重庆市南岸区2022-2023学年高二下学期6月期末考试数学试题（图片版含答案）

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2022—2023 学年（下）期末考试
高 2024 届数学参考答案及评分标准
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A B C B D B D BCD ABC ACD ACD
1 3
二、填空题 13． ,

14．90
1
15． e2 16．32
e 2
三、解答题
17. （1）由题意，知高三年级胜高二年级的概率为 3 .
5
设高三年级在 4 轮对抗赛中有 x 轮胜出，“至少有 3 轮胜出”的概率为 P，则
P P(x 3) P(x 4) C3 3
3 2 3 4

297
4

5 5 5
……5 分
625
（2）由题意可知 X 2 ，3，4，5， ……6 分
2
则 P(X 2) 1 1 ，
3 9
P(X 3) C1 1 1 1 1 4 2 3 3
，
3 27
2
P(X 4) C1 1 1 1 4 3 3
1 ，
3 3 27
3 4
P(X 5) C1 1 1 1 164

1

1

3 3
1 ，……8 分
3 27
故 X 的分布列为
X 2 3 4 5
1 4 4 16
P
9 27 27 27
E(X ) 2 1 3 4 4 16 38 4 5 .……10 分
9 27 27 27 9
2 x 2
18．（1）当m 2时， f (x) ln x (x 0)，则 f (x) 2 ，x x
当 x (0,2)时， f (x) 0， f (x)单调递减，
当 x (2, )时， f (x) 0， f (x)单调递增。
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综上，函数 f x 的递增区间为 2，+ ，递减区间为 0，2 .……5 分
x m
（2） f (x)
x2
①当m 1时， f (x) 0, x [1,e]， f (x)在[1,e]单调递增，.……7 分
f (x)min f (1) m 4，解得m 4不满足m 1，故舍去
②当 e m 1时， x (1, m)时， f (x) 0， f (x)单调递减.……9 分
x ( m,e)时， f (x) 0， f (x)单调递增
f (x)min f ( m) ln( m) 1 4，
解得m e3，不满足 e m 1，故舍去
③当m e时， f (x) 0, x [1,e]， f (x)在[1,e]单调递减，.……11 分
f (x)min f (e)
m
1 4，
e
解得m 3e，满足m e
综上：m 3e .……12 分
x 2 4 5 6 819．（1） 5，
5
y 28 36 52 56 78 50， .……4 分
5
5
i 1 xi x y
5
i y x y nxyb i 1 i i 1420 5 5 50 5 8.5 x xi 1 i
2 5 x 2 nx 2 145 5 52 i 1 i
a y b x 50 8.5 5 7.5
因此所求回归直线方程为 y 8.5x 7.5 .……8 分
(2)当 x 10时， y 8.5 10 7.5 92.5万元
答：当广告费支出为 10 万元时，预测销售额大约为92.5万元 . .……12 分
2
20．（1）函数 f (x) a ln x 1 x 3a 的定义域为 0, ，求导得
4 x
a 1 3a
2 x 6a x 2a
f x 2 2 ， .……2 分x 4 x 4x
而 a 0，当 a 0时，由 f (x) 0得0 x 2a，由 f (x) 0得 x 2a，
因此函数 f x 在 (0, 2a)上单调递减，在 (2a, )上单调递增， .……4 分
当 a<0时，由 f (x) 0得0 x 6a，由 f (x) 0得 x 6a，
因此函数 f x 在 (0, 6a)上单调递减，在 ( 6a, )上单调递增. .……6 分
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a 1（2）当 e时，由（1）知，函数 f x 在[1, e]上单调递减，而 x2 1,e ，则6
2
f (x ) f (1) e 12 max ， .……8 分12 4
2
任意 x1 1,4 e 1，存在 x2 1,e ，使 g x1 f x2 等价于 x1 1,4 ， g x1 恒成立，12 4
2 2
则有 x 1,4 ， 2x21 1 me x1 0 m
2x1 2x x 成立，令 h(x) x ,1 x 4，e 1 e
2
则 h (x) 4x 2x 2x(x 2) x x ，当1 x 2时， h (x) 0，当 2 x 4时， h (x) 0，e e
即有 h(x)在[1, 2]
8
上单调递增，在 [2,4]上单调递减， h(x)max h(2) 2 ，.……10 分e
2
因此当 x1 1,4 2x
8 8
时， 1x 最大值为 ，则m ，e 1 e2 e2
所以实数m
8
的取值范围是m 2 ..……12 分e
21.(1)由题意基本事件共有：36 种情况，其中集齐 A1,A2 , A3玩偶共有 3 类。
A 2 2 21,A2 , A3玩偶中，每个均出现两次，共有 C6C4C2 种；
A A , A C3 2 1 31, 2 3玩偶中，一个出现一次，一个出现两次，一个出现三次，共 6C3C1A3 种
A1,A2 , A 1 4 23玩偶中，两个出现一次，另一个出现四次，共C3C6 A2 种
P E 20故 6 .……3 分27
1+1
又根据题意，一次性购买 5 个乙系列盲盒没有聚齐 B1,B2玩偶的概率，即P= 25
P F 1 1 1 15所以 5 .……6 分25 16
1 1 1
(2) ①由题意可知：Q1 ,当n 2时，Qn 1 Q5 2 n 1 Q4 n 1
Q 2 1 2所以 n

Q

5 4 n 1

5
.……7 分

2 1 1
故 Qn 是以 为首项，为 公比的等比数列
5 5 4
Q 1 1
n 1

2
所以 n 。.……8 分5 4 5
②因为每天购买盲盒的 100 人都已购买过很多次，
所以，对于每一个人来说，某天来购买盲盒时，可以看作 n趋向无穷大，
2 2
所以购买甲系列的概率近似于 ，假设用 表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则 B 100, ,所以5 5
E 100 2 40 ,即购买甲系列的人数的期望为 40。.……10 分
5
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所以礼品店应准备甲系列盲盒 40 个，乙系列盲盒 60 个。.……12 分
22（1）
f (x) e x 2 ln(x 1)(x 1)，f '(x) e x 2 1 在(1,+ )单调递增，
x 1
且f ' (2) 1 1 0, f (x)在 1,2 递减，在（2，+ ）递增
.……4 分
f x 的最小值=f (2) 1
g(x) x x , g '(x) 1 x 0 x x x x 1 x ，
1 2 ,
e a ln(x 1) a ln(x 1) ex ex 1 2 e x1 e x2
（2） x
令 2 ex2 x1 t 1
x1
.……7 分
ln t
x tx
x1 t 1 3ln t t ln t t 3 3(t 1) .…….……9 分 2 1 3x x 3 3 [ln t ]，
x2 x1 ln t x t ln t
1 2 t 1 t 1 t 1 t 3

2 t 1
r(t) ln t 3(t 1)令 (t 1)
t 3
1 12 (t 3) 2
则r ' (t) 2 0 r(t)在(1, )上单调递增 r(t) r(1) 0 3x x 3 0t t 3 t t 2 1 3 2
x 3(1 x )
2 1
ln x2 ln(1 x ) ln 3
.……12 分
1
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