人教版九年级上册：精编第二十一章一元二次方程重点题型汇总（含解析）

精编第二十一章一元二次方程重难点题型汇总及答案解析
小专题1 运用根的定义求代数式的值
小专题2 方程解法（一）十字相乘法
小专题3 方程解法（二）换元法
小专题4 判别式（一）判断含字母系数的方程根的情况
小专题5 判别式（二）求待定系数的值或字母的取值范围
小专题6 判别式（三）其他应用
小专题7 根系关系（一）求对称式的值
小专题8 根系关系（二）求待定系数的值或取值范围
小专题9 根系关系（三）判别式、根系关系与几何综合
小专题10 一元二次方程的应用（一）数字问题、循环问题
小专题11 一元二次方程的应用（二）传播问题
小专题12 一元二次方程的应用（三）增长率问题
小专题13 一元二次方程的应用（四）利润问题
小专题14 一元二次方程的应用（五）面积问题（1）--通道设计
小专题15 一元二次方程的应用（六）面积问题（2）--靠墙围栏
小专题16 一元二次方程的应用（七）面积问题（3）--质点运动
小专题1 运用根的定义求代数式的值
[方法技巧]用“整体代入”思想求代数式的值.
[例]已知m是方程x2-x-3＝0的一个实数根，求（m2-m）（）的值.
归纳小结:
已知m是某个一元二次方程的根，求关于m的代数式的值，常根据一元二次方程根的定义得到关于m的某个代数式的值，然后采取整体代入的方法求值，往往能够快速准确地解决问题。
1.若m是方程2x2-3x-1＝0的一个根，求6m2-9m+2020的值.
2.定义新运算，a*b＝a（1-b），若a，b是关于x的方程x2的两实数根，求b*b-a*a的值.
小专题2 方程解法（一）十字相乘法
[方法技巧]要注意观察，尝试，当二次项系数不为1时，往往需要多次试验.
[例]已知关于x的一元二次方程ax2+（a2-1）x-a＝0的一个根为m.若2＜m＜3，求a的取值范围.
归纳小结:
用十字相乘法解一元二次方程时，要仔细观察方程的各项系数，经过尝试才能正确地分解因式，将一元二次方程化成两个一元一次方程，从而求出方程的根。
一、解数字系数的一元二次方程
1.用十字相乘法解下列方程:
（1）x2+4x-12＝0; （2）3y2+10y-8＝0.
二、解含字母系数的一元二次方程
2.已知x2-5xy-6y2＝0（xy≠0），求的值.
小专题3 方程解法（二）换元法
[方法技巧]利用换元法降次，整体求解.
[例]解方程:（x2+x）2-5（x2+x）+4＝0.
归纳小结:
用换元法解高次方程时，要仔细观察方程的特点，设某个整体代数式为新的未知数，将高次方程化成一元二次方程，实现降次。求出新未知数的值后再求原方程的解。
1.已知（x2+y2+3）（x2+y2-4）＝8，求x2+y2的值.
2.已知实数x满足（x2-x）2-4（x2-x）-12＝0，求代数式x2-x+1的值.
小专题4 判别式（一）判断含字母系数的方程根的情况
[方法技巧]先求△，再根据条件或配方确定△的符号.
[例]已知关于x的方程x2+ax+a-2＝0.
求证:不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
归纳小结:
用换元法解高次方程时，要仔细观察方程的特点，设某个整体代数式为新的未知数，将高次方程化成一元二次方程，实现降次。求出新未知数的值后再求原方程的解。
1.不解方程，判别下列关于x的方程的根的情况.
（1）x2+（2k+1）x+k-1＝0; （2）x2-2kx+（2k-1）＝0.
2.如果关于x的方程mx2-2（m+2）x+m+5＝0没有实数根，试判断关于x的一元二次方程（m-5）x2-2（m+2）x+m＝0的根的情况.
小专题5 判别式（二）求待定系数的值或字母的取值范围
[方法技巧]当二次项系数为字母时，应考虑二次项系数是否为0的情况.
[例]已知关于x的方程（m2-1）x2+2（m+1）x+1＝0有实数根，求实数m的取值范围.
归纳小结:
运用判别式求待定系数的值或字母的取值范围时，应当充分考虑二次项系数是否为零的情况。若题目强调了是一元二次方程，则二次项系数不为零;若题目没有强调是一元二次方程，则二次项系数可以为零。
一、二次项系数为常数
1.已知关于x的方程x2+（2m-1）x+4＝0有两个相等的实数根，求m的值.
二、二次项系数为字母
2.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1＝0有两个不相等的实数根，求k的最小整数值.
小专题6 判别式（三）其他应用
一、判断三角形的形状
[例]已知a，b，c是三角形的三条边长，且关于x的一元二次方程
（c-b）x2+2（b-a）x+（a-b）＝0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状.
归纳小结:
根据一元二次方程根的情况，利用根的判别式列出关于三角形三边的等式，再利用因式分解等恒等变形得出三角形的边之间的关系，从而判断出三角形的形状。
二、确定二次三项式是完全平方式的条件
1.若方程25x2-（k-1）x+1＝0的左边可以写成一个完全平方式，求k的值.
三、证明方程根的情况
2.已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k＝0.
（1）求证:方程有两个不相等的实数根;
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值.
小专题7 根系关系（一）求对称式的值
[方法技巧]将所求代数式转化为两根和与积的形式，再整体代入.
[例]设a，b是方程x2+x-2020＝0的两个实数根，求（a-1）（b-1）的值.
归纳小结:
利用根系关系求对称式的值时，先求出两根之和与两根之积，再将对称式进行恒等变形（因式分解、配方等），然后整体代入计算。
1.若α，β是方程3x2+2x-9＝0的两实数根，求下列各式的值.
（1）; （2）α2+β2; （3）α-β.
2.已知a，b是方程x2-x-2020＝0的两个实数根，求a3+2021b-2020的值.
小专题8 根系关系（二）求待定系数的值或取值范围
[方法技巧]利用根系关系求字母系数的值或取值范围，一定要考虑△≥0.
[例]已知x1，x2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a＝0的两个实数根，
（1）是否存在实数a，使x1x2-2＝x1+x2成立？
（2）求使式子（x1+1）（x2+1）的值为负整数的实数a的整数值.
归纳小结:
利用根系关系求待定系数的值或取值范围时，首先考虑判别式△≥0，二次项系数不为0等限制条件，再将根系关系整体代入已知的式子中，列出关于待定系数的方程或不等式，从而求出待定系数的值或取值范围。
1.关于x的一元二次方程x2-mx+5（m-5）＝0的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+ x2＝7，求m的值.
2.已知关于x的一元二次方程x2-6x+（2m+1）＝0有两个实数根x1，x2，且2x1x2+ x1+x2≥20，求m的取值范围.
小专题9 根系关系（三）判别式、根系关系与几何综合
[方法技巧]挖掘几何条件中所隐含的两根相等或两根的平方和为定值.
[例]已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4k-3＝0.
（1）求证:该方程总有两个不相等的实数根;
（2）当Rt△ABC的斜边，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根，求k的值.
归纳小结:
解决判别式、根系关系与几何综合问题时，要充分挖掘几何条件中隐含的两根相等或两根的平方和为定值的条件，再将根系关系整体代入。同时，要特别关注判别式△≥0的限制条件，以及两根为正数的限制条件。
1.如图，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且关于x的方程
（a+c）x2+2bx+c＝a有两个相等的实根.
（1）判断△ABC的形状;
（2）CD平分∠ACB，且AD⊥BD，AD，BD为方程x2-2mx+n2＝0的两根，试确定m与n的数量关系，并证明.
小专题10 一元二次方程的应用（一）数字问题、循环问题
[方法技巧]数字问题通常间接设元，循环问题注意记数是否重复.
[例]在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司互相之间都要签订合同（一式两份），会议结束后统计共签订了156份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？
归纳小结:
运用一元二次方程解决实际问题中的循环问题时，要区分单循环与双循环问题，再根据常用的公式列方程求解。
一、数字问题
1.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数.
二、循环问题
2.一条直线上有n个点，共形成了45条线段，求n的值.
小专题11 一元二次方程的应用（二）传播问题
[方法技巧]注意传播基数与传播方式的变化.
[例]经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有144人被传染患上流感.按这样的传染速度，若3人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？
归纳小结:
运用一元二次方程解决实际问题中的传播问题时，要重点关注传播基数以及传播方式的变化，借助表格进行分析可以让数量关系一目了然。
1.为了宣传环保，张明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播.他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推.已知经过两轮传播后，共有111人参加了传播活动，求n的值.
2.某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中有的又生长同样多的小支根，而其余生长出一半数目的小支根，主根、支根、小支根的总数是109个，求这种植物主根长出多少个支根？
小专题12 一元二次方程的应用（三）增长率问题
[方法技巧]若起点基数为a，平均增长率（或降低率）为x，则两轮后的结果为a（1±x）2.
[例]某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元.假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同.
（1）求每个月生产成本的下降率;
（2）请你预测4月份该公司的生产成本.
归纳小结:
运用一元二次方程解决实际问题中的增长率问题时，可以运用公式“a（1±x）2＝b”列方程，其中a表示基数， x表示增长率（或降低率），b表示两次增长（或降低）后的数量。
1.某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5，6两月的营业额的月平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　）
A.2500（1+x）2＝9100
B.2500（1+x2）2＝9100
C.2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
D.2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
2.随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座.
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率.
小专题13 一元二次方程的应用（四）利润问题
[方法技巧]根据销售利润＝单件利润×销售量列方程.
[例]一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为_____件;
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
归纳小结:
运用一元二次方程解决实际问题中的利润问题时，常运用公式“销售利润＝单件利润×销售量”列方程，其中“单件利润＝售价-进价”，分析时要特别注意售价和销售量的变化。
1.某网店销售一种儿童玩具，每件进价20元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于18元.试销售期间发现，当销售单价定为35元时，每天可售出250件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，该网店决定提价销售.设每天销售量为y件，销售单价为x元.
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围;
（2）当销售单价是多少元时，网店每天获利3840元？
小专题14 一元二次方程的应用（五）面积问题（1）--通道设计
[方法技巧]运用平移法将不规则图形变为规则图形.
[例]如图，在长为33米、宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，求道路的宽为多少？
归纳小结:
运用一元二次方程解决实际问题中与通道设计有关的面积问题时，常利用平移法将不规则的图形转化为规则图形，以便于列方程。
1.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.若设道路的宽为xm，求x的值.
2.某小区在绿化工程中有一块长为20m，宽为8m的矩形空地，计划在其中修建面积相同的矩形绿地，使他们面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度.
小专题15 一元二次方程的应用（六）面积问题（2）--靠墙围栏
[方法技巧]注意隔栏，门宽以及墙长对面积的影响.
[例]如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米.围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.
（1）若墙长为18米，要围成的鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？
（2）围成的鸡场的面积可能达到200平方米吗？
（3）若墙长为a米，对建150平方米面积的鸡场有何影响？
归纳小结:
运用一元二次方程解决实际问题中与靠墙围栏有关的面积问题时，常设围成的矩形场地的一边为x，用x和建筑材料的长表示矩形场地的另一边的长，用面积列方程。注意门宽、隔栏对建筑材料的长的影响，而墙长的作用是检验方程的根是否符合实际情况。
1.如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
小专题16 一元二次方程的应用（七）面积问题（3）--质点运动
[方法技巧]根据路程＝速度×时间，可用时间参数表示线段长，再用面积公式列方程.
[例]如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OACB为矩形，C点坐标为（3，6），若点P从O点沿OA向A点以1cm/s的速度运动，点Q从A点沿AC以2cm/s的速度运动，如果P， Q分别从O，A同时出发，问:
（1）经过多长时间△PAQ的面积为2cm2？
（2）经过多长时间，P，Q两点之间的距离为？
归纳小结:
运用一元二次方程解决实际问题中与质点运动有关的问题时，常设质点运动的时间为x，用x表示线段的长，利用面积列方程，有时也可以利用线段的关系列方程。
1.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动。
（1）如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？
（2）点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间;若不存在，说明理由.
参考答案与解析：
小专题1 运用根的定义求代数式的值
[方法技巧]用“整体代入”思想求代数式的值.
[例]已知m是方程x2-x-3＝0的一个实数根，求（m2-m）（）的值.
解析:m2-m-3＝0，m2-m＝3，＝ m2-3＝m，
解答：
解:∵m是方程x2-x-3＝0的一个实数根，∴m2-m-3＝0，
∴m2-m＝3，m2-3＝m，
∴（m2m）（m-+1）＝3×（+1）＝3×（1+1）＝6.
归纳小结:
已知m是某个一元二次方程的根，求关于m的代数式的值，常根据一元二次方程根的定义得到关于m的某个代数式的值，然后采取整体代入的方法求值，往往能够快速准确地解决问题。
1.若m是方程2x2-3x-1＝0的一个根，求6m2-9m+2020的值.
解答：
解:由题意可知:2m2-3m-1＝0，∴2m2-3m＝1，
∴原式＝3（2m2-3m）+2020＝2023.
2.定义新运算，a*b＝a（1-b），若a，b是关于x的方程x2的两实数根，求b*b-a*a的值.
解答：
解:b*b-a*a＝b（1-b）-a（1-a）＝b-b2-a+a2，
∵a，b为方程x2的两根，
∴a2m＝0，即a2m，同理b2，
代入上式得原式＝-（b2-b）+a2-a＝-（）+（）＝0.
小专题2 方程解法（一）十字相乘法
[方法技巧]要注意观察，尝试，当二次项系数不为1时，往往需要多次试验.
[例]已知关于x的一元二次方程ax2+（a2-1）x-a＝0的一个根为m.若2＜m＜3，求a的取值范围.
解析:
（ax-1）（x+a）＝0.x＝-a或
解答：
解:因式分解，得（ax-1）（x+a）＝0，解得x＝-a或
当m＝-a时.-3＜a＜-2;
当时，
综上所述:-3＜a＜-2或
归纳小结:
用十字相乘法解一元二次方程时，要仔细观察方程的各项系数，经过尝试才能正确地分解因式，将一元二次方程化成两个一元一次方程，从而求出方程的根。
一、解数字系数的一元二次方程
1.用十字相乘法解下列方程:
（1）x2+4x-12＝0; （2）3y2+10y-8＝0.
解答：
解:（1）因式分解，得（x+6）（x-2）＝0.
∴x+6＝0或x-2＝0.
∴x1＝-6，x2＝2:
（2）因式分解，得（y+4）（3y-2）＝0.
∴y+4＝0或3y-2＝0.
∴y1＝-4，y2
二、解含字母系数的一元二次方程
2.已知x2-5xy-6y2＝0（xy≠0），求的值.
解答：
解:x2-5xy-6y2＝0，因式分解，得（x-6y）（x+y）＝0，
∴x-6y＝0或x+y＝0，
∴x＝6y或x＝-y，
∴的值为6或-1.
小专题3 方程解法（二）换元法
[方法技巧]利用换元法降次，整体求解.
[例]解方程:（x2+x）2-5（x2+x）+4＝0.
解答：
解析:设y＝x2+x，则y2-5y+4＝0
y1＝1，y2＝4. 则x2+x＝1或x2+x＝4
解:设y＝x2+x，则y2-5y+4＝0，
整理，得（y-1）（y-4）＝0，解得y1＝1，y2＝4.
当x2+x＝1即x2+x-1＝0时，解得;
当x2+x＝4即x2+x-4＝0时，解得
∴原方程有四个根:x1.x2，x3，x4
归纳小结:
用换元法解高次方程时，要仔细观察方程的特点，设某个整体代数式为新的未知数，将高次方程化成一元二次方程，实现降次。求出新未知数的值后再求原方程的解。
1.已知（x2+y2+3）（x2+y2-4）＝8，求x2+y2的值.
解答：
解:设m＝x2+y2，则原方程变为（m+3）（m-4）＝8，
整理，得m2-m-20＝0.因式分解，得（m+4）（m-5）＝0.
解得m1＝-4，m2＝5，又m＝x2+y2＞0，
∴m＝5，即x2+y2＝5.
2.已知实数x满足（x2-x）2-4（x2-x）-12＝0，求代数式x2-x+1的值.
解答：
解:令y＝x2-x，则原方程变为y2-4y-12＝0，分解因式得（y-6）（y+2）＝0.
解得y1＝6，y2＝-2，则有x2-x＝6或x2-x＝-2.
在方程x2-x+2＝0中.
△＝（-1）2-4×1×2＝-7＜0.方程无实数解.那么x2-x＝6.
∴x2-x+1＝7.
小专题4 判别式（一）判断含字母系数的方程根的情况
[方法技巧]先求△，再根据条件或配方确定△的符号.
[例]已知关于x的方程x2+ax+a-2＝0.
求证:不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
解析:△＝a2-4（a-2）＝a2-4a+8＝（a-2）2+4＞0
解答：
证明:∵在x2+ax+a-2＝0中，
△＝a2-4a+8＝（a-2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
归纳小结:
判断含字母系数的一元二次方程根的情况时，先用字母表示判别式△，再根据条件判断符号。必要时，先进行配方再判断。
1.不解方程，判别下列关于x的方程的根的情况.
（1）x2+（2k+1）x+k-1＝0; （2）x2-2kx+（2k-1）＝0.
解答：
解:（1）∵△＝b2-4ac＝（2k+1）2-4×1×（k-1）＝4k2+5＞0.
∴方程有两个不相等的实数根.
（2）∵△＝b2-4ac＝4k2-4（2k-1）＝4k2-8k+4＝4（k-1）2≥0.
∴方程有两个不相等的实根或相等的实根.
2.如果关于x的方程mx2-2（m+2）x+m+5＝0没有实数根，试判断关于x的一元二次方程（m-5）x2-2（m+2）x+m＝0的根的情况.
解答：
解:∵mx2-2（m+2）x+m+5＝0没有实数根，
∴A1＝4（m+2）2-4m（m+5）＜0，
解得m＞4，又对于（m-5）x2-2（m+2）x+m＝0， A2＝4（m+2）2-4m（m-5）＝36m+16，
当m＞4时，A2＞0，∴（m-5）x2-2（m+2）x+m＝0有两个不相等的实数根.
小专题5 判别式（二）求待定系数的值或字母的取值范围
[方法技巧]当二次项系数为字母时，应考虑二次项系数是否为0的情况.
[例]已知关于x的方程（m2-1）x2+2（m+1）x+1＝0有实数根，求实数m的取值范围.
解析:当m2-1＝0时m＝±1若m＝1，则，若m＝-1，则0·x+1＝0，方程无解;
当m2-1≠0，即m≠±1时，则△＝4（m+1）2-4（m2-1）＝8m+8≥0，
m≥-1，综上所述，m＞-1.
解答：
解:当m2-1＝0，即m＝±1时，原方程化为2（m+1）x+1＝0，
若m＝1，，若m＝-1，则0·x+1＝0，方程无解;
当m2-1≠0，即m≠±1时，原方程有实根，则△＝4（m+1）2-4（m2-1）＝8m+8≥0，
∴m≥-1，又m≠±1，
∴m＞-1且m≠1.
综上所述，当原方程有实数根时，实数m的取值范围是m＞-1.
归纳小结:
运用判别式求待定系数的值或字母的取值范围时，应当充分考虑二次项系数是否为零的情况。若题目强调了是一元二次方程，则二次项系数不为零;若题目没有强调是一元二次方程，则二次项系数可以为零。
一、二次项系数为常数
1.已知关于x的方程x2+（2m-1）x+4＝0有两个相等的实数根，求m的值.
解答：
解:∵关于x的方程x2+（2m-1）x+4＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（2m-1）2-4×1×4＝0，即2m-1＝±4.
∴或
二、二次项系数为字母
2.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1＝0有两个不相等的实数根，求k的最小整数值.
解答：
解:∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即（-2）2-4k·（-1）＞0，解得k＞-1.
∵k≠0，∴k的最小整数值为1.
小专题6 判别式（三）其他应用
一、判断三角形的形状
[例]已知a，b，c是三角形的三条边长，且关于x的一元二次方程
（c-b）x2+2（b-a）x+（a-b）＝0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状.
解析:△＝4（b-a）2-4（c-b）（a-b）＝0，（a-b）（a-c）＝0，
a＝b或a＝c，注意到c-b≠0，则c≠b
解答：
解:由已知条件得A＝4（b-a）2-4（c-b）（a-b）＝0，
整理得（a-b）（a-c）＝0，
∴a＝b或a＝c，
∵c-b≠0，则c≠b，
∴这个三角形是等腰三角形.
归纳小结:
根据一元二次方程根的情况，利用根的判别式列出关于三角形三边的等式，再利用因式分解等恒等变形得出三角形的边之间的关系，从而判断出三角形的形状。
二、确定二次三项式是完全平方式的条件
1.若方程25x2-（k-1）x+1＝0的左边可以写成一个完全平方式，求k的值.
解答：
解:△＝b2-4ac＝（-k+1）2-4×25×1＝0，
∴1-k＝±10，
即1-k＝10或1-k＝-10，得k＝-9或k＝11.
三、证明方程根的情况
2.已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k＝0.
（1）求证:方程有两个不相等的实数根;
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值.
解答：
解:（1）证明:∵△＝[-（2k+1）］2-4（k2+k）＝1＞0，
∴此方程有两个不相等的实数根.
（2）∵△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，
由（1）知，AB≠AC，△ABC第三边BC的长为5，且△ABC是等腰三角形，
∴必然有AB＝5或AC＝5，即x＝5是原方程的一个解.
将x＝5代入原方程得25-5（2k+1）+k2+k＝0，解得k＝4或k＝5.
当k＝4时，原方程为x2-9x+20＝0，x1＝5，x2＝4，以5，5，4为边长能构成等腰三角形;
当k＝5时，原方程为x2-11x+30＝0，x1＝5，x2＝6，以5，5，6为边长能构成等腰三角形.（必须检验方程的另一个解大于0小于10且不等于5）.
∴k的值为4或5.
小专题7 根系关系（一）求对称式的值
[方法技巧]将所求代数式转化为两根和与积的形式，再整体代入.
[例]设a，b是方程x2+x-2020＝0的两个实数根，求（a-1）（b-1）的值.
解析:a，b是方程x2+x-2020＝0的两个实数根，
a+b＝-1，ab＝-2020，
（a-1）（b-1）＝ab-（a+b）+1
解答：
解:∵a，b是方程x2+x-2020＝0的两个实数根，
∴a+b＝-1，ab＝-2020，
∴（a-1）（b-1）＝ab-（a+b）+1=-2020+1+1=-2018
归纳小结:
利用根系关系求对称式的值时，先求出两根之和与两根之积，再将对称式进行恒等变形（因式分解、配方等），然后整体代入计算。
1.若α，β是方程3x2+2x-9＝0的两实数根，求下列各式的值.
（1）; （2）α2+β2; （3）α-β.
解答：
解:∵α，β是一元二次方程3x2+2x-9＝0的两根，∴α+β，αβ＝-3，
（1）＝
（2）α2+β2＝（α+β）2-2αβ（-3）;
（3）（α-β）2＝（α+β）2-4αβ（-3），
∴α-β＝±＝±
2.已知a，b是方程x2-x-2020＝0的两个实数根，求a3+2021b-2020的值.
解答：
解:∵a，b是方程x2-x-2020＝0的两个实数根，
∴a2＝a+2020，a+b＝1，
∴a3+2021b-2020＝a（a+2020）+2021b-2020＝a2+2020a+2021b-2020＝a+2020+2020a+2021b-2020＝2021（a+b）＝2021.
小专题8 根系关系（二）求待定系数的值或取值范围
[方法技巧]利用根系关系求字母系数的值或取值范围，一定要考虑△≥0.
[例]已知x1，x2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a＝0的两个实数根，
（1）是否存在实数a，使x1x2-2＝x1+x2成立？
（2）求使式子（x1+1）（x2+1）的值为负整数的实数a的整数值.
解析:△＝（2a）2-4×a（a-6）＝24a≥0.
又∵a-6≠0，∴a≠6.x1+x2，x1x2，
（1）
（2）（x1+1）（x2+1）＝x1+x2+x1x2
解答：
解:根据题意，得△＝（2a）2-4×a（a-6）＝24a≥0.
又∵a-6≠0，∴a≠6.
由根与系数的关系得:x1+x2，x1x2，
（1）∵，∴，
∴3a＝2a-12，∴a＝-12，又a≥0，
∴不存在实数a，使x1x2-2＝x1+x2成立;
（2）（x1+1）（x2+1）＝x1+x2+x1x2为负整数，
且a为整数，则6-a为-1或-2，-3，-6，解得a＝7或8，9，12.
归纳小结:
利用根系关系求待定系数的值或取值范围时，首先考虑判别式△≥0，二次项系数不为0等限制条件，再将根系关系整体代入已知的式子中，列出关于待定系数的方程或不等式，从而求出待定系数的值或取值范围。
1.关于x的一元二次方程x2-mx+5（m-5）＝0的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+ x2＝7，求m的值.
解答：
解:根据题意可得x1+x2＝m＞0，x1x2＝5（m-5）＞0，所以m＞5;
∵2x1+x2＝7，∴x1+（x1+x2）＝7，即x1+m＝7，∴x1＝7-m，x2＝2m-7，
∴（7-m）（2m-7）＝5（m-5），整理得m2-8m+12＝0，解得m1＝6，m2＝2.
又∵m＞5，∴m＝6.
当m＝6时，x2-6x+5＝0，△＝36-4×5＝16＞0，∴m＝6.
2.已知关于x的一元二次方程x2-6x+（2m+1）＝0有两个实数根x1，x2，且2x1x2+ x1+x2≥20，求m的取值范围.
解:根据题意得△＝（-6）2-4（2m+1）≥0，解得m≤4.
∵x1+x2＝6，x1x2＝2m+1，又2x1x2+x1+x2≥20，
∴2（2m+1）+6≥20，解得m≥3，而m≤4，∴m的范围为3≤m≤4.
小专题9 根系关系（三）判别式、根系关系与几何综合
[方法技巧]挖掘几何条件中所隐含的两根相等或两根的平方和为定值.
[例]已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4k-3＝0.
（1）求证:该方程总有两个不相等的实数根;
（2）当Rt△ABC的斜边，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根，求k的值.
解析:（1）证:△＝（2k+1）2-4（4k-3）＝4k2-12k+13＝（2k-3）2+4，
（2）b+c＝2k+1，bc＝4k-3，又b2+c2＝a2，
∴（b+c）2-2bc＝a2，
即（2k+1）2-2（4k-3）＝31
解答：
解:（1）证:△＝（2k+1）2-4（4k-3）＝4k2-12k+13＝（2k-3）2+4，
因为无论k取什么实数值，总有△＞0，所以该方程总有两个不相等的实数根.
（2）由一元二次方程根与系数的关系，得b+c＝2k+1，bc＝4k-3，
又b2+c2＝a2，
∴（b+c）2-2bc＝a2，即（2k+1）2-2（4k-3）＝31，
解得k＝-2或3，
又当k＝-2时，b+c＜0，
故k＝-2舍去，∴k＝3.
归纳小结:
解决判别式、根系关系与几何综合问题时，要充分挖掘几何条件中隐含的两根相等或两根的平方和为定值的条件，再将根系关系整体代入。同时，要特别关注判别式△≥0的限制条件，以及两根为正数的限制条件。
1.如图，在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且关于x的方程
（a+c）x2+2bx+c＝a有两个相等的实根.
（1）判断△ABC的形状;
（2）CD平分∠ACB，且AD⊥BD，AD，BD为方程x2-2mx+n2＝0的两根，试确定m与n的数量关系，并证明.
解答：
解:（1）由△＝（2b）2-4（a+c）（c-a）＝0得a2+b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形;
（2）作DM⊥AC于点M,DN⊥BC于点N,则△ADM≌△BDN,
∴AD＝BD，
∴△＝（-2m）2-4n2＝0，m2＝n2，
∵AD+BD＝2m＞0，AD·BD＝n2＞0，
∴m＝|n|.
即m＝n或m+n＝0.
小专题10 一元二次方程的应用（一）数字问题、循环问题
[方法技巧]数字问题通常间接设元，循环问题注意记数是否重复.
[例]在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司互相之间都要签订合同（一式两份），会议结束后统计共签订了156份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？
解析:循环问题分为单循环问题和双循环问题，
单循环问题常用公式“（x-1）＝m”列方程;
双循环问题常用公式“x（x-1）＝m”列方程。
由于每两家公司互相之间都要签订合同（一式两份），因此，此题属于双循环问题，根据题意，得x（x-1）＝156.
解答：
解:设有x家公司出席了这次交易会，
根据题意，得x（x-1）＝156.
解得x1＝13，x2＝-12（舍去）.
答:有13家公司出席了这次交易会.
归纳小结:
运用一元二次方程解决实际问题中的循环问题时，要区分单循环与双循环问题，再根据常用的公式列方程求解。
一、数字问题
1.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，求这个两位数.
解答：
解:设个位上的数字为x，则十位上的数字为x+7，
依题意，得（x+7+x）2＝10（x+7）+x，
整理得4x2+17x-21＝0，解得x1＝1，x2（舍去），
∴x＝1，x+7＝8，即这个两位数是81.
二、循环问题
2.一条直线上有n个点，共形成了45条线段，求n的值.
解答：
解:由题意，得n（n-1）＝45.解得n1＝10，n2＝-9（舍去）.
答:n的值为10.
小专题11 一元二次方程的应用（二）传播问题
[方法技巧]注意传播基数与传播方式的变化.
[例]经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有144人被传染患上流感.按这样的传染速度，若3人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？
解析:运用一元二次方程解决传播问题，往往是已知传播基数和经过两轮传播后的总数量，求每轮传播中平均一人传给了多少个人，以及引申出来的问题。可以列表进行分析。
传播基数 第一轮增加 第二轮增加 合计
1 x (x+1)x 1+x+(x+1)x
根据题意得:1+x+（x+1）x＝144
解答：
解:设每轮传染中平均每人传染x人，
根据题意得1+x+（x+1）x＝144，解得x＝11（负值舍去）.
3人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有3+3×11＝36（人）.
答:第一轮传染后患流感的人数共有36人。
归纳小结:
运用一元二次方程解决实际问题中的传播问题时，要重点关注传播基数以及传播方式的变化，借助表格进行分析可以让数量关系一目了然。
1.为了宣传环保，张明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播.他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推.已知经过两轮传播后，共有111人参加了传播活动，求n的值.
解答：
解:依题意得:1+n+n2＝111，
∴n2+n-110＝0，解得n1＝10，n2＝-11，
又∵n＞0，∴n＝10.
2.某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中有的又生长同样多的小支根，而其余生长出一半数目的小支根，主根、支根、小支根的总数是109个，求这种植物主根长出多少个支根？
解答：
解:设这种植物主根长出x个支根，
由题意得小支根数目为··x2，
∴x2+x+1＝109，2x2+3x-324＝0，（2x+27）（x-12）＝0，
解得x1＝12或x2（不符合题意，舍去）.
答:这种植物主根长出12个支根.
小专题12 一元二次方程的应用（三）增长率问题
[方法技巧]若起点基数为a，平均增长率（或降低率）为x，则两轮后的结果为a（1±x）2.
[例]某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元.假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同.
（1）求每个月生产成本的下降率;
（2）请你预测4月份该公司的生产成本.
解析: 运用一元二次方程解决增长率问题，往往是已知起点基数和经过两轮增长（或降低）后的总数量，求平均增长率（或降低率），以及引申出来的问题。可以列表进行分析。
基数 第一次 第二次
400 第一次下降 第一次下降后 第二次下降 第二次下降后
400x 400-400x (400-400x)x (400-400x)-(400-400x)x =400(1-x)2
根据题意，得400（1-x）2＝361，
解答：
解:（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意，得400（1-x）2＝361，
解得x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）.
答:每个月生产成本的下降率为5%;
（2）361×（1-5%）＝342.95（万元）.
答:预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.
归纳小结:
运用一元二次方程解决实际问题中的增长率问题时，可以运用公式“a（1±x）2＝b”列方程，其中a表示基数， x表示增长率（或降低率），b表示两次增长（或降低）后的数量。
1.某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100万元，设该公司5，6两月的营业额的月平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　）
A.2500（1+x）2＝9100
B.2500（1+x2）2＝9100
C.2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
D.2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
解答:
解:该公司5，6两月的营业额的月平均增长率为x。
2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝9100
2.随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座.
（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？
（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率.
解:（1）1.5×4＝6（万座）.
答:计划到2020年年底，全省5G基站的数量是6万座;
（2）设从2020年年底至2022年年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x.
由题意，得6（1+x）2＝17.34，解得x1＝0.7＝70%，x2＝-2.7（舍去）.
答:从2020年年底至2022年年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%.
小专题13 一元二次方程的应用（四）利润问题
[方法技巧]根据销售利润＝单件利润×销售量列方程.
[例]一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为_____件;
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
解析:运用一元二次方程解决利润问题，往往用公式“销售利润＝单件利润×销售量”作为相等关系列方程，其中“单件利润＝售价-进价”。特别注意售价和销售量的变化。列表分析如下:
单件利润 销售量 销售利润
原单件利润 现单件利润 原销售量 现销售量 (40-x)(20+2x)
40 40-x 20 20+2x
解答:
解:（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3＝26件;
（2）设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1200元.
根据题意，得（40-x）（20+2x）＝1200，
整理，得x2-30x+200＝0，解得:x1＝10，x2＝20.
∵要求每件盈利不少于25元，∴40-x＞25，
∴x＜15，∴x2＝20应舍去，x＝10.
答:每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元.
归纳小结:
运用一元二次方程解决实际问题中的利润问题时，常运用公式“销售利润＝单件利润×销售量”列方程，其中“单件利润＝售价-进价”，分析时要特别注意售价和销售量的变化。
1.某网店销售一种儿童玩具，每件进价20元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于18元.试销售期间发现，当销售单价定为35元时，每天可售出250件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，该网店决定提价销售.设每天销售量为y件，销售单价为x元.
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围;
（2）当销售单价是多少元时，网店每天获利3840元？
解答:
解:（1）由题意，得y＝250-10（x-35）＝-10x+600，
即 y 与 x 之间的函数关系式为: y＝-10x+600（30≤x≤38）;
（2）根据题意，得（-10x+600）（x-20）＝3840，解得x1＝36，x2＝44，
∵30≤x≤38，∴x＝36.
答:当销售单价是36元时，网店每天获利3840元.
小专题14 一元二次方程的应用（五）面积问题（1）--通道设计
[方法技巧]运用平移法将不规则图形变为规则图形.
[例]如图，在长为33米、宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，求道路的宽为多少？
解析：
解答：
设道路宽为xm，平移后变为:
则（33-x）（20-x）＝510整理得:x2-53x+150＝0
解得:x1＝3，x2＝50
∵50＞33
∴x＝50不合题意，舍去
∴x＝3
则道路宽为3m
归纳小结:
运用一元二次方程解决实际问题中与通道设计有关的面积问题时，常利用平移法将不规则的图形转化为规则图形，以便于列方程。
1.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.若设道路的宽为xm，求x的值.
解答：
解:由题意.得种植草坪部分的长为（32-2x）m.宽为（20-x）m，
∴（20-x）（32-2x）＝570.
∴x2-36x+35＝0，解得x1＝1，x2＝35（舍去）.
∴x＝1.
2.某小区在绿化工程中有一块长为20m，宽为8m的矩形空地，计划在其中修建面积相同的矩形绿地，使他们面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度.
解答：
解析：
解:设人行通道宽为xm，
依题意，得（20-3x）（8-2x）＝56，
解得:x1＝2，x2（舍去）.
答:人行通道的宽度为2m.
小专题15 一元二次方程的应用（六）面积问题（2）--靠墙围栏
[方法技巧]注意隔栏，门宽以及墙长对面积的影响.
[例]如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米.围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.
（1）若墙长为18米，要围成的鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？
（2）围成的鸡场的面积可能达到200平方米吗？
（3）若墙长为a米，对建150平方米面积的鸡场有何影响？
解析：运用一元二次方程解决靠墙围栏问题，常设围成的矩形场地的一边为x,用x和建筑材料的长表示矩形场地的另一边的长，用面积列方程。
“2米宽的门”是指这个地方不需要竹篱笆，相当于竹篱笆的总长增加了2米。
（1）“墙长为18米”的作用在于判断方程的根是否符合实际情况。
（2）判断“鸡场的面积可能达到200平方米吗 ”就是判断所列方程是否有实数根。
（3）结合第（1）问的结果，对墙长a进行分类讨论。
解答：
（1）设养鸡场的宽为xm，根据题意得:
x（33-2x+2）＝150，解得:x1＝10，x2＝7.5，
当x1＝10时，33-2x+2＝15＜18，
当x2＝7.5时33-2x+2＝20＞18， （舍去），
则养鸡场的宽是10m，长为15m.
（2）设养鸡场的宽为xm，根据题意得:
x（33-2x+2）＝200，
整理得:2x2-35x+200＝0，
△＝（-35）2-4×2×200＝1225 - 1600 ＝ -375 ＜ 0，
因为方程没有实数根，
所以围成养鸡场的面积不能达到200m2;
（3）当0＜a＜15时，不能围成一个长方形养鸡场;
当15≤a＜20时，可以围成一个长方形养鸡场;
当a≥20时，可以围成两个长宽不同的长方形养鸡场.
归纳小结:
运用一元二次方程解决实际问题中与靠墙围栏有关的面积问题时，常设围成的矩形场地的一边为x，用x和建筑材料的长表示矩形场地的另一边的长，用面积列方程。注意门宽、隔栏对建筑材料的长的影响，而墙长的作用是检验方程的根是否符合实际情况。
1.如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
答案：20米;20米
解答：
解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100-4x）米，
根据题意得:（100-4x）x＝400，
解得:x1＝20，x2＝5，则（100-4x）＝20或（100-4x）＝80，
∵80＞25，
∴x2＝5舍去，即AB＝20，BC＝20，
则羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.
小专题16 一元二次方程的应用（七）面积问题（3）--质点运动
[方法技巧]根据路程＝速度×时间，可用时间参数表示线段长，再用面积公式列方程.
[例]如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OACB为矩形，C点坐标为（3，6），若点P从O点沿OA向A点以1cm/s的速度运动，点Q从A点沿AC以2cm/s的速度运动，如果P， Q分别从O，A同时出发，问:
（1）经过多长时间△PAQ的面积为2cm2？
（2）经过多长时间，P，Q两点之间的距离为？
解答：
解析：运用一元二次方程解决质点运动问题，常设质点运动的时间为x，用x表示线段的长，利用面积列方程。
（1）设经过xs，△PAQ的面积为2cm2，
则PA＝（3-x）cm，QA＝2xcm，
根据列方程。
（2）设经过xs，PQ2＝17，则根据PA2+QA2＝17列方程。
解:（1）设经过xs，△PAQ的面积为2cm2，
由题意得:（3-x）×2x＝2，
解得x1＝1，x2＝2.
所以经过1秒或2秒时，△PAQ的面积为2cm2;
（2）设经过xs，则（3-x）2+4x2＝17，
解得x1＝2，x2（舍），
即2秒时，P，Q两点之间的距离为
归纳小结:
运用一元二次方程解决实际问题中与质点运动有关的问题时，常设质点运动的时间为x，用x表示线段的长，利用面积列方程，有时也可以利用线段的关系列方程。
1.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动。
（1）如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2？
（2）点P，Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出运动的时间;若不存在，说明理由.
解答：
解析：
解:（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2.
由题意,得AP＝xcm,PC＝（6-x）cm,CQ＝2xcm,
则（6-x）2x＝8.整理，得x2-6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4.
∴P，Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2;
（2）由题意，得S△ABC×6×8＝24，
当S△PCQS△ABC时， （6-x）×24，x2-6x+12＝0，
△＝62-4×12＝-12＜0，该方程无实数解，
∴不存在使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半的时刻.