人教版（五四学制）数学七年级下册 15.3 实际问题与二元一次方程组——几何图形 教案
文档属性
| 名称 | 人教版（五四学制）数学七年级下册 15.3 实际问题与二元一次方程组——几何图形 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 154.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-06-27 10:34:43 | ||
图片预览
文档简介
《实际问题与二元一次方程组——几何图形》教学设计
一、教学内容解析
几何图形中常会遇到解决长、宽、周长、面积等问题，通常某两个未知量之间存在数量关系，运用二元一次方程组解决这类问题.分析问题及图形中的位置关系和数量关系、发现等量关系、列出二元一次方程组、解二元一次方程组、得到解答，这一典型的数学建模过程，体现了数学应用.
本节课要研究利用二元一次方程组解决几何图形问题，以基本图形的拼接和分割为主线，8个小长方形的不同拼接贯穿课堂主体.例题中学生确定如何设未知数比较容易，但数量关系不唯一，通过例题的探索，学生初步认识几何图形位置关系和数量关系中隐含的等量关系，然后尝试独立解决巩固练习，合作解决能力提升题，加深对几何图形中不同摆放位置时边与边之间关系的认识.之后的挑战难度，不仅需要学生理解如何确定未知数，而且找到图形中等量关系.在探究过程中同时关注思维多样性的引导.
本节课教学重点：利用二元一次方程组解决几何图形问题.
本节课教学难点：理解题意分析如何设未知数，发现图形中隐含的等量关系列出方程组.
二、学习目标
1.能分析几何图形问题中的位置关系和数量关系，会分析如何设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的解答，体会数学建模思想.
2.经历由几何图形的位置关系和数量关系得到等量关系的过程，体会数形结合思想.
3.学生解决后续学习中其他几何图形拼接、分割问题时，开拓思维，提供一种解决思路.
三、教学环节
【活动一】感知图形，引入新课
【活动二】例题解析，一题多变
【活动三】巩固应用，加深理解
【活动四】能力提升，感知变化
【活动五】挑战难度，思维碰撞
【活动六】课堂小结，拓展延伸
四、教学过程
1、感知图形，引入新课
观察所学过的基本图形，回忆基本图形的长、宽、边、高、周长、面积等关系.
教师将图形进行拼接和分割， 展示图形间千丝万缕的联系.
(
二元一次方程组
几何图形
)
设计意图：通过基本图形的展示，唤醒学生对基本图形的边、周长、面积等性质的记忆，基本图形的拼接以及分割，又构成了基本图形与新图形之间的更多面的联系，为丰富多彩的几何图形世界增添了深度和广度，当这些几何图形遇到二元一次方程组，会有怎样的思维碰撞呢？从而引入新课.
(
20 cm
)2、例题解析，一题多变
例：如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少？
问题1：请找到你认为的关键语句？
师生活动：引导、帮助学生分析题意，找出题目关键词“8块相同的小长方形”和“大长方形”.
问题2：分析题意，哪些是已知量，哪些是未知量？请从题目或图形中找到等量关系.
师生活动：学生充分读题，教师引导学生关注有两个未知数，建立方程组：设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，根据题意，得 ,还有不同的列法 , .
设计意图：引导学生发现未知数和等量关系，几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，认真分析图形特点，整体感知图形或者局部观察，找出图形的位置关系和数量关系，再运用二元一次方程组解决，一题多解，体现思维的多样性.
问题3：在此基础上，还能继续求出哪些量？
师生活动：引导学生思考求解小长方形的周长、面积，大长方形的长、周长、面积，添加阴影部分并求解阴影部分的面积、周长.
问题4：本题体现了哪些解题方法和数学思想？
师生活动：归纳梳理列二元一次方程组解决实际问题的步骤：审、设、列、解、验、答.梳理数形结合、数学建模的思想方法.
设计意图：深入思考题目，引导学生多想一步，将题目的问题和图形的其他属性（周长、面积、阴影部分面积等）联系在一起，开阔思路，达到做一题通一片的效果.及时梳理归纳题目的方法和数学思想，深化解题方法，升华学生数学理论认知，贯彻数学核心素养教学.
3、巩固应用，加深理解
如图， 8块相同的小长方形按如图方式拼成一个大长方形，大长方形周长为46cm，求长方形ABCD的长和宽.
师生活动：请同学们结合题意，挖掘几何图形中隐含的等量关系，考虑两个问题：①直接设未知数，还是间接设未知数；②选择设法后写出过程.学生2min独立思考，2min合作交流，并且展示.
教师关注学生遇到的困难及不同的解答方式.
设计意图：将例题中8块相同的小长方形改变拼接方式，将宽的条件改变为周长条件，得到巩固练习，引导学生不同角度解决问题，体会一题多解，深化本节课基础内容的认知.
4、能力提升，感知变化
8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形，如图① ；也可以拼成如图②那样的正方形，中间还留下一个边长恰好为2cm的小正方形. 你能求出每个小长方形的长与宽吗？
师生活动：引导学生理解题意，重点分析图②，学生小组讨论得出图中不同的等量关系，书写解题过程，讲解展示： 设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，得到方程组 ,也有不同的列法 .
设计意图：将习题中的周长条件隐去，只有一个等量关系，以拼接方式②给出另外的等量关系，引导学生重点研究图②，从整体、局部观察，得出不同的关系式，让学生深入感受图形不同的拼接方式所得到的边和边之间的和、差关系. 让学生经历列方程组解决实际问题的完整过程，加深对建模的理解.
5、挑战难度，思维碰撞
如图，把一个长26cm，宽14cm的长方形分成五块，其中两个大正方形和两个小长方形的形状、大小完全相同，那么中间小正方形的面积是多少？
师生活动：引导学生发现本题采用间接设未知数，小组合作讨论3min：①应该设哪两个量；②根据图形找到等量关系.教师关注学生讨论中遇到的困难，启发学生多种设法及多种解答方式.请学生讲解展示.
设计意图：将前面一种图形的拼接改变为图形分割为多种基本图形（长方形、正方形），最终所求的量是面积，需要学生理解题意，细细分析如何设未知数，挖掘题目蕴含的等量关系，增大了思维难度，本环节重点在于让学生分析如何设、如何找到等量关系列方程组，思维碰撞，提升认知.
6、课堂小结，拓展延伸
（1）列二元一次方程组解决实际问题的步骤.
（2）根据什么找等量关系？
（3）本节课用到了哪些数学思想方法？
师生活动：共同回顾、总结本节课的知识要点和解题方法，并进行拓展延伸，要求学生课下研究更多的有关图形拼接和分割的问题.
拓展延伸：利用直角三角形、等腰梯形等基本图形也可以进行拼接、分割，更多创意留待同学们课后研究.
设计意图：通过问题引导学生再次回顾本节课，掌握列方程组解决实际问题的步骤，总结找等量关系的方法，体会数学思想，提升对本节课所研究内容的认识.同时不局限于本节课的学习，进行拓展，为学生后续学习中其他几何图形拼接、分割提供解决思路.
五、基础测试
在长为10m，宽为8m的长方形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，求小长方形花圃的长和宽.
设计意图：本题主要考查学生对于列二元一次方程组解决几何图形问题基本内容的掌握，题目蕴含的等量关系和最后一题类似，但直接给出了要求的未知数，降低难度，巩固所学.
课后作业（分层布置）
《B版作业》 33~34页
A层：第2、3、4、6题, C组 第1题
B层：第1、2、3、4、6题
C层：第1、2、3、4、5题
一、教学内容解析
几何图形中常会遇到解决长、宽、周长、面积等问题，通常某两个未知量之间存在数量关系，运用二元一次方程组解决这类问题.分析问题及图形中的位置关系和数量关系、发现等量关系、列出二元一次方程组、解二元一次方程组、得到解答，这一典型的数学建模过程，体现了数学应用.
本节课要研究利用二元一次方程组解决几何图形问题，以基本图形的拼接和分割为主线，8个小长方形的不同拼接贯穿课堂主体.例题中学生确定如何设未知数比较容易，但数量关系不唯一，通过例题的探索，学生初步认识几何图形位置关系和数量关系中隐含的等量关系，然后尝试独立解决巩固练习，合作解决能力提升题，加深对几何图形中不同摆放位置时边与边之间关系的认识.之后的挑战难度，不仅需要学生理解如何确定未知数，而且找到图形中等量关系.在探究过程中同时关注思维多样性的引导.
本节课教学重点：利用二元一次方程组解决几何图形问题.
本节课教学难点：理解题意分析如何设未知数，发现图形中隐含的等量关系列出方程组.
二、学习目标
1.能分析几何图形问题中的位置关系和数量关系，会分析如何设未知数，列方程组并求解，得到实际问题的解答，体会数学建模思想.
2.经历由几何图形的位置关系和数量关系得到等量关系的过程，体会数形结合思想.
3.学生解决后续学习中其他几何图形拼接、分割问题时，开拓思维，提供一种解决思路.
三、教学环节
【活动一】感知图形，引入新课
【活动二】例题解析，一题多变
【活动三】巩固应用，加深理解
【活动四】能力提升，感知变化
【活动五】挑战难度，思维碰撞
【活动六】课堂小结，拓展延伸
四、教学过程
1、感知图形，引入新课
观察所学过的基本图形，回忆基本图形的长、宽、边、高、周长、面积等关系.
教师将图形进行拼接和分割， 展示图形间千丝万缕的联系.
(
二元一次方程组
几何图形
)
设计意图：通过基本图形的展示，唤醒学生对基本图形的边、周长、面积等性质的记忆，基本图形的拼接以及分割，又构成了基本图形与新图形之间的更多面的联系，为丰富多彩的几何图形世界增添了深度和广度，当这些几何图形遇到二元一次方程组，会有怎样的思维碰撞呢？从而引入新课.
(
20 cm
)2、例题解析，一题多变
例：如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少？
问题1：请找到你认为的关键语句？
师生活动：引导、帮助学生分析题意，找出题目关键词“8块相同的小长方形”和“大长方形”.
问题2：分析题意，哪些是已知量，哪些是未知量？请从题目或图形中找到等量关系.
师生活动：学生充分读题，教师引导学生关注有两个未知数，建立方程组：设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，根据题意，得 ,还有不同的列法 , .
设计意图：引导学生发现未知数和等量关系，几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，认真分析图形特点，整体感知图形或者局部观察，找出图形的位置关系和数量关系，再运用二元一次方程组解决，一题多解，体现思维的多样性.
问题3：在此基础上，还能继续求出哪些量？
师生活动：引导学生思考求解小长方形的周长、面积，大长方形的长、周长、面积，添加阴影部分并求解阴影部分的面积、周长.
问题4：本题体现了哪些解题方法和数学思想？
师生活动：归纳梳理列二元一次方程组解决实际问题的步骤：审、设、列、解、验、答.梳理数形结合、数学建模的思想方法.
设计意图：深入思考题目，引导学生多想一步，将题目的问题和图形的其他属性（周长、面积、阴影部分面积等）联系在一起，开阔思路，达到做一题通一片的效果.及时梳理归纳题目的方法和数学思想，深化解题方法，升华学生数学理论认知，贯彻数学核心素养教学.
3、巩固应用，加深理解
如图， 8块相同的小长方形按如图方式拼成一个大长方形，大长方形周长为46cm，求长方形ABCD的长和宽.
师生活动：请同学们结合题意，挖掘几何图形中隐含的等量关系，考虑两个问题：①直接设未知数，还是间接设未知数；②选择设法后写出过程.学生2min独立思考，2min合作交流，并且展示.
教师关注学生遇到的困难及不同的解答方式.
设计意图：将例题中8块相同的小长方形改变拼接方式，将宽的条件改变为周长条件，得到巩固练习，引导学生不同角度解决问题，体会一题多解，深化本节课基础内容的认知.
4、能力提升，感知变化
8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形，如图① ；也可以拼成如图②那样的正方形，中间还留下一个边长恰好为2cm的小正方形. 你能求出每个小长方形的长与宽吗？
师生活动：引导学生理解题意，重点分析图②，学生小组讨论得出图中不同的等量关系，书写解题过程，讲解展示： 设每块小长方形地砖的长为x cm，宽为y cm，得到方程组 ,也有不同的列法 .
设计意图：将习题中的周长条件隐去，只有一个等量关系，以拼接方式②给出另外的等量关系，引导学生重点研究图②，从整体、局部观察，得出不同的关系式，让学生深入感受图形不同的拼接方式所得到的边和边之间的和、差关系. 让学生经历列方程组解决实际问题的完整过程，加深对建模的理解.
5、挑战难度，思维碰撞
如图，把一个长26cm，宽14cm的长方形分成五块，其中两个大正方形和两个小长方形的形状、大小完全相同，那么中间小正方形的面积是多少？
师生活动：引导学生发现本题采用间接设未知数，小组合作讨论3min：①应该设哪两个量；②根据图形找到等量关系.教师关注学生讨论中遇到的困难，启发学生多种设法及多种解答方式.请学生讲解展示.
设计意图：将前面一种图形的拼接改变为图形分割为多种基本图形（长方形、正方形），最终所求的量是面积，需要学生理解题意，细细分析如何设未知数，挖掘题目蕴含的等量关系，增大了思维难度，本环节重点在于让学生分析如何设、如何找到等量关系列方程组，思维碰撞，提升认知.
6、课堂小结，拓展延伸
（1）列二元一次方程组解决实际问题的步骤.
（2）根据什么找等量关系？
（3）本节课用到了哪些数学思想方法？
师生活动：共同回顾、总结本节课的知识要点和解题方法，并进行拓展延伸，要求学生课下研究更多的有关图形拼接和分割的问题.
拓展延伸：利用直角三角形、等腰梯形等基本图形也可以进行拼接、分割，更多创意留待同学们课后研究.
设计意图：通过问题引导学生再次回顾本节课，掌握列方程组解决实际问题的步骤，总结找等量关系的方法，体会数学思想，提升对本节课所研究内容的认识.同时不局限于本节课的学习，进行拓展，为学生后续学习中其他几何图形拼接、分割提供解决思路.
五、基础测试
在长为10m，宽为8m的长方形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，求小长方形花圃的长和宽.
设计意图：本题主要考查学生对于列二元一次方程组解决几何图形问题基本内容的掌握，题目蕴含的等量关系和最后一题类似，但直接给出了要求的未知数，降低难度，巩固所学.
课后作业（分层布置）
《B版作业》 33~34页
A层：第2、3、4、6题, C组 第1题
B层：第1、2、3、4、6题
C层：第1、2、3、4、5题