河北省“五个一”名校联盟 2024 届高二年级联考数学答案
一、单选题
1 5 6 8
二、多选题
9、 10、 11、 12、
三、填空题
2 1
13、4 ± 2 14、√3 15、 或2 16、
3 2
四、解答题
17、（1）证明：因为数列{ }的前 n 项和为 = 2
2 + 5 ，
当 ≥ 2时， 1 = 2( 1)
2 + 5( 1)，
所以 = 1 = 2
2 + 5 2( 1)2 5( 1) = 4 + 3， 2 分
当 = 1时， 1 = 1 = 2 + 5 = 7，所以满足 1 = 7，
所以数列{ }的通项公式为 = 4 + 3， ∈
， 3 分
所以 +1 = 4( + 1) + 3 4 3 = 4， ∈
，
所以{ }是首项为 7，公差为 4 的等差数列. 4 分
+1 1 1
（2）因为 = 16 +1，所以 = ，所以数列{ }是以8为首项， 为公比的等比数列， 16 16
1
所以 = 8 ( ) 1 = 27 4 ； 5 分 16
所以 = 2
7 4 = (7 4 ) 2， 6 分
要使对一切正整数 n 都有 = + 成立．
即4 + 3 = (7 4 ) 2 + ，即4 + 3 = 4 2 + 7 2 + ，
4 = 4 2
所以{ 9 分
3 = 7 2 +
1
= 1
解得{ 2 ，所以则当 = , = 10时，对一切正整数 n 都有 = 2
+ 成
= 10
立. 10 分
18、（1）由正弦定理可知：(2 ) = 2 分
所以2 = + = 3 分
高二年级五校联考数学答案 第1页 （共 6 页）
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1
又 ∈ (0， )，所以 > 0，所以 = . 4 分
2
因为 ∈ (0， )，所以 = . 5 分
3
1 √3 1 1（2） √
3
= = = ，所以 = ① 8 分 2 2 2 2 2
而 2 = 2 + 2 2 60° = 2 + 2 ≥ 2 9 分
所以 2 ≥ ，当且仅当 = 时等号成立 ② 10 分
4
由①②两式可知， ≥ 11 分
3
3 3 3
所以 √ √ √ = ≥ ，即 面积的最小值为 . 12 分 4 3 3
19、（1）由已知可得 ∥ ，且 = = 1，
所以四边形 为平行四边形，
又因为 = = 1，所以平行四边形 为菱形
所以 ⊥ 2 分
在圆锥 中，因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ 3 分
因为 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ． 4 分
又因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ． 5 分
（2）取 中点 ，易知 ⊥平面 ， = √ 2 2
√3
= ，
2
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标
系， 6 分
3 1
则 (0, 1,0)， (0,1,0)， (0,0,3)， √ ( , , 0)， 7 分
2 2
高二年级五校联考数学答案 第2页 （共 6 页）
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因为 = 2 ，所以
2
=
2 2
= (0, 1,3) = (0, , 2)，
3 3 3
1
所以 (0, , 2)， 8 分
3
所以
4 3 3
= (0, , 2)， √ = ( , , 0)．
3 2 2
设平面 的一个法向量为 = ( , , )．
4
= 0, + 2 = 0,3
因为{ 所以{ ，
= 0, √3 3 + = 0.
2 2
令 y = 3，则 = 3√3， = 2，所以 = ( 3√3, 3, 2)， 10 分
易知平面 即平面 ，所以平面 的一个法向量为 = (1,0,0)， 11 分
设平面 与平面 的夹角为 ，
| | 3√3 3√30
则 = | , | = = = ，
| || | √27+9+4×1 20
3 30
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 √ ． 12 分
20
20、（1）定义域：（0，+∞），
1 +1 2 ( +1) +1 ( 1)( 1)
′( ) = + 2 = 2 = 2 1 分
1° < 0时 1 < 0，
令 ′( ) > 0 ，解得0 < < 1；令 ′( ) > 0 ，解得 > 1；
所以 ( ) 在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减； 2 分
2° > 0时
1 1
①当 > 1时，即0 < < 1时，令 ′( ) > 0，解得0 < < 1 或 > ；
1
令 ′( ) < 0，解得1 < < ；
1 1
所以 ( )在(0,1)上单调递增，（1， ）上单调递减，（ ，+∞）上单调递增； 3 分
1
②当 = 1时，即 = 1时，
′( ) > 0 恒成立，所以 ( )在（0，+∞）上单调递增； 4 分
高二年级五校联考数学答案 第3页 （共 6 页）
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1 1
③当 < 1时，即 > 1 时，令 ′( ) > 0，解得0 < < 或 > 1 ；
1
令 ′( ) < 0，解得 < < 1；
1 1
所以 ( )在(0, )上单调递增， ( , 1)上单调递减，（1，+∞）上单调递增. 5 分
综上所述：当 < 0时， ( ) 在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
1 1
当0 < < 1时， ( )在(0,1)上单调递增，（1， ）上单调递减，（ ，+∞）上单调递增；
当 = 1时， ( )在（0，+∞）上单调递增；
1 1
当 > 1 时， ( )在(0, )上单调递增， ( , 1)上单调递减，（1，+∞）上单调递增.
6 分
（2）由（1）知： > 0且 ≠ 1
1
且 ( ) = ( ) + (1) = 1 + ( + 1) + 1 = ( + 1) 7 分
即：解不等式 ( + 1) < 2 2 ；（ > 0且 ≠ 1 ）
2( 1)
等价于解不等式： < 0 9 分
+1
2( 1)
令 ( ) = ( > 0)，
+1
1 4 ( 1)2
′( ) = = > 0
( +1)2 ( +1)2
所以 ( )在(0， + ∞)单调递增 ， 11 分
且 (1) = 0，所以 ( ) < 0 = (1)，即不等式的解集为{ |0 < < 1}. 12 分
+2
21、（1）设 ( , )，则 ( , ) 1 分
2 2
2 +2
因为点 在抛物线 2 = 2 2上，即( ) = 2 × 2， 3 分
2 2
化简得 2 = 4 ，所以曲线 的方程为 2 = 4 . 4 分
（2）假设存在点 （ 1， 0）使 为正三角形.
高二年级五校联考数学答案 第4页 （共 6 页）
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10 当 垂直于 轴时，不符合题意（舍）； 5 分
20 当 不垂直于 轴时，
设直线 ： = + 1， 的中点为 ( , )，
2 = 4
联立{ 得： 2 4 4 = 0
= + 1
∴ = 16 2 + 16， 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 4
6 分
∴ | | = √1 + 2√( + )2 4 = 4( 21 2 1 2 + 1) 7 分
1+ ∴ = 2 = 2 , = 2 2 + 1 8 分
2
∴ | | = √1 + ( )2|2 2 + 1 ( 1)| = √1 + 2|2 2 + 2| 9 分
√3
∵ 为正三角形∴ | | × = | |
2
√3
即：4( 2 + 1) × = √1 + 2|2 2 + 2| ∴ = ±√2 10 分
2
: 2 = ( 2 2 1)，令 = 1
0 = (2
2 + 2) + 2 = (2 2 + 4) = ±8√2 11 分
所以存在点 （ 1， ± 8√2）使 为正三角形. 12 分
22、解：（1）由题意，全市高中生航天创新知识竞赛成绩 近似服从正态分布 (73,37.5)，
则 = 73, = √37.5 ≈ 6.1，所以 = 66.9, + 2 = 85.2， 2 分
1 1
而 ( < < + 2 ) = ( < < + ) + ( 2 < < + 2 ) = 0.815，
2 2
3 分
所以该市 4 万名高中生中航天创新知识竞赛成绩位于区间(66.9,85.2)的人数约为
40000 × 0.815 = 32600(人)； 4 分
1 0.95
（2）由 ( > 85.2) = = 0.025可知，
2
任意抽取一人，等级为优秀的概率 = 0.025， 5 分
高二年级五校联考数学答案 第5页 （共 6 页）
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设抽取次数为 ，则 的分布列如下：
1 2 3 … 1
p ( 21 p) p (1 p) p … (1 )
2 (1 ) 1
7 分
故 ( ) = + (1 ) × 2 + (1 )2 × 3 + + (1 ) 2 × ( 1) + (1 ) 1 × ，
又(1 ) ( ) = (1 ) + (1 )2 × 2 + (1 )3 × 3 + + (1 ) 1 × (
1) + (1 ) × ， 8 分
两式相减得： ( ) = + (1 ) + (1 )2 + + (1 ) 2 + (1 ) 1 ，
1 (1 ) 1 (1 )
即 ( ) = 1 + (1 ) + (1 )2 + + (1 ) 2 + (1 ) 1 = = =
1 (1 )
1 0.975
， 10 分
0.025
1 0.975
而 ( ) = 在 ∈ +时递增， 0.025
结合0.9755 ≈ 0.881，0.9756 = 0.859，0.9757 = 0.838，0.9758 = 0.817知，
当 = 5时， ( ) = 4.76；当 = 6时， ( ) = 5.64；当 = 7时， ( ) = 6.48；
所以 的最大值为 6. 12 分
高二年级五校联考数学答案 第6页 （共 6 页）
{#{QQABKYiQogiIAAIAAAACUwEQCgMQkgACCAgGhAAYIEIBiRFABAA=}#}河北省“五个一”名校联盟
2024 届高二年级联考（2023.06）
数学试卷
（满分：150 分，测试时间：120 分钟）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 = { | = √ 1}，集合 = { | = √ 1}，则下列说法正确的是（ ）
A. = B. C. D. ∩ =
2.已知| | = 1，| | = 2，|2 | = 4，则 与 夹角的余弦值为（ ）
1
A. 1 B. C. 0 D. 1
2
2 2 2 2
3.已知双曲线 = 1与双曲线 = 1(0 < < 9)，则两双曲线的（ ）
25 9 25+ 9
A. 实轴长相等 B.虚轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等
4.已知 ( ) = + ，且 (3) > (1)，则下列各式一定成立的是（ ）
A. (3) > ( 2) B. (0) > (3) C. ( 1) > ( 3) D. (0) > ( 1)
5.一条长椅上有 6 个座位，3 个人坐. 要求 3 个空位中恰有 2 个空位相邻，则坐法的种数
为（ ）
A. 36 B. 48 C. 72 D. 96
6.某学校有男生 600 人，女生 400 人.为调查该校全体学生每天的运动时间，采用分层抽样
的方法获取容量为 的样本. 经过计算，样本中男生每天运动时间的平均值为 80 分钟，方
差为 10；女生每天运动时间的平均值为 60 分钟，方差为 20. 结合数据，估计全校学生每
天运动时间的方差为（ ）
A. 96 B. 110 C. 112 D. 128
7.过直线 + 4 = 0上一点向圆O: 2 + 2 = 1作两条切线，设两切线所成的最大角为α，
则sinα=（ ）
4√2 2√2 √7 √7
A. B. C. D.
9 9 4 8
高二年级五校联考数学试 卷 第1页 （共 4 页）
{#{QQABKYiQogiIAAIAAAACUwEQCgMQkgACCAgGhAAYIEIBiRFABAA=}#}
3
8.设 ( )是定义在 上的奇函数，且满足 ( ) = ( )， (1) = 2. 数列{ }满足 2
+1
2
1 = 1， = + (
)，则 ( ) = ( )
+1 ( +1) 22
A. 0 B. 1 C. 2 D. 2
二、多选题：本题共 4 小题. 在每小题所给的四个选项中，有多个选项符合题意. 全部选
对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分.
9.若P(A) > 0，P(B) > 0，则下列说法正确的是（ ）
A. 若事件A、B相互独立，则事件A、B也互斥
B. 若事件A、B相互独立，则事件A、B不互斥
C. 若事件A、B互斥，则事件A、B也相互独立
D. 若事件A、B互斥，则事件A、B不相互独立
10.函数 = ( )由关系式 | | + | | = 1确定，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 ( )的零点为1
B. 函数的定义域和值域均为[ 1，1]
C. 函数y = ( )的图像是轴对称图形
D. 若 ( ) = ( ) + ，则 ( )在定义域内满足 ( ) > 0恒成立
11.某通信工具在发送、接收信号时都会使用数字0或是1作为代码，且每次只发送一个数字.
由于随机因素的干扰，发出的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接
收成0或1的概率分别为0.94和0.06；发送信号1时，接收成1或0的概率分别为0.96和0.04.
假设发送信号0或1的概率是等可能的，则（ ）
A. 已知两次发送的信号均为 1，则接收到的信号均为 1 的概率为(0.5)2 (0.96)2
B. 在单次发送信号中，接收到0 的概率为 0.49
C. 在单次发送信号中，能正确接收的概率为 0.95
D. 在发送三次信号后，恰有两次接收到 0 的概率为C23(0.49)
2 0.51
12.已知 为等腰直角三角形， B为斜边且长度是 4. 为等边三角形，若二面角
为直二面角，则下列说法正确的是（ ）
A. ⊥
高二年级五校联考数学试 卷 第2页 （共 4 页）
{#{QQABKYiQogiIAAIAAAACUwEQCgMQkgACCAgGhAAYIEIBiRFABAA=}#}
8√6
B. 三棱锥 的体积为
3
64
C. 三棱锥 外接球的表面积为 π
3
1
D.半径为 的球可以被整体放入以三棱锥 为模型做的容器中
2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.方程( 3)( 5) + 5 = 0在复数集 中的解为__________ .
20°+2 40°
14. = .
20°
3 π
15.已知函数 ( ) = ( > 0)的图像关于点( ，0)对称，且在区间[0， ]上单调，
4 3
则 = .
√3 2 2
16.如图所示，斜率为 的直线 交椭圆 + = 1( > > 0)
2 2 2
于 、 两点，交 轴、 轴分别于 、 两点，且 = ，则椭圆
的离心率为 _______ .
四、解答题：本题共 6 小题. 第 17 题 10 分，第 18 题每小题 12 分. 解答应写出文字
说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列{ 2 }的前n项和为 = 2 + 5 ，数列{ }满足 1 = 8， = 16 +1．
（1）证明:数列{ }是等差数列；
（2）是否存在常数 、 ，使得对一切正整数n都有 = + 成立？若存在，求出
、 的值；若不存在，说明理由．
18.记 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且(2 ) = .
（1）求角 的大小；
（2）设 边上的高 = 1，求 面积的最小值.
高二年级五校联考数学试 卷 第3页 （共 4 页）
{#{QQABKYiQogiIAAIAAAACUwEQCgMQkgACCAgGhAAYIEIBiRFABAA=}#}
19.如图，圆锥 的高为3， 是底面圆 的直径， , 为圆锥的母线，四边形 是
底面圆 的内接等腰梯形，且 AB = 2CD = 2 ，点 在母线 上，且 = 2 ．
（1）证明：平面 ⊥平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值．
1
20. 已知函数 ( ) = ( + 1) ( ≠0）.
（1）讨论函数 ( )的单调性；
（2）若 ( )既有极大值又有极小值，且极大值和极小值的和为 ( ) . 解不等式 ( ) <
2 2.
21. 已知 为抛物线 2 = 2 2上一点， (2，0)， 为 的中点，设 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）过点 (1,0)作直线交曲线 于点 、 ，点 为直线 : = 1上一动点. 问是否存在
点 使 为正三角形？若存在，求出点 坐标；若不存在，请说明理由.
22. 航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展．某市
为了激发学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，现组织该市全体学生参加航天创新
知识竞赛，并随机抽取 1000 名学生作为样本，研究其竞赛成绩. 经统计分析该市高中生竞
赛成绩 近似地服从正态分布 ( , 2)，其中 近似为样本平均数 ， 2近似为样本方差 2，
并已求得 = 73和 2 = 37.5.
（1）若该市有 4 万名高中生，试估计这些高中生中竞赛成绩位于区间(66.9,85.2)的人数；
（2）若规定成绩在 85.2 以上的学生等级为优秀，现从全市高中生中任意抽取一个进行访
谈，如果取到学生等级不是优秀，则继续抽取下一个，直至取到等级为优秀的学生为止，
但抽取的总次数不超过 . 如果抽取次数的期望值不超过 6，求 的最大值.
（附：√37.5 ≈ 6.1，0.9755 ≈ 0.881，0.9756 = 0.859，0.9757 = 0.838，0.9758 = 0.817，
若 ( , 2)，则 ( < < + ) = 0.68， ( 2 < < + 2 ) = 0.95）
高二年级五校联考数学试 卷 第4页 （共 4 页）
{#{QQABKYiQogiIAAIAAAACUwEQCgMQkgACCAgGhAAYIEIBiRFABAA=}#}
