = ( ) + 2，
∵ | ( )| + | ( )| = | ( ) + ( )|，即| ( ) + 2| + | ( )| = |2 ( ) + 2|，
即|2 1| + |2 3| = 4 × | 1|，
∴ <
1 1
2 2 ≤ < 1①，或 ②，或
1 2 + 3 2 = 4 4 2 1 + 3 2 = 4 4
1 ≤ < 3 ≥ 32 ③；或 2 ④.
2 1 + 3 2 = 4 4 2 1 + 2 3 = 4 4
由①可得 < 1 12；由②可得 = 2；由③可得 无解；由④可得 ≥
3
2．
≤ 1 ≥ 3综上，可得 2 或 2，求得 0 < ≤ 10或 ≥ 10 10，
故满足条件的 的取值范围是(0, 10] ∪ [10 10, + ∞)．
故答案为：(0, 10] ∪ [10 10, + ∞)．
由题意，分类讨论，去掉绝对值，利用对数函数的图象和性质，求得 的范围．
本题主要考查对数函数的图象和性质，绝对值不等式的解法，属于中档题．
14.【答案】54

【解析】解：由弧长公式可得 = 6 = 3 = 18，
1 1
所以扇形面积为 = 2 = 2 × 6 × 18 = 54 ．
故答案为：54 ．
根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解．
本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题．
15. 27【答案】28
【解析】解：设某件部件不是良品为事件 ，这个部件来自供应商 为事件 ，
∵ ( ) = 1 × 1 910 10 + 10 ×
3
10 =
28 9 3 27
100， ( ) = 10 × 10 = 100，
∴ ( | ) = ( ) = 27 ( ) 28．
27
故答案为：28．
利用全概型公式，条件概率公式求解即可．
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本题主要考查全概型公式，条件概率公式的运用，属于中档题．
16.【答案】3
【解析】解：因为线段 上存在一点 ，使得 = ，
所以 / / ，
因为 ⊥ ，
所以 ⊥ ，
1 1 1 1因为 为正方形， = 3 ，
2
△ = 2 = 6 ， △ = 2 =
1 2
2 ，
所以 △ = 3 △ ，
1
即2 = 3 ×
1
2 ，
所以 = 3 ，
故 = 3．
故答案为：3．
由已知结合向量的线性运算及三角形的面积公式可求．
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
17.【答案】解：因为 = 12，
cos( + ) cos( 2 )(1) sin( )+sin( =2+ ) sin +cos
= 1；
(2) 2 2 2 = 2 2
2 2 2 1 2
sin2 +cos2 = 1+tan2 = 1 =
4
1+ 5．4
【解析】由已知结合诱导公式及同角基本关系进行化简即可求解．
本题主要考查了诱导公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)向量 与向量 的夹角为 135°，
由| + | = ( + )2 = | |2 + | |2 + 2 = | |2 + | |2 + 2| | | | 135° = 1；
在 方向上的投影为| | 135° = 2 × ( 22 ) = 1；
(2)由向量 与向量 垂直，即( ) = 0，
∴ | |2 =
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则| | | | × = 1，
可得 = 2，2
∴ = 45°，
故得向量 与 的夹角为 45°．
【解析】(1)由| + | = ( + )2，即可求解；根据 在 方向上的投影为| | 135°即可得答案；
(2)由向量 与向量 垂直，( ) = 0，即可求解向量 与 的夹角．
本题考查向量的数量积的运算，向量的垂直应用，考查计算能力．属于基础题．
19. 【答案】解：(1)由正弦定理有 = ，
∵ = 3 ，∴ = 3 ，
∵ ∈ (0, )，∴ ≠ 0，
∴ = 3 ，显然 ≠ 0，
∴ = 3，∵ ∈ (0, )，
∴ = 3；
(2)由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ，
∵ = 2 3, = 2 , = 3，
∴ (2 3)2 = (2 )2 + 2 2 × 2 × cos 3，
∴ 12 = 5 2 2 2，∴ 12 = 3 2，∴ 2 = 4，
∴ 1 2 3△ = ，2 = sin = 4 × 2 = 4 3
∴△ 的面积为 4 3．
【解析】(1)由正弦定理得 = 3 ，可求得 = 3，可求角 的大小；
(2)由余弦定理可得(2 3)2 = (2 )2 + 2 2 × 2 × cos 3，可求 ，进而可求△ 的面积．
本题考查正余弦定理的应用，考查三角形的面积，属中档题．
20【. 答案】(1)解：依题意 50 × ( + 0.0040 + 0.0050 + 0.0066 + 0.0016 + 0.0008) = 1，解得 =
0.0020；
设该校学生一周学习时长的中位数为 ，由频率分布直方图可知 200 < < 250，
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，解得 = 240，
该校学生周学习时长的中位数为 240分钟．
(2)解：由题意可得 300,350 ，这组中共有 100 × 0.0016 × 50 = 8人，350,400 这组中共有 100 ×
0.0008 × 50 = 4 人，
6 6
按照分层抽样可知在 300,350 内抽取 8 × 12 = 4 人，记为 ， ， ， ，在 300,350 内抽取 4 × 12 =
2人，记为 ， ，
从这六名学生中随机抽取两名的基本事件有： , ， , ， , ， , ， , ， , ， , ，
, ， , ， , ， , ， , ， , ， , ， , 共 15种等可能的取法，
其中抽取的 2人恰在同一组的有 , ， , ， , ， , ， , ， , ， , 共 7种取法，
7
所以抽取的 2人恰在同一组的概率为 = 15．
【解析】本题考查频率分布直方图的性质、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力、
数据分析能力，属于基础题．
(1)利用频率分布直方图列方程，能求出 .设中位数为 ，由频率分布直方图可知 200 < < 250，
由中位数公式得出方程，解出即可；
(2)在 300,350 内抽取 4人，记为 ， ， ， ，在 300,350 内抽取 2人，记为 ， ，则 6人中
抽取 2人，利用列举法，求出从这 6人中随机抽取的 2人恰在同一组的概率．
21.【答案】解：(1)过点 分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为 ， ，
因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，
所以点 ， 分别为小正方形和大正方形边的中点，
( 1所以小正方形的边长为 2 ) × 2 = ，
1
大正方形的边长为( 2 ) × 2 = 2 ，
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所以五个正方形的面积和为 = 4 2 + ( 2 )2 = 8 2 + cos2 4 ，
因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长，
所以 < 2 1 ， < ， 0 ∈ (0, )3 2 ，
1
所以 的取值范围为(0, 0)， 0 = 3；
(2) = 8 2 + cos2 4
= 8 1 2 + 1+ 2 2 2 2 2 ，
= 92 (2 2 +
7
2 2 )
= 9 65
7
2 2 sin(2 + )，其中 = ，
∈ (0,
4 2
)，
所以 = 9 65 ，此时 sin(2 + ) = 1，2
因为 ∈ (0, 0)，所以 0 < 2 + < 2 0 +

2 <
3
2 ，
所以 2 + = 2，
所以 2 = tan( 2 ) =
1 4
tan = 7，
2 4
则 2 = 21 tan2 = 7，化简得：2 + 7 2 = 0，
由此解得： = 7± 65，4
因为 0 < < 13，所以 =
7+ 65．
4
【解析】(1)过点 分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为 ， ，求出小正方形的边
长，大正方形的边长，推出五个正方形的面积和的表达式，然后求解 的取值范围为(0, 0)，其中
= 10 3；
(2)利用两角和与差的三角函数化简 的表达式，利用三角函数有界性，求解最值即可．
本题考查函数的实际应用，三角函数的有界性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能
力，属于中档题．
22. (1) 1【答案】解： 由已知得， ( ) = ( ) ( ) = + 1，
设 0 < 1 < 2 ≤ 2，
则 ( 1) (
1 1 ( 2 1)(1 1 2)
2) = ( + 1 1) (1
+ 2 1) =
2 1
，
2
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要使 ( )在(0,2]上是单调递减的，必须 ( 1) ( 2) > 0 恒成立，
因为 2 1 > 0，0 < 1 2 < 4，
1
所以 1 1 2 > 0 恒成立，即 < 恒成立，1 2
1 1
因为 1
>
2 4
，
1
所以 ≤ 4，
1
所以实数 的取值范围是( ∞, 4 ]；
(2)解法一：由 ( ) < 2( )，得 2 < ( 2 + 1)，①
因为 > 0 且 ∈ (0, 13 ]
1 1 2
，所以①式可化为 < 2 ，②
1 1 1 2 1
要使②式对任意 ∈ (0, 3 ]恒成立，只需 < ( 2 ) ， ∈ (0, 3 ],
1
因为 2
2
= (
1
1)
2 1，
1 1 2
所以当 = 3时，函数 = 2 取得最小值 3，
1
所以 < 3，
又 > 0，
1
所以 > 3，
1
故正数 的取值范围是( 3 , + ∞)．
解法二：由 ( ) < 2( )，得 2 + 2 < 0，
令 ( ) = 2 + 2 ，
则 ( ) < 0 1对任意 ∈ (0, 3 ]恒成立，
(0) ≤ 0 ≤ 0
只需 ( 1 ，即
1+ 2 ，
3 ) < 0 9 3 < 0
1
解得 > 3，
故正数 1的取值范围是( 3 , + ∞)．
1
【解析】(1)由已知得， ( ) = ( ) ( ) = + 1，利用单调性的定义，可知要使 ( )在(0,2]
1
上是单调递减的，必须 ( 1) ( 2) > 0恒成立，从而只需 1 1 2 > 0恒成立，即 < 1 恒2
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成立，故可求实数 的取值范围；
(2) 1 1 2解法一：由 ( ) < 2( )，得 2 < ( 2 + 1)，分离参数可得 < 2 ，从而问题转化为
1 < ( 1 2 1 1 2 2 ) ， ∈ (0, 3 ]，利用配方法可求函数 = 2 的最小值 3，故可求正数 的取值范
围；
解法二：由 ( ) < 2( )，得 2 + 2 < 0.构造 ( ) = 2 + 2 ，则 ( ) < 0 对任意
(0) ≤ 0 ≤ 0
∈ (0, 1 ]恒成立，只需 1 ，即 1 23 ( ) < 0 + ，从而可求正数 的取值范围．3 9 3 < 0
本题考查的重点是求参数的范围问题，考查恒成立问题，考查函数的单调区间，解题的关键是利
用分离参数法，进而求函数的最值．
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